Cours de PCSI au Lycée Gontran Damas
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Merci `a Ivan Babenko pour la preuve de l'irrationnalité du nombre d'Euler. Page 5. Chapitre 1. Les nombres réels et complexes. 1.1 Nombres rationnels.
Les nombres réels
Motivation. Voici une introduction non seulement à ce chapitre sur les nombres réels
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Ce tome débute par l'étude des nombres réels puis des suites. Les chapitres suivants sont consacrés aux fonctions : limite
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PCSI 1 - 2015/2016 www ericreynaud Chapitre 18 Nombres réels 1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés 2 Plan du cours
Les nombres r´eels
MPSI Prytan´ee National Militaire
Pascal DELAHAYE
16 novembre 2017
1 Historique de la construction deR
C"est environ au VI`eme si`ecle avant JC que l"intuition de l"existence de nombres non rationnels apparaˆıt. Hyppase de
M´etaponte, un Pythagoricien affirme alors que⎷2 n"est pas un nombre rationnel. Cette id´ee r´evolutionnaire est alors
rejet´ee par la communaut´e de math´ematiciens et Hyppase de M´etaponte est jet´e `a la mer...
Il faut attendre 200 ans plus tard, pour qu"Euclide prouve par l"absurde qu"Hyppase de M´etaponte avait raison.
L"ensemble des nombres est d´esormais constitu´e des rationnelsQ(rapport de deux entiers) et des irrationnels (les
autres). Cet ensemble est appel´e l"ensemble des nombres r´eelsR.Cependant, il faut attendre la deuxi`eme partie du XIX`eme si`ecle pour qu"une d´efinition formelle deRsoit propos´ee.
Le math´ematicien allemand D´edekind d´efinit alors un nombre r´eelcommeun ensemble de rationnels major´e et tel
que tous ses ´el´ements soient inf´erieurs `a tous les ´el´ements de son compl´ementaire dansQ. Ces ensembles sont com-
mun´ement appel´es lescoupures de D´edekind. Ainsi par exemple,⎷2 est d´efini par l"ensemble :⎷
A la mˆeme ´epoque, une autre d´efinition deRest propos´ee par Cantor et M´eray. Pour eux,Rest l"ensemble des li-
mites des suites de Cauchy (cf le cours de Sp´e). On dit alors queRest complet (il n"y a plus de trou dans l"axe des r´eels).
structure deCORPS totalement ordonn´e(Voir le cours sur les structures alg´ebriques). Nous n"utiliserons les in´egalit´es
strictes que lorsqu"elles sont r´eellement n´ecessaires.Soitx?R.
1. Six?Qon dira que x est unrationnel
2. Six?R\Qalors on dira que x est unirrationnel.
1 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/2 Propri´et´e de la borne sup´erieure
Dans les d´efinitions suivantes, con consid`ereAune partie non vide deR. D´efinition 1 :Majorants, minorants d"une partie2. Un r´eelm?Rest unminorantde la partieAssi tout ´el´ement deAest sup´erieur `am:?x?A, x≥m
Remarque1.Existence et unicit´e?
D´efinition 2 :Parties born´ees
ou encore : D´efinition 3 :Plus grand (maximum), plus petit ´el´ement (minimum) d"unepartie S"il existe, le plus grand ´el´ement est unique et on le note a= maxA2. Un r´eelb?Rest unplus petit ´el´ementde A ssi :b?Aet?x?A, x≥b
S"il existe, le plus petit ´el´ement est unique et on le note : b= minARemarque2.
1. Le plus grand ´el´ement deAest aussi appel´e lemaximumet le plus petit ´el´ement leminimumdeA.
2. Le maximum deAest un majorant qui appartient `aAtandis que le minimum deAest ...
3. Existence et unicit´e?
D´efinition 4 :Borne sup´erieure (ou inf´erieure) d"une partie1. Si l"ensemble des majorants deAadmet un plus petit ´el´ementM, alors on dit queMest laborne
sup´erieuredeA. Dans ce cas,Mest unique et l"on noteM= supA
2. Si l"ensemble des minorants deAadmet un plus grand ´el´ementm, alors on dit quemest laborne
inf´erieuredeA. Dans ce cas,mest unique et l"on note m= infARemarque3.Existence et unicit´e?
Remarque4.
Lorsqu"il existe, le plus grand ´el´ement d"un ensemble est aussi la borne sup´erieure de l"ensemble.
En revanche, la r´eciproque est fausse :A= [0,1[. Th´eor`eme Fondamental 1 :Propri´et´e FONDAMENTALE de la borne sup´erieureSiAv´erifie???A?R
A?=∅
Preuve 1 :Cette propri´et´e fait partie des axiomes de d´efinition deR.Pour prouver que?supAexiste
A?=∅
Remarque6.Le th´eor`eme de la borne sup´erieure sera en particulier utilis´e plus tard pour :
2 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/1. d´efinir la notion d"int´egrale de Riemann.
2. d´emontrer le th´eor`eme de la limite monotone (suites et fonctions).
3. d´emontrer le th´eor`eme de convergence des suites adjacentes
4. d´emontrer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires
Exercice : 1
(?) SoitAest une partie deRnon vide et born´ee telle queA=A1?A2,A1et?A2´etant ´egalement non vides.
Montrer que?infA= min(infA1,infA2)
supA= max(supA1,supA2). Proposition 2 :Existence d"un plus grand ´el´ement dans une partie deZ Toute partie non vide et major´ee deZadmet un plus grand ´el´ement. Toute partie non vide et minor´ee deZadmet un plus petit ´el´ement.Preuve 2 :Th´eor`eme admis car il d´ecoule des axiomes de construction deNqui sont hors-programme.
Remarque8.Ce th´eor`eme sert en particulier `a : prouver l"existence du PPCM et du PGCD de deux nombres entiersd´efinir la partie enti`ere d"un r´eel.
Th´eor`eme 3 :Caract´erisation de la borne sup parεSoitA?Reta?R. Alors :
?ε >0,?xε?A∩[a-ε, a] Caract´erisation parεde la borne sup´erieurePreuve 3 :
?: C"est la traduction de la d´efinition. ?: On montre facilement par l"absurde deaest le plus petit des majorants.Remarque9.Sauriez-vous ´enoncer et d´emontrer un th´eor`eme ´equivalent pour la borne inf´erieure?
Corollaire 4 :Caract´erisation s´equentielle de la borne supSoitA?Rnon vide eta?R.
a= supAssi?aest un majorant il existe une suite (xn)?ANtelle que (xn)→a. Caract´erisation s´equentielle de la borne sup´erieure 3 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Preuve 4 :On construit la suite recherch´ee en prenant pour toutn≥1,ε=1n Exemple 2.Trouver s"ils existent, les inf, sup ainsi que les max, min de :1.E1={1/n|n?N?}2.E2={1/n+ (-1)n|n?N?}3.E3={x2+y2|xy= 1,(x,y)?R2}
Exercice : 2
(?) SoientA?RetB?Rdeux parties non-vides et major´ees deR.Exercice : 3
(??) SoientAetBdeux parties deRnon vides et major´ees.On note :A+B={x?Rtq?(a, b)?A×B, x=a+b}
Montrez queA+Bposs`ede une borne sup´erieure et que : sup(A+B) = supA+ supB3 Partie enti`ere d"un r´eel
Th´eor`eme 5 :D´efinition de la Partie Enti`ere d"un r´eelSoit un r´eelx?R.
nest appel´e lapartie enti`eredexet est le plus souvent not´ee :n=?x?.Exemple 3.On a :?6,34?= 6 et?-23,56?=-24
Python
>>> floor(6.34) # A importer depuis la biblioth`eque math >>> int(6.34) # uniquement pour les nombres positifsProposition 6 :Encadrements
Pour toutx?R, on a les encadrements suivants :
Preuve 6 :Imm´ediat!
Encadrements
Exercice : 4
(?) Soitx?R. Prouver que pour toutp?]1,+∞[, la suite d´efinie parun=?pnx?pnconverge versx. M´ethode :Pour calculer une partie enti`ere, on pourra :1. soit transformer la variablexsous la formex=?x?+ravecr?[0,1[ et effectuer les calculs
2. soit proc´eder `a un encadrement pr´ecis de la valeur dont on cherche la partie enti`ere.
4 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition 7 :Une propri´et´e calculatoire utile :?x?R?n?Z:?x+n?=?x?+n Preuve 7 :Il suffit d"encadrerx+npar deux entiers... ou d"exprimerxsous la formex=?x?+r.Exemple 4.(?) D´eterminer le nombre de chiffres que comporte l"´ecriture d´ecimale d"un entiern?N?.
Proposition 8 :Pi`eges dans les calculs :
La fonction "Partie enti`ere" n"est pas lin´eaire!!Ainsi, en g´en´eral :
1.?x+y? ?=?x?+?y?2.?n.x? ?=n?x?(n?Z)
Preuve 8 :Trouvez des contres-exemples!!
Graphe de la fonction Partie Enti`ere
Exercice : 5
(?) Soitx?Retn?N?. Prouver par deux m´ethodes diff´erentes que :??nx? n?=?x?.Exercice : 6
(?) Etudier la continuit´e de la fonctionfd´efinie surRparf(x) =?x?+ (x- ?x?)2.Corollaire 9 :Rest archim´edien
Siαest un r´eel strictement positif, alors : Preuve 9 :Par ´equivalences successives on obtient :k=?xα?.Rest archim´edien
Remarque10.Ce r´esultat s"´ecrit aussi de la fa¸con suivante : 5 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Corollaire 10 :Valeurs d´ecimales approch´eesSoit un r´eelx, et un entier natureln≥1.
Alors, il existe un unique entier relatifptel que :On dit que :
1.p.10-nestune valeur d´ecimale approch´ee dexpar d´efaut`a la pr´ecision 10-n.
2. (p+ 1).10-nestune valeur d´ecimale approch´ee dexpar exc`es`a la pr´ecision 10-n.
Preuve 10 :C"est une application imm´ediate du fait queRest archim´edien en prenantα=110n.Exemple 5.
3.14159 est une valeur d´ecimale approch´ee par d´efaut deπ`a la pr´ecision 10-5
3.14160 est une valeur d´ecimale approch´ee par exc`es deπ`a la pr´ecision 10-5
Exercice : 7
(??) Soitp?N?. D´eterminer une formule donnant lap`eme d´ecimale d"un nombre r´eelx.4 Densit´e
D´efinition 5 :Densit´e
SoitAune partie deR.
On dit que la partieAest dense dansRlorsque?(x1, x2)?R2avecx1?=x2,A∩]x1, x2[?=∅Cela signifie qu"entre 2 ´el´ements quelconques deR, on pourra toujours trouver un ´el´ement deA.
Remarque11.En fait, cette d´efinition implique qu"entre deux r´eelsx1etx2quelconques distincts, il existe une infinit´e
d"´el´ements distincts deA.Adense dansR
Proposition 11 :Caract´erisation parε(de la densit´e)SoitA?R.
Cela signifie que l"on peut trouver un ´el´ement deAaussi proche que l"on veut de n"importe quel r´eelx.
Preuve 11 :Pas de difficult´e.
Caract´erisation de la densit´e deAdansRparεExemple 6.
6 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/1.Zn"est pas dense dansR
2. Si Δ est une partie deRde cardinal fini,R\Δ est dense dansR
Proposition 12 :Caract´erisation s´equentielle (de la densit´e)SoitA?R.
Aest dense dansR?? ?x?R,il existe une suite (an) d"´el´ements deAtelle que (an)→x Preuve 12 :Pas de difficult´e en prenant pour toutn?N?,ε=1n Caract´erisation de la densit´e deAdansRpar les suitesRemarque12.Important!
On peut adapter la d´emonstrationpr´ec´edentepour prouver que l"on peut choisir (an)?major´ee parx
croissanteou?minor´ee parx d´ecroissante.Exemple 7.(?) Montrer que si?A?B?R
Adense dansRalorsBest aussi dense dansR.
Th´eor`eme Fondamental 13 :Qest dense dansR
Preuve 13 :Avec la caract´erisation s´equentielle : Pour toutx?R, on peut par exemple, introduire la suite (xn)?QNd´efinie par :xn=?10nx? 10n.Remarque13.Comme le montre la d´emonstration pr´ec´edente, l"ensemble des nombres d´ecimaux relatifs est lui-aussi
dense dansR Exemple 8.(?) Trouver s"ils existent, les inf, sup ainsi que les max, min de :E={sinx|x?Q}.Th´eor`eme 14 :R\Qest dense dansR
Preuve 14 :Utilisons la d´efinition de la densit´e.Lorsque (x, y)?Q2, on prouve quez=x+ (y-x).⎷
22est un irrationnel de [x, y].
Sauriez-vous d´emontrer le r´esultat `a l"aide de la caract´erisation s´equentielle?Remarque14.On peut r´esumer les 2 th´eor`emes pr´ec´edents en disant qu"entre deux r´eels distincts on pourra toujours
trouver un rationnel et un irrationnel.Exemple 9.(?)
1. D´eterminer les applications croissantes deRdansRv´erifiant?r?Q,f(r) =r.
2. D´eterminer les applications continues deRdansRv´erifiant?r?Q,f(r) =r.
Exercice : 8
(? ? ?) On souhaite d´emontrer que l"ensembleZ+πZ={a+bπ|(a, b)?Z2}est dense dansR.1. D´emontrer que l"application?:n?Z?→n.π- ?nπ?(la partie fractionnaire denπ) est injective.
7 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/2. On noteF={?(n), n?Z}
(a) Montrer queFest de cardinal infini. (c) En d´eduire queZ+πZest dense dans [0,1]. Vous pourrez pour cela utiliser le caract`ere archim´edien deRavecα=|f1-f2|3. En d´eduire queZ+πZest dense dansR.
5 Connaissez-vous votre cours?
Vous devez imp´erativement savoir r´epondre aux diff´erentes questions suivantes :QuestionsR´eponses attendues
1.Connaissez-vous les notions deminorantetmajorantd"une partie deR?Cf cours
Connaissez-vous les notions deplus petitetplus grand´el´ement d"une partie deR? Connaissez-vous les notions deborne inf´erieureetborne sup´erieured"une partie deR?2.Donner s"ils existent des minorant, majorant, plus petit ´el´ement, plus grand ´el´ement,min, ppe et binf : 0
borne sup et borne inf de l"ensemble suivant : Δ ={1 +1n|n?Z?}.maj, pge et bsup : 23.Connaissez-vous le th´eor`eme d"existence de la borne sup? de la borne inf?cf cours
4.Comment caract´eriser avec?le fait quea= supA?cf cours
Comment caract´eriser s´equentiellement le fait quea= supA?5.Comment prouver qu"une partie deZadmet un ´el´ement maximal?cf cours
12.Comment est d´efinie lapartie enti`ered"un r´eel? A quoi ressemble son graphe?cf cours
13.Encadrerx`a l"aide de sa partie enti`ere. Inversement?cf cours
14.A-t-on?x+y?=?x?+?y??Non en g´en´eral
Oui six?N
15.Que signifie la proposition "Rest archim´edien"? Illustration graphique?cf cours
16.D´efinir les notions de "valeurs approch´ees" `a l"aide de la partie enti`ere.cf cours
17.Donner la d´efinition et les deux caract´erisations de la densit´e.cf cours
18.Pouvez-vous justifier la densit´e deQet deR\QdansR?cf cours
19.Donner des exemples d"application de la densit´e.cf cours
8 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/6 Exercices de TD
Codage
1. Les exercices avec des coeurs♥sont `a traiter en priorit´e.
2. Le nombre d"´etoiles?ou de coeurs♥correspond `a la difficult´e des exercices.
6.1 Borne sup´erieure d"une partie
Le th´eor`eme le plus utilis´e est l"axiome de d´efinition de la borne sup (ou inf).1. il s"applique lorsque la partie ´etudi´ee est une partie deR, non vide et major´ee.
2. il permet de prouver l"existence d"une borne sup.
3. il permet aussi d"en otenir une majoration puisque la brone sup est major´e par tout majorant de la
partie ´etudi´ee, et donc par le majorant qui nous a permis d"utiliser le th´eor`eme. L"autre th´eor`eme fondammental est la caract´erisation de la borne sup.Il nous dit en particulier que la borne sup peut ˆetre consid´er´ee comme la limite d"une suite d"´el´ements de la
partie ´etudi´ee. En introduisant de telles suites, on peut faicelement obtenir des majorations ou des minorations
utiles par passage `a la limite.Exercice de TD : 1
(♥) SoitAune partie non vide et born´ee deR. Montrer que [infA,supA]est le plus petit segment (au sens de l"inclusion) tel queA?[infA,supA].Exercice de TD : 2
(?) D´eterminer les bornes sup et inf deA={un|n?N}o`u?un= 2nsinest pair u n= 2-nsinest impair.Exercice de TD : 3
(??) SoitXune partie non vide et major´ee deR.Montrer que si supX=Malors pour toutε >0, il existe une infinit´e d"´el´ements de X dans [M-ε, M]
Exercice de TD : 4
(?) On se propose d"´etablir?n?N?,?(p, q)?N2tel quen= 2p(2q+ 1).Pourn?N?fix´e, on poseA={m?N|2mdivisen}.
1. Montrer queAadmet un plus grand ´el´ementp
2. Montrer que pour cet ´el´ementp, on peut ´ecriren= 2p(2q+ 1) avecq?N.
Exercice de TD : 5
(♥♥) SoitAune partie non vide et born´ee deR. On appelle diam`etre deAle r´eel positif d´efini par :δ(A) = sup{|x-y|,(x,y)?A2}. Justifier l"existence de ce r´eel et montrer queδ(A) = supA-infA.Exercice de TD : 6
(♥♥) SoitAune partie deRnon vide et minor´ee. On note-Al"ensemble des oppos´es des ´el´ements deA.
Prouver que : sup(-A) =-infA.
Exercice de TD : 7
(??) Etudier l"existence et pr´eciser la valeur lorsqu"elles existent des quantit´es supA, infA, maxAet minAlorsque :
Exercice de TD : 8
(?) SoitIun intervalle deRetfetgdeux fonctions r´eelles born´ees d´efinies surI.Montrer que :
sup x?I|f(x)|+ sup x?I|g(x)| 9 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/6.2 Partie enti`ere
1. La d´etermination de la partie enti`ere deA(x) se fait en g´en´eral par deux m´ethodes :
(b) soit par calculs en rempla¸cantxparx=?x?+ravecr?[0,1[.2. Deux encadrements sont souvent tr`es utiles lorsqu"on travailleavec des parties enti`eres :
Exercice de TD : 9
(♥) Montrer que pour tout r´eel x on a :?x2?+?x+ 12?=?x?Exercice de TD : 10
(♥) Soitxetydeux entiers relatifs. Calculer?x+y2?+?x-y+ 12?. Aide : il semble assez naturel de proc´eder `a une disjonction de cas...Exercice de TD : 11
(??) Montrer que pour tout r´eelx≥1 on a : 2(⎷x+ 1-⎷x)<1⎷x<2(⎷x-⎷x-1)
En d´eduire un encadrement de la partie enti`ere de :x=100? k=11 ⎷kExercice de TD : 12
(♥♥) R´esoudre dansR:1.?2x+ 1?=?x+ 4?. 2.?1-x?=?3-2x?.
On pourra recherchexsous la formex=?x?+ravecr?[0,1[Exercice de TD : 13
(♥♥) R´esoudre dansR(par analyse/synth`ese) l"´equation :x?x?=x2-(?x?)2Exercice de TD : 14
(? ? ?) Soitx?R+.Prouver que??
Exercice de TD : 15
(? ? ?) Soitxun r´eel etp?N?.1. Prouver l"existence et l"unicit´e deq?Z,r?[[0,p-1]] etα?[0,1[ tels quex=pq+r+α.
2. En d´eduire l"´egalit´e :
p-1?k=0?x+k p?=?x?Exercice de TD : 16
(? ? ?) Soitn?N?. Calculern2?k=1?⎷k?.
Exercice de TD : 17
2. Montrer qu"il n"existe pas de r´eelsxtels que?x?+?2x?+?4x?+?8x?+?16x?+?32x?= 12345.
Aide : on envisagera d"utiliser le th´eor`eme de division euclidienne.Exercice de TD : 18
(? ? ?) Montrer que :?x?R,?n?N?,n-1?k=0?x+kn?=?nx?. Aide : On commencera par repr´esenter les valeursx+k nsur un axe. 10 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/Exercice de TD : 19
(♥♥) Soitpqune fraction irr´eductible telle queq >0.1. Pourx?R, calculer :?x?+?-x?.
2. Montrer que
q-1? k=1?kp q?=(p-1)(q-1)2.On utilisera le fait quen-1?k=1a k=n-1? k=1a n-k6.3 Densit´e
1. Le plus simple pour prouver la densit´e dansRd"une partie est, pour toutx?R, de trouver une suite
d"´el´ements de cette partie qui converge versx.2. La densit´e est souvent utilis´ee pour g´en´eraliser `aRdes propri´et´es vraies surAdense dansR.
Exercice de TD : 20
(?) Soitf:R→Rune fonction monotone v´erifiant?a?R,?r?Q,f(ra) =rf(a).Montrer quefest une fonction lin´eaire.
Exercice de TD : 21
(♥♥) SoientAetBdeux parties deRtelles queAest dense dansBetBest dense dansR.Montrer queAest dense dansR.
Exercice de TD : 22
(♥♥) On appellenombre dyadiquetout rationnel de la formem2no`um?Zetn?N. Montrer que l"ensemble des nombres dyadiques est dense dansR.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] schema formation petrole
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