[PDF] Cours de mathématiques PCSI ATTENTION : dans l'ensemble Êdes

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BÉGYN ArnaudCours de mathématiquesPCSI

2PCSI1, Lycée Saliège, Toulouse. http://mathcpge.org/

TABLE DES MATIÈRES3

Table des matières

1 Logique- Théorie des ensembles5

2 Arithmétique,dénombrement et manipulation des symbolesΣetΠ47

3 Nombres complexes79

4 Généralitéssur les fonctions numériques109

5 Dérivées,primitiveset équationsdifférentielles141

6 Suitesréelles et complexes157

7 Calcul matriciel et systèmeslinéaires199

8 Limiteset comparaison des fonctions numériques235

9 Continuité des fonctions numériques273

10 Polynômes293

11 Dérivabilité des fonctions numériques319

12 Introduction auxespaces vectoriels345

13 Espaces probabilisés finis371

14 Espaces vectorielsde dimension finie395

15 Intégration sur un segment407

16 Applications linéaires429

17 Variables aléatoiresdiscrètes finies451

18 Compléments sur les matrices471

19 Séries numériques501

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4TABLE DES MATIÈRES

20 Produits scalaires et espaceseuclidiens523

21 Couples de variablesaléatoires545

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Chapitre1

Notions élémentaires de logique et de théorie des ensembles

Sommaire

1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6

2 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2.1 Prédicats et opérations sur les prédicats . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 7

2.2 Implication et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 8

2.3 Autres types de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 10

2.4 Raisonnements par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11

3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

3.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17

3.3 Produits cartésiens et familles d"éléments . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 20

4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 23

4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

4.2 Loi de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

4.3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 27

4.4 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 33

4.5 Images directe et réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33

4.6 Relations d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34

5 Compétences à acquérir sur ce chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 36

6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38

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6CHAPITRE1 :Logique - Théorie des ensembles

1 Notations

de l"alphabet pouvant être minuscule, majuscule, capitaleetc... Lorsqu"on se donne une liste denobjets on utiliseun indice :x1,x2, ...,xn.

On peut aussi utiliser un indice supérieur, placé entre parenthèses pour ne pas le confondre

avec la puissance :x(1),x(2), ...,x(n). ment situé à l"intersection de la ligneiet de la colonnej. Pour varier les notations, on utilise aussi l"aplhabet grec, dont nous rappelons ci-dessous les minuscules et majuscules. Il est impératif de bien le connaitre (sous peine de faire sourire son examinateur à l"oral).

MinusculeMajusculeNom

αAAlpha

βBBêta

γΓGamma

δΔDelta

?EEpsilon

ηHÊta

θΘThêta

ιIIota

κKKappa

λΛLambda

μMMu

MinusculeMajusculeNom

νNNu

ξΞXi

oOOmicron

πΠPi

ρPRhô

σΣSigma

τTTau

υΥUpsilon

?ΦPhi

χXChi

ψΨPsi

ωΩOmega

On utilisera aussi les abréviationssuivantes :

- cqfd = ce qu"il fallait démontrer : - ie = id est = c"est-à-dire; - p/r = par rapport à; - resp. = respectivement.

Ce cours de mathématiques est organisé selon une série dedéfinitions, signalées par un cadre

vert et par une série dethéorèmessignalés par un cadre rouge.

Le tout est illustrépar des exemples et des exercices, ces derniers étant signalés par un crayon à

papier. Certains chapitres comportent des explications sur la manière de rédiger; celles-ci sont

elles aussi en italique.

Le motthéorèmeest réservé à des résultats mathématiques jugés importants. Dans le cas d"un

théorème"facile»,onutiliselemotproposition. Parfois,on reformulecertainsthéorèmesdans des cas simples, directement utilisables en pratiques : on parle alors decorollaire. Enfin cer-

taines démonstrations plus ardues que les autres nécessiteront de démontrer des petites pro-

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2 Logique7

2 Logique

2.1 Prédicats et opérations sur les prédicats

Unprédicat(ou uneassertion) est un énoncé mathématiquequi est soitjuste, soitfaux. Ondit qu"un prédicat ne peut prendre quedeuxvaleurslogiques: V ou F (i.e. Vrai ou Faux). Par convention, lorsqu"on énonce un prédicat, on sous-entend toujoursqu"il est vrai. Exemple:"La fonctionfest croissante sur l"intervalleI.» SoientAetBdeux prédicats. On définit les opérations suivantes. •Négation.Lanégation(oucontraire) deAest notéenon(A). Elle est définie par latable de véritésuivante :

Anon(A)

VF FV On voit facilement quenon(non(A)) etAprennent les mêmes valeurs dans la table de vérité.

•"Et».Le prédicat?

A et B?

est défini par :

ABA et B

VVV FVF VFF FFF

On voit facilement que?

A et B?

et?

B et A?

prennent les mêmes valeurs dans la table de vérité.

•"Ou».Le prédicat?

A ou B?

est défini par :

ABA ou B

VVV FVV VFV FFF

Onvoit facilement que?

A ou B?

et?

B ou A?

prennent les mêmes valeurs dans la tablede vérité. Remarquonsqu"il s"agitd"un"ou»inclusif,c"est-à-direquelesdeuxprédicatspeuventêtrevrais en même temps (contrairement au "ou» exclusif). PCSI1, Lycée Saliège, Toulouse. http://mathcpge.org/

8CHAPITRE1 :Logique - Théorie des ensembles

1. Les prédicatsnon(A et B) et?

non(A)ou non(B)? prennent les mêmes valeurs dans une table de vérité.

2. Les prédicatsnon(A ou B) et?

non(A)et non(B)? prennent les mêmes valeurs dans une table de vérité.

Proposition 1 - Loisde Morgan

2.2 Implication et équivalence

•Implication :Le prédicatA=?Best défini par :

ABA=?B

VVV FVV VFF FFV En français, on traduit le prédicatA=?Bpar : ?siAest vraialorsBest vrai; ?pour queAsoit vraiil faut queBsoit vrai; ?pour queBsoit vraiil suffitqueAsoit vrai.

On dit aussi que :

?Aest unecondition suffisantepourB; ?Best unecondition nécessairepourA. ?Exemple.On poseA= "Paul est en Sup1» etB= "Paul est en PCSI». Il est clair queA=?B est vrai. Par contre on n"a pasB=?A(Paul est peut-être en Sup2). Dans ce cas, on dit que la réciproquede l"implicationA=?Best fausse. On peut donc dire : ?"pour que Paul soit en Sup1, il faut qu"il soit en PCSI» ?"pour que le Paul soit en PCSI, il suffit qu"il soit en Sup1». On ne peut pas dire "pour que Paul soit en PCSI, il faut qu"il soit en Sup1». Rédaction.Pour montrer que A=?B, on doit procèder de la façon suivante : on suppose que le prédicat A est vrai; on doit alors montrer que B est vrai. ?Exemple.Soitnun entier naturel. Montrer que : 6 divisen=?3 divisen. Les prédicatsA=?Betnon(B)=?non(A)prennent lesmêmesvaleurs dansunetablede vérité.

Proposition 2 - Raisonnementpar contraposée

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2 Logique9

Pour montrer queA=?B, on peut donc à la place montrer quenon(B)=?non(A) : cela s"ap- pelle leraisonnement par contraposée. Il est parfois beaucoup plus simple que le raisonnement "direct». ?Exemple.Soitnun entier naturel. En raisonnant par contraposée, montrer que : n

2est pair=?nest pair.

Les prédicatsA=?Bet?

non(A)ou B? prennent les mêmes valeurs dans une table de vérite. La négation deA=?Best donc?

A et non(B)?

Proposition 3 - Négationd"une implication

Pour montrer qu"une implicationest fausse, on montredonc queAest vraie et queBest fausse. ?Exemple.Donner une valeur de l"entier natureln, pour laquelle la réciproque de?

6 divisen=?3 divisen?

est fausse. Pour une implication ne pas confondre saréciproque, sacontraposéeet soncontraire (=négation). ?Exemple.Donner la réciproque, la contraposée et le contraire de l"implication "Paul est en PCSI»=?"Paul est en Sup1». •Équivalence :Le prédicatA??Best défini par :

ABA??B

VVV FVF VFF FFV Il est clair que les prédicatsA??BetB??Aprennent les mêmes valeurs dans une table de vérité. En français, on traduit la propositionA??Bpar : ?Aest vraisi etseulementsi = (ssi)Best vrai; ?pour queAsoit vraiil faut etil suffitqueBsoit vrai. On dit aussi queBest unecondition nécessaire etsuffisantepourA. PCSI1, Lycée Saliège, Toulouse. http://mathcpge.org/

10CHAPITRE1 :Logique - Théorie des ensembles

Les prédicatsA??Bet??A=?B?et?B=?A??

prennent les mêmes valeurs dans une table de vérité.

Proposition 4 - Double implication

Pour montrer qu"une équivalence est vraie on raisonne donc généralement pardouble impli- cation: on montre queA=?Best vrai puis quela réciproque B=?Al"est aussi. Rédaction.Pour montrer que A??B, on procède par double implication. On suppose que le prédicat A est vrai; on doit alors montrer que B est vrai.

On en déduit que A=?B.

On suppose que le prédicat B est vrai; on doit alors montrer que A est vrai.

On en déduit que B=?A.

On peut alors conclure que A??B.

?Exemple.Soitnun entier naturel. Montrer que :n2est pair??nest pair.

2.3 Autres typesderaisonnement

•Raisonnement par l"absurde. Pour montrer qu"un prédicatAest vrai, on peut choisir de rai- sonner par l"absurde : on suppose queAest faux, et on essaye d"aboutir à une contradiction

évidente du type 2<1 ou 0 ?Exemple.Montrer que?

2 n"est pas un nombre rationnel.

Ne pas confondre avec le raisonnement par contraposée qui sert à prouver une implication. •Raisonnementpardisjonctionde cas.Pour montrerqu"unprédicatAest vrai,onpeut choisir

de le montrer dans différents cas particuliers plus simples, à condition que l"union de tous ces

cas particuliers redonne le cas général. Il est préférable que ces différents cas soient disjoints,

mais ce n"est pas une obligation. ?Exemple.Montrer que sin? ?alorsn(n+1)2? •Raisonnement par analyse-synthèse. Le raisonnement par analyse-synthèse permet de dé- terminer toutes les solutions d"un problème. La partieanalyseconsiste à raisonner sur une hypothétique solution au problème (on suppose doncqu"il en existeau moinsune). Onaccumulealors des déductionsde propriétésqu"elle doit vérifier, du seul fait qu"elle est solution.

La partiesynthèseconsiste à examiner tous les objets vérifiant les conditionsnécessaires précé-

demment accumulées (ce sont les seuls candidats pouvant être des solutions) et on détermine,

parmieux, lesquels sont réellement des solutions. ?Exemple.Résoudre l"équationx2+x+1=0 par analyse-synthèse. PCSI1, Lycée Saliège, Toulouse. http://mathcpge.org/

2 Logique11

2.4 Raisonnements par récurrence

SoitP(n) un prédicat qui dépend d"un entier natureln? ?Exemple.P(n) = "6 divisen» ouP(n) = "3 divise 2n».

On se donne aussi un entier natureln0?

?fixé, et on souhaite démontrer queP(n) est vraie pour tout les entiers naturelsnsupérieursou égaux àn0.

Pour cela on ne peut pas le vérifier en égrénant une à une les valeurs den, puisqu"il y en a une

infinité! Cette méthode prendrait donc un temps infini. Par contre on peut utiliser unraisonnement par récurrence, qui consiste à montrer uneinitiali- sation(ouamorce) et unehéréditépour le prédicatP(n). Ce raisonnement se décline sous plusieursformes.

Initialisation.P(n0) est vrai.

Hérédité.Pournentier naturel fixé tel quen≥n0, on a :?

P(n) vrai=?P(n+1)?

Conclusion.Alors on sait queP(n) est vrai pour tout entier naturelntel quen≥n0.

Théorème 5 - Récurrence simple

C"est un peu comme une chaîne infinie de dominos : l"initialisation consiste à faire tomber le

premier domino, et l"hérédité consiste à s"assurer que chaque domino va entraîner le domino

suivant dans sa chute. La conclusion est que tous les dominosvont tomber. ?Exemple.Pournentier naturel non nul, montrer par récurrence simple que

1+2+3+···+n=n(n+1)

2.

Ne pas oublier l"initialisation! Le prédicatP(n) = " 3 divise 2n» est héréditaire mais n"est

jamais initialisé. PCSI1, Lycée Saliège, Toulouse. http://mathcpge.org/

12CHAPITRE1 :Logique - Théorie des ensembles

Initialisation à deux pas.P(n0) etP(n0+1) sont vrais.

Hérédité à deux pas.

Pournentier naturel fixé tel quen≥n0, on a :?

P(n) etP(n+1) vrais=?P(n+2) vrai?

Conclusion.Alors on sait queP(n) est vrai pour tout entier naturelntel quen≥n0.

Théorème 6 - Récurrence à deux pas

On peut reprendre l"analogie des dominos mais cette fois ilssont plus difficiles à faire tomber :

il faut le poids de deux dominos successifs pour faire tomberle suivant (c"est l"hérédité à deux

pas), et pour amorcer le processus il faut pousser assez fortpour faire tomber les deux premiers dominos (si on ne pousse que le premier, son poids ne suffit pasà faire tomber le second). ?Exemple.OnposeF0=F1=1 et pournentier naturel,Fn+2=Fn+Fn+1(suitede Fibonacci). Montrer par récurrence à deux pas que pournentier naturel,Fn≥0.

Initialisation.P(n0) est vrai.

Hérédité forte.

Pournentier naturel fixé tel quen≥n0, on a :?

P(n0),P(n0+1),...,P(n) vrais=?P(n+1) vrai?

Conclusion.Alors on sait queP(n) est vrai pour tout entier naturelntel quen≥n0.

Théorème 7 - Récurrence forte

Cette fois les dominos sont de plus en plus difficiles à faire tomber : pour faire tomber un do-

mino, il faut le poids de tous les dominos précédents. Pour amorcer il suffit de pousser le pre-

mier. ?Exemple.On poseu1=3 et pourn≥1,un+1=2 n?u1+u2+···+un?. Montrer par récurrence forte que pourn≥1,un=3n.

3 Ensembles

3.1 Définitions

Unensemble Eest une collection d"objets appeléséléments.

Définition 8 - Ensembles

On notex?Elorsquexest élément deE, et on dit quex appartient à R. On notex?Edans le cas contraire, et on dit quex n"appartient pas à E. PCSI1, Lycée Saliège, Toulouse. http://mathcpge.org/

3 Ensembles13

?Exemple.Un ensemble peut être définipar extensionie en énumérant la liste de ses élé-

ments entre accolades : {a} = ensemble formé d"un unique élémenta, appelé "singleton a» E= ensemble des couleurs d"un jeu de 32 cartes = {coeur, carreau, trèfle, pique} ?= ensemble des entiers naturels = {0,1,2,3,...} (infinité d"éléments) SoitP(x) un prédicat dépendant dexélément deE.

1. LorsqueP(x) est vraipour tousles élémentsxdeE, on le note :

?x?E,P(x) Le symbole?est appelé quantificateur "quel que soit».

2. LorsqueP(x) est vrai pourau moins unélémentxdeE, on le note :

?x?E;P(x) Le symbole?est appelé quantificateur "il existe».

3. LorsqueP(x) est vrai pourun uniqueélémentxdeE, on le note :

?!x?E;P(x) Le symbole?! est appelé quantificateur "il existe un unique».

Définition 9 - Quantificateurs

Rédaction.

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