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Proprietes des nombres reelsChapitre 1

1 Nombres et calculs 2

1.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Calculs dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.3 Identites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 Ordre dansR, equations et inequations 6

2.1 Inegalites, intervalles et valeur absolue . . . . . . .

6

2.2Equations et inequations . . . . . . . . . . . . . . .8

3 Polyn^omes des premier et second degres 10

3.1 Polyn^omes du premier degre . . . . . . . . . . . . .

1 0

3.2 Polyn^omes du second degre . . . . . . . . . . . . .

11

4 Notations somme, produit et factorielle 14

4.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4.2 NotationQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

4.3 Notation factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Introduction

Nous rappelons dans ce chapitre de nombreuses notions de base deja vu au lycee. Nous commencons par

introduire les dierents ensembles de nombres (les entiers naturelsNet relatifsZ, les nombres rationnelsQ

et les nombres reelsR). On rappelle les regles sur le calcul dansR: les fractions, les puissances, les racines

carrees de nombres reels. On s'interesse ensuite aux methodes de resolution des equations et inequations. Des

rappels sur les polyn^omes des premier et second degres sont donnes a la troisieme section. Nous terminons le

chapitre en introduisant les notations somme, produit et factorielle qui seront utilisees tout au long de l'annee.

Anthony Mansuy - Professeur de Mathematiques en superieures ECE au Lycee Clemenceau (Reims) mansuy.anthony@hotmail.fr

ECE1Lycee Clemenceau, Reims

1 Nombres et calculs

1.1 Les ensembles de nombres

Denition.•Unensembleest une collection ou un groupement d'objets distincts. Ces objets s'appellent les

elementsde cet ensemble. L'unique ensemble constitue d'aucun element est note;et appeleensemble vide. •SiEest un ensemble et sixest un element deE, on dit quexappartient aEou quexest dansE et on ecritx2E. Dans le cas contraire, sixn'est pas un element deE, on dit quexn'appartient pas aEet on ecrit x =2E.Notations.SoientEun ensemble etxun element deE. On notera: •8x2Epour dire "pour toutxappartenant aE" ou "quel que soitxappartenant aE", •9x2Epour dire "il existe unxdansE" ou "on peut trouver unxdansE". Denition.SoientEetFdeux ensembles quelconques.Eest ditinclusdansFsi tout elements deEest un element

deF. On dit aussi queEest unsous-ensembledeFou unepartiedeFet on ecrit dans ce casEF.Beaucoup d'ensembles de nombres ont deja ete rencontres au Lycee:

•L'ensemble desentiers naturels, noteN: 0;1;2;3;:::

Par exemple, 12N, 152N,205

2N. Par contre,5=2N, 10:3=2N,23

=2N,p2=2N.

•L'ensemble desentiers relatifs, noteZ, constitue des entiers naturels et de leurs opposes::::;2;1;0;1;2;:::

Par exemple,172Z, 352Z,217

2Z. Par contre,3:7=2Z,23

=2Z,p2=2Z, =2Z.

•L'ensemble desnombres rationnels, noteQ, constitue des quotients de deux entiers relatifs: ce sont les

nombres de la formepq oup;q2Zetqest non nul.

Par exemple,52Q, 2:862Q,1537

2Q. Par contre,p2=2Q, =2Q.

•L'ensemble desnombres reels, noteR, constitue desnombres rationnelset desnombres irrationnels (qui ne peuvent pas s'ecrire comme quotients de deux entiers relatifs).

Par exemple,3:52R,173

2R,p22R,2R.2

ECE1Lycee Clemenceau, Reims

Remarques.Nest un sous-ensemble deZ,Zest un sous-ensemble deQetQest un sous-ensemble deR. En particulier, on a les inclusions suivantes:NZQR.

Notations.On noteR+(respectivementR) l'ensemble des nombres reels positifs (respectivement des nombres

reels negatifs). On noteRouRn f0gl'ensemble des nombres reels non nuls.

1.2 Calculs dansR

Fraction de deux nombres reels

Denition.Soientaetbdeux nombres reels,bnon nul. On appellequotientdeaparboufractiondeaparble nombre reelxtel quebx=a. Le quotientxdeaparbest noteab .Remarque.Le quotient d'un nombre reel par 0 n'est pas deni. Par exemple,30 n'est pas deni: en eet, il n'existe pas de nombre reelxtel que 0x= 3.

Exemples.32 = 6 donc63

= 2, 20 = 0 donc02 = 0.Soienta;b;c;d;kdes nombres reels, avecb;d;knon nuls. Alors: (1)ab +cb =a+cb (2) ab cd =acbd, et en particulier, sia6= 0,1 ab =ba (3) ab =akbk. (4) Diviser par une fraction revient a multiplier par son inverse: a bd =adb .Propriete 1(Operations sur les fractions)Exemples.Simplier les fractions suivantes: A=258 2724
+1111
B= 212
7 +53 +446

C= 104

59
13 312
7 9 3+16 13 +12 3

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Puissance entiere d'un nombre reel

Denition.Soienta2Retn2N. Alors, on pose:

•an=aa:::a|{z} nfois(il y anfacteursadans le produit). En particulier,a1=a. •anl'inverse dean. On a ainsian=1a n.

Par convention,a0= 1.Exemples.(58)0= 1; 23=12

3=18 .Soientaetbdeux nombres reels non nuls etmetndeux entiers relatifs. Alors: (1)aman=am+n;ama n=amn; (am)n=amn. (2)ambm= (ab)m;amb m=ab m.Propriete 2(Puissance entiere d'un nombre reel)Exemples.Simplier les expressions suivantes:

A=1253

4211

B=181043103

C= 8(75)552737

455(72)2

Racine carree d'un nombre reel positif

Denition.Soita2R+. Laracine carreedeaest le nombre reelpositif, notepa, dont le carre est egal aa: Pour

touta2R+,papa= (pa)2=a:Exemples. p0 = 0, p9 = 3, p16 = 4. (1)

Si a;b2R+,papb=pab.

(2)

Si a2R+etb2R+,papb

=ra b .Propriete 3(Racine carree d'un nombre reel positif)4

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Exemples.Simplier les expressions suivantes:

A= (p73)(p7 + 3)

B=p6p14p18p7

C=3p5 +

p20p45(256 +43
ISoienta2Retb2R+. Pour simplier une fraction de la forme1a+pb , on multiplie le numerateur et le denominateur par laquantite conjugueedea+pb, c'est-a-direapb: 1a+pb =(apb)(a+pb)(apb)=apb a 2b

Exemples.Simplier les expressions suivantes:

A=1 +p5

3p5 B=p12 2( p3 + 2)

1.3 Identites remarquablesSoientaetbdeux nombres reels quelconques. Alors:

•En degre 2, (a+b)2=a2+ 2ab+b2 (ab)2=a22ab+b2 a

2b2= (a+b)(ab)

•En degre 3, (a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3 (ab)3=a33a2b+ 3ab2b3 a

3b3= (ab)(a2+ab+b2)

a

3+b3= (a+b)(a2ab+b2)Propriete 4(Identites remarquables)5

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2 Ordre dansR, equations et inequations

2.1 Inegalites, intervalles et valeur absolue

Denition.Soientaetbdeux nombres reels.

•On dit queaestinferieur ou egalabet on noteabsiba2R+. •On dit queaestsuperieur ou egalabet on noteabsiba2R. •On dit queaestinferieur strictementabet on notea < bsiba2R+.

•On dit queaestsuperieur strictementabet on notea > bsiba2R.IPour comparer deux nombres reelsaetb, on etudie le signe de leur dierenceba.

Exemples.

•Comparer78 et89 •Comparer 3 etp8.

Soienta;b;c;ddes nombres reels.

(1)abequivaut aa+cb+c. (2) Siabetcd, alorsa+cb+d. (3) Pour toutc <0,abequivaut aacbc. (4) Pour toutc >0,abequivaut aacbc. (5) Si 0abet 0cd, alorsacbd.(6) Si 0< ab, alors1a 1b

(7) Si 0ab, alorsa2b2.(8) Si 0ab, alors 0papb.Propriete 5(Operations sur les inegalites)Exemple.Sachant que2x6, determiner un encadrement de

1px+ 3:

•(7x)2: 6

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Denition.On appelleintervalle reell'ensemble des nombres reels compris entre deux nombres reels constituant la

borne inferieure et la borne superieure de l'intervalle. Les bornes d'un intervalle peuvent appartenir ou non

a l'intervalle.Voici les dierents types d'intervalles que l'on peut rencontrer: •Intervalles bornees (a;b2R,a < b): ]a;b[= ensemble desx2Rtels quea < x < b(intervalle ouvert). [a;b[= ensemble desx2Rtels queax < b(intervalle semi-ouvert). ]a;b] = ensemble desx2Rtels quea < xb(intervalle semi-ouvert). [a;b] = ensemble desx2Rtels queaxb(intervalle ferme). Dans ce cas, on parlera desegment. •Intervalles non bornees (a2R): ]a;+1[= ensemble desx2Rtels quea < x(intervalle ouvert). [a;+1[= ensemble desx2Rtels queax(intervalle ferme). ] 1;a[= ensemble desx2Rtels quex < a(intervalle ouvert). ] 1;a] = ensemble desx2Rtels quexa(intervalle ferme). Un intervalle reduit a un point se notefaget est appelesingleton.

Remarque.Sur le m^eme modele que la denition des intervalles reels, on peut aussi denir la notion d'intervalle

entier. Unintervalle entiernote [[a;b]], ouaetbsont deux entiers tels quea < b, est l'ensemble des entiers

n2Ztels queanb. Par exemple, [[1;5]] =f1;0;1;2;3;4;5g. Denition.Soita2R. Lavaleur absoluedeaest le nombre reel notejajdeni par: jaj=a;sia0; a;sia0:Exemples. Ecrire sans barres de valeurs absolues les nombres suivants: j0j=p21=p35=j5j=j72j=

Remarque.On retiendra que la valeur absolue d'un nombre reel est toujours positive. De plus, la valeur

absolue d'un nombre reel est nulle si et seulement si le nombre reel est nul:

8a2R;jaj= 0 equivaut aa= 0:

Interpretation geometrique.La valeur absolue d'un reel represente sa distance a 0. Siaetbsont deux reels,jbajest ladistancedeaab, notee aussid(a;b).(1)P ourtout r eela,jaj=jajetpa

2=jaj.

(2)

P ourtout r eelaet pour tout reel positifb,

jaj=bequivaut aa=boua=b: (3)

P ourtous r eelsa;b,

(a)ja+bj jaj+jbj(inegalite triangulaire). (b)jaj jbj=jabjet, sib6= 0,jajjbj=ab .Propriete 6(Valeur absolue d'un nombre reel)7 ECE1Lycee Clemenceau, ReimsSoientaun reel quelconque etrun reel strictement positif. Alors: (1)jxaj rest equivalent ax2[ar;a+r]. (2)jxaj rest equivalent ax2] 1;ar] oux2[a+r;+1[.

Ces proprietes sont encore vraies en remplacant les inegalites larges par des inegalites strictes et les

intervalles fermes par des intervalles ouverts.Propriete 7(Intervalles et valeur absolue)Exemples.Completer le tableau suivant:Tracer sur un

axeTraduction en valeurs absoluesTraduction en distancesTraductions avec des inegalitesTraduction avec des intervallesjx1j 2d(x;1)21x3x2[1;3]jx3j 1d(x;4)22x2x2[6;10]jxj>3x 4 oux2jx+ 2j<12.2

Equations et inequations

Denition.•Uneequationest uneegaliteentre deux expressions mathematiques appeleesmembresde l'equation,

et ou gure une ou plusieursinconnues. •Uneinequationest uneinegaliteentre deux expressions mathematiques appeleesmembresde l'inequation, et ou gure une ou plusieursinconnues.

•Resoudreune equation (resp. une inequation), c'est determiner toutes les valeurs des inconnues pour

lesquelles l'egalite entre les deux membres de l'equation (resp. l'inegalite entre les deux membres de

l'inequation) est veriee. •Deux equations ou deux inequations sontequivalentessi elles ont les m^emes solutions. On se limitera dans ce chapitre au cas des equations et des inequations a une inconnue.8

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Notation.Si (E1) et (E2) sont deux equations ou deux inequations equivalentes, on notera: (E1),(E2).

IPour resoudre une equation ou une inequation, on la transforme successivement en equations ou inequations

equivalentes de facon a isoler le ou les inconnues pour pouvoir les determiner.

A partir d'une equation, on utilise les operations suivantes pour obtenir une equation equivalente:(1)Lorsqu'on a joute(ou soustrait) un m ^emenom brer eelaux deux mem bresd'une equation,on

obtient une equation equivalente. (2) Lorsqu'on m ultiplie(ou divise) par un m ^emenom brer eelnon n ulles deux mem bresd'une

equation, on obtient une equation equivalente.Propriete 8(Operations sur les equations)Exemple.Resoudre l'equation (E1) :p2(x+ 3p2) =x+ 7.

A partir d'une inequation, on utilise les operations suivantes pour obtenir une inequation equivalente:(1)Lorsqu'on a joute(ou soustrait) un m ^emenom breaux deux mem bresd 'unein equation,on obtien t

une inequation equivalente en conservant l'ordre. (2) Lorsqu'on m ultiplie(ou divise) par un m ^emenom brer eelstrictement positifles deux membres d'une inequation, on obtient une inequation equivalente enconservant l'ordre. (3) Lorsqu'on m ultiplie(ou divise) par un m ^emen ombrer eelstrictement negatifles deux membres

d'une inequation, on obtient une inequation equivalente enchangeant l'ordre.Propriete 9(Operations sur les inequations)Exemple.Resoudre l'inequation (E2) : 2x+ 35x4.

9

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3 Polyn^omes des premier et second degres

3.1 Polyn^omes du premier degre

Soientaetbdeux nombres reels aveca6= 0. Considerons le polyn^omePdu premier degre deni par

P(x) =ax+b, ouxest un nombre reel quelconque.

Pest une fonction ane. Elle est representee graphiquement par une droite.aest le coecient directeur de

cette droite etbest son ordonnee a l'origine.

Equation

ax+b= 0Inequation ax+b >0Inequation ax+b <0Graphique

Lorsque

a >0L'equation ax+b= 0 admet pour solutionbaL'inequation ax+b >0 admet pour ensemble de solutions ba ;+1L'inequation ax+b <0 admet pour ensemble de solutions 1;ba

Lorsque

a <0L'equation ax+b= 0 admet pour solutionbaL'inequation ax+b >0 admet pour ensemble de solutions 1;ba

L'inequation

ax+b <0 admet pour ensemble de solutions ba ;+1Le signe deP(x) =ax+best donne par le tableau suivant:x P(x)1 ba+1signe dea0signe deaExemple.On considere les polyn^omes du premier degreP(x) = 2x3 etQ(x) =x+ 1. 1. Donner la r epresentationgraphique des fonctions p olyn^omesPetQ.10

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2. D eterminer,en fonction de x, le signe deP(x) = 2x3 et deQ(x) =x+1. En deduire les solutions de l'inequation (E3) : (2x3)(x+ 1)<0.

3.2 Polyn^omes du second degre

Soienta;betctrois nombres reels xes. Considerons le polyn^omePdu second degre deni parP(x) = ax

2+bx+c, ouxest un nombre reel quelconque. On suppose quea6= 0 (sia= 0, on est dans le cas d'un

polyn^ome du premier degre et cette situation a deja ete etudiee dans la section precedente).Soienta;b;ctrois reels,a6= 0,P(x) =ax2+bx+cun polyn^ome du second degre. On appelle

discriminantdu polyn^omePle nombre reel, note , egal ab24ac. Alors: •Si >0,Padmetdeux racines distinctesx1=b+p

2aetx2=bp

2aet on a la

factorisation suivante:

P(x) =a(xx1)(xx2):

•Si = 0,Padmetune unique racine doublex0=b2aet on a la factorisation suivante:

P(x) =a(xx0)2:

•Si <0,Padmetaucune racineet il ne peut pas ^etre factorise. En particulier,P(x) est

non nul pour toutx2Ret du signe du coecienta.Theoreme 10(Racines d'un polyn^ome du second degre)Preuve.On commence par mettre le polyn^omePsousforme canonique:

11

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Le discriminant permet de "discriminer" entre les dierents cas selon son signe: •Si >0, •Si = 0, •Si <0, On en deduit le signe deP(x) =ax2+bx+csuivant la valeur de : •Lorsque >0,x

P(x)1x

1x

2+1signe dea0signe dea0signe dea•Lorsque = 0,x

P(x)1x

0+1signe dea0signe dea•Lorsque <0,x

P(x)1+1signe dea12

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Interpretation graphique.La representation graphique deP(x) =ax2+bx+cest uneparaboledont l'axe

de symetrie est la droite verticale d'equationx=b2a. La parabole est tournee vers le haut sia >0 et vers le

bas sia <0.

Les racines eventuelles correspondent aux abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des

abscisses.

Cas oua >0:Cas oua <0:Exemple.On considere les polyn^omes du second degreP(x) =x2+x6 etQ(x) = 2x2+ 2x4.

1. D eterminerles racines des p olyn^omesPetQ, puis les mettre sous forme factorisee. 2. Donner la repr esentationgraphique des p olyn^omesPetQ.13

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3.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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