Nombres réels
On utilise aussi les ensembles de réels notés R+ R?
ENSEMBLES DE NOMBRES
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des Par exemple ?* est l'ensemble des nombres réels privé de 0. 8. Inclusions.
Propriétés des nombres réels
introduire les différents ensembles de nombres (les entiers naturels N et relatifs On note R+ (respectivement R?) l'ensemble des nombres réels positifs ...
Sans titre
l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls (resp. négatifs ou nuls). On désigne par une étoile un ensemble de nombres privé de 0 ainsi R.
denombrabilite.pdf
14?/05?/2005 l'ensemble des réels compris entre 0 et 1 et dont le développement décimal ne ... Soit (ue)e?E une famille de réels positifs ou nuls.
Exo7 - Exercices de mathématiques
A et B étant des parties d'un ensemble E démontrer les lois de Morgan : Montrer que
Ensemble des nombres réels et sous-ensembles
Les entiers naturels sont les entiers positifs. Par exemple 0
Ensemble des nombres réels et sous-ensembles - AlloSchool
Tous les entiers qu'ils soient négatifs positifs ou nuls
Pierre Lux - ORDRE DANS IR
Soit a b
LES NOMBRES RÉELS
Pour tout un nombre réel positif ou nul x il existe un unique réel positifs ou nuls
[PDF] ENSEMBLES DE NOMBRES - maths et tiques
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ? ?= 0;1;2;3;4
[PDF] Nombres réels
8 nov 2011 · On utilise aussi les ensembles de réels notés R+ R? R+? et R?? Ensemble Définition Notation Réels positifs ou nuls
[PDF] Propriétés des nombres réels - Anthony Mansuy
Nous commençons par introduire les différents ensembles de nombres (les entiers naturels N et relatifs Z les nombres rationnels Q et les nombres réels R) On
[PDF] Nombres réels - Licence de mathématiques Lyon 1
Si et sont des réels positifs ou nuls montrer que Déterminer les ensembles suivants mettre ces ensemble sous la forme d'un intervalle de ? ou
[PDF] Les-ensembles-de-nombres-2ndepdf
- On note aussi ?+ l'ensemble des nombres réels positifs ?- l'ensemble des nombres réels négatifs et ?* l'ensemble des nombres réels sauf zéro - Exemples : 0
[PDF] Ensemble des nombres réels et sous-ensembles - AlloSchool
Les entiers naturels sont les entiers positifs Par exemple 0 1 2 et 5676 sont des entiers naturels Par contre -45 n'en est pas un
[PDF] Pierre Lux - ORDRE DANS IR
Soit a b c et d des réels positifs l'ensemble des nombres réels vérifiant la double inégalité a ? x ? b est appelé intervalle fermé a b de IR noté
[PDF] Les nombres réels
1 fév 2017 · des constructions rigoureuses de l'ensemble R des nombres réels sont appa- des nombres réels tous positifs ou nuls
[PDF] Nombres réels - Institut de Mathématiques de Toulouse
L'ensemble des nombres rationnels c'est à dire des fractions membres positifs (p q) ? (p q ) lorsque pq ? qp et cette relation ne dépend pas
[PDF] Le corps des nombres réels I Les ensembles N Z et Q
Il existe un ensemble appelé corps des nombres réels et noté R muni de 2 lois (opérations) Unicité : Soient x et y deux réels positifs tels que x
Quels sont les nombres réels positifs ?
(b) Les nombres réels. Il est habituel de représenter un nombre réel par un point de la droite, appelée droite réelle. Sur cette droite, les nombres positifs figurent à droite du point associé à 0, appelé origine, et les négatifs à gauche de ce point.Quel est l'ensemble R+ ?
On note R+ l'ensemble des nombres réels positifs.Comment montrer qu'un réel est positif ?
On dit qu'un réel est positif s'il est supérieur ou égal à 0. Il est négatif s'il est inférieur ou égal à 0. En particulier, 0 est le seul réel qui soit à la fois positif et négatif.- Le symbole R désigne l'ensemble des nombres réels. Tous les nombres naturels, entiers, décimaux et rationnels sont des nombres réels.
Chapitre 1
Rappels et compl´ements
Dans ce chapitre, nous introduisons des notations et quelques notions ensem- blistes utiles pour la suite de l"ouvrage. Nous y avons aussi rassembl´elespro- pri´et´es des fonctions usuelles, qui sont un pr´e-requis indispensable pour ce cours, meme celles qui seront vues ult´erieurement, pour donner au lecteur un aide-m´emoire complet. Les notions utilis´ees ici (continuit´e, d´erivabilit´e, convexit´e, li-
mites, ...) seront d´efinies dans les chapitres suivants dans un cadre plus g´en´eral, o`u les fonctions usuelles serviront d"exemples. Un lecteur familiaris´eauxsymboles math´ematiques, et pour qui les propri´et´es ´el´ementaires des fonctions usuellesn"auraient plus de secret, peut se dispenser de la lecture de ce premier chapitre.1.1. Quelques notations
Les ensembles
Unensembleest une collection d"objets. SiEest un ensemble : - la notationx?Esignifiexappartient `aE. On dit aussi quexest un´el´ement deE. - la notationx??Esignifiexn"appartient pas `aE. Le symbole∅d´esigne l"ensemble vide, qui n"a aucun ´el´ement. Un ensemble qui ne contient qu"un seul ´el´ement s"appelle unsingleton.Les ensembles classiques de nombres Nous notonsNl"ensemble des entiers naturels, comme par exemple 1 ou 23, on ´ecrit 23?N. L"ensemble des entiers relatifs est not´equant`aluiZ, par exemple -3?Zmais aussi 4?Z.Ainsi,Nest unsous-ensembledeZ. Enfin, l"ensemble des nombres r´eels est not´eR, il comprend tous les nombres commeπou 45/789. Les r´eels sont parfois aussi appel´es desscalaires. On retrouvera cette terminologie au chapitre 10.On noteR+
(resp.R- ) l"ensemble des nombres r´eels positifs ou nuls (resp. n´egatifs ou nuls). On d´esigne par une ´etoile un ensemble de nombres priv´ede0,ainsiR est l"ensemble de tous les nombres r´eels non nuls.Quelques symboles ensemblistes
On d´efinit un ensemble, soit en donnant la liste de ses ´el´ements, soit par une propri´et´e qui les caract´erise :E={-5,-1,0,3,6},F={x?R|x3
-3x+1?=0}.2CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPL´EMENTS
Le symbole|se littel quedans la d´efinition d"un ensemble. Par exemple, {x?N|x<2}={0,1}, {x?R|x 2 +1<0}=∅. SiAetBsont deux ensembles, lar´eunion deAetB,not´eeA?B, qui se lit"A unionB», est l"ensemble form´eparles´el´ements qui appartiennent `aAou `aB.Par exemple,{1,4}={1}?{4}et
R=R ?R ?{0}, qui signifie que l"ensemble des nombres r´eels est l"union des nombres r´eels stric- tement positifs, des nombres r´eels strictement n´egatifs et de 0. Le signe∩d´ecrit l"intersectionde deux ensembles et se lit"AinterB».A∩B est l"ensemble des ´el´ements qui appartiennent `aAet `aB. Par exemple, {1,4,6}∩{1,4,5}={1,4}etR ∩Z=N. Nous utilisons aussi le signe?qui montre qu"un ensemble est inclus dans un autre, on dit que c"est unsous-ensemble.Onaparexemple{1,4}?{1,4,5}et N?Z?R.L"inclusionde l"ensembleAdans l"ensembleBsignifie que tous les ´el´ements deAsont aussi des ´el´ements deB. Lorsque un ensemble est inclus dans un autre, on peut en faire la soustraction : siA?B,alorsonpeut´ecrireB\A, qui se lit"Bpriv´edeA», et qui repr´esente les ´el´ements qui sont dansBmais pas dansA. Par exemple{1,4,6}\{1}={4,6} etR =R\{0}. Attention, il faut v´erifier que les ensembles sont compatibles, c"est-`a-dire que le premier ensemble contient bien le second. SiAetBsont deux ensembles (par exemple des intervalles deR), on noteA×B, qui se lit"AcroixB», l"ensemble des couples (a,b)telsquea?Aetb?B. L"ensembleA×Bs"appellele produit cart´esiendes ensemblesAetB.Ilest ´equivalent d"´ecrirea?A,b?Bet (a,b)?A×B. L"ordre est important : l"ensembleA×Bn"est ´egal `a l"ensembleB×Aque siA=B.SiA=B, on utilise aussi la notationA 2 au lieu deA×AetA 3 pourA×A×A. On rencontrera ainsi souvent la notationR 2 pour l"ensemble des couples de nombres r´eels etR 3 pour les triplets de nombres r´eels. Nous retrouverons le produit cart´esien dans le chapitre 10.Symboles math´ematiques
Pour faciliter l"´ecriture des ´enonc´es math´ematiques, nous utilisons -lesigne?qui signifieil existe(la lettreEen miroir), -lesigne?pourquel que soit(oupour tout), c"est la lettreArenvers´ee, premi`ere lettre du mot anglaisall,quisignifietout.Nous obtenons par exemple :
?x?R ,?y?R ,x=y 2 ce qui signifie que pour tout r´eel positifx,ilexisteunr´eel positifytel quex=y 21.2. RAPPELS SUR LES FONCTIONS USUELLES3
Implication et ´equivalence
Dans ce paragraphe, les lettresPetQrepr´esentent des propositions, c"est-`a- dire des ´enonc´es math´ematiques, auxquels on peut attribuer la valeur "vrai" ou "faux". La notationP=?Qse lit"PimpliqueQ», et elle signifie que siPest vraie, alorsQest vraie. La notationP??Qse lit"PetQsont ´equivalentes», et elle signifie queP impliqueQet queQimpliqueP. Cessymbolesnesontpasdessignesst´enographiques, et ils doivent etre utilis´es `a bon escient.Fonction factorielle
Pour toutn?N,ond´efinit la fonction factorielle de la fa¸con suivante : 0! = 1 et pour toutn?1,1.2. Rappels sur les fonctions usuelles
Ce paragraphe regroupe les propri´et´es fondamentales des fonctions dites usuelles : valeur absolue, fonctions polynomes, exponentielle, logarithme et fonctions puis- sance. Les fonctions trigonom´etriques ne seront pas ´etudi´ees dans ce livre. Il s"agit essentiellement de rappels du cours de Terminale S. Les notions de limites, d´erivabilit´eetsym´etries sont red´efinies dans les chapitres suivants.1.2.1. Valeur absolue
D´efinition 1.1.-?x?R, on appellevaleur absolue dexle nombre r´eel positif not´e |x| d´ef =max(x,-x)=?xsix?0 -xsix<0. Les deux figures ci-dessous repr´esentent les graphes des fonctionsx?→|x|et x?→|x-2|+ 1. On pourra remarquer leurs similitudes. 11-1-2xy
012 123xy 0
4CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPL´EMENTS
Le changement de|x|en|x-2|d´ecale la figure de deux unit´es vers la droite, et l"ajout de la constante 1 d´ecale le graphe d"une unit´e vers le haut. Cette remarque se g´en´eralise pour passer de la courbe repr´esentative d"une fonctionf`a celle de la fonctionx?→f(x-a)+b.On a les relations suivantes pourα?R
En rempla¸cantxparx-adans les formules pr´ec´edentes, on v´erifie que : si a?Retα?R En tra¸cant la droite r´eelle, on peut interpr´eter l"ensemble des r´eelsxtels que |x-a|?αcomme l"ensemble des r´eelsxqui sont `a une distance inf´erieure `aα du r´eela. Par exemple, dans la figure ci-dessous nous avons repr´esent´elesr´eels qui sont `a une distance au plusα=2dupointa=1.5, c"est-`a-dire l"ensemble?x?R||x-1.5|?2?.01234-1
xa a+αa-α Proposition 1.2(Quelques propri´et´es de la valeur absolue) (i)?a?R,|a|?0et|a|=0??a=0. (ii)?(a,b)?R 2 ,|ab|=|a||b| (iii)?a?R,?b?R ,???a b? ??=|a||b| (iv)?(a,b)?R 2 ,???|a|-|b|????|a+b|?|a|+|b|. Cette derni`ere in´egalit´e s"appelle l"in´egalit´e triangulaire. Finalement, nous rappelons les liens entre la valeur absolue et la racine carr´ee :1.2. RAPPELS SUR LES FONCTIONS USUELLES5
Proposition 1.3(Quelques relations entre valeur absolue et racine carr´ee)Pour tous les r´eelsaetb,ona
(i)⎷ a 2 =|a|et|a| 2 =a 2 (ii)sib?R ,a 2 =b??a=±⎷b, (iii)a 2 ?b 2 ?? |a|?|b|??-|b|?a?|b|, (iv)a 2 Exemple 1.4.-Onaainsi|⎷5-2|=⎷5-2, mais|⎷5-3|=3-⎷5, et?
(⎷5-3) 2 =3-⎷5.1.2.2. Fonctions polynomes et fractions rationnelles
D´efinition 1.5.-Soitn?N. S"il existe des r´eelsa 0 ,a 1 ,...,a n aveca n =0 tels que ?x?R,f(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +···+a n x n alors la fonctionfd´efinie surRest appel´eefonction polynome (ou polynomiale).Les r´eelsa
0 ,a 1 , ...,a n sont appel´es lescoefficients, et l"entiernledegr´e,du polynome. Unefonction affineest une fonction polynome de degr´e1. Une fonction polynomedelaformef(x)=axaveca?Rest appel´ee une fonction lin´eaire. Dans la d´efinition d"une fonction polynome, les exposants sont des nombres entiers positifs. Ainsi, la fonction d´efinie parf(x)=2x 1/2 +3x 1/3 n"est pas une fonction polynome. Les fonctions polynomes sont d´efinies et d´erivables surR. D´efinition 1.6.-Unefraction rationnelleest un quotient de deux fonctions polynomes.6CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPL´EMENTS
Les fractions rationnelles sont d´efinies et d´erivables en tout point o`uled´enomi- nateur ne s"annule pas.1.2.3. Fonction logarithmique
La fonctionlogarithme n´ep´erien,not´ee ln, est d´efinie sur ]0,+∞[. C"est la pri- mitive de la fonctionx?→ 1 x qui s"annule en 1. En particulier, ln est une fonction d´erivable sur ]0,+∞[, et ?x>0,(ln(x)) =1 xet ln(1) = 0. Les limites `a connaıtre de la fonction logarithme sont : lim x→0 ln(x)=-∞et lim x→+∞ ln(x)=+∞. On en d´eduit le tableau de variations puis le graphe. La fonction logarithmique est strictement croissante et son graphe est repr´esent´e sur la figure ci-dessous. Notons queeest l"unique r´eel strictement positif tel que lne= 1, il est approximativement´egal `a2.71.
1 -1 -21234567 xy 0Graphe dex?→ln(x)e
Les r`egles de calculs de la fonction logarithmique sont ?a,b?R ,ln(a)+ln(b)=ln(ab),ln?1 a? =-lna ?a?R ,?b?R ,ln?a b ?=bln(a).1.2.4. Fonction exponentielle
La fonction exponentielle, not´ee exp, est d´efinie surR. C"est la fonction r´eciproque de la fonction logarithme. On a pour toutx?R,exp(x)=e xElle est d´erivable surRet l"on a
?x?R,(exp(x)) =exp(x),exp(0) = 1 et exp(x)>0.1.2. RAPPELS SUR LES FONCTIONS USUELLES7
Le lien fondamental avec la fonction logarithme est le suivant : ?x?R,?y?R ,exp(x)=y??x=lny. Dans la relation ci-dessus, liant le logarithme est l"exponentielle,xest un r´eel quelconque, tandis queyest un r´eelstrictement positif. Les limites `a connaıtre de la fonction exponentielle sont : lim x→-∞ exp(x)=0,lim x→+∞ exp(x)=+∞. Les r`egles de calculs pour la fonction exponentielle sont ?a,b?R,exp(a)exp(b)=exp(a+b)et1 exp(a)=exp(-a) Enfin pour terminer, le graphe de la fonction exponentielle est repr´esent´esurla figure ci-dessous. 1231-1-2-3xy
0Graphe dex?→exp(x)
e1.2.5. Fonctions puissances
Unefonction puissanceest une fonction de la formex?→x o`uα?R,ap- pel´el"exposant.Lad´efinition, les domaines de d´efinition et de d´erivabilit´edes fonctions puissances d´ependent de l"exposantα. Les fonctions puissances se rencontrent beaucoup en ´economie. Par exemple, si on constate dans le cadre d"une production, que les couts d"usure augmentent plus rapidement que la production, on peut choisir de mod´eliser ce ph´enom`ene `a l"aide d"une fonction puissance d"exposant 0<α<1. De fa¸con analogue, lorsque nous ´etudierons les fonctions de deux variablesxetydans la seconde partie du cours, nous rencontrerons souvent les fonctions ditesde Cobb-Douglas,dela formef(x,y)=x y , souvent utilis´ees pour mod´eliser un probl`eme ´economique. On d´efinit d"abord les fonctions puissances pourαentier positif (α?N), puis pourαentier n´egatif (α?Z) puis enfin pourαr´eel quelconque (α?R).8CHAPITRE 1. RAPPELS ET COMPL´EMENTS
Valeur deα
Domaine de d´efinitionD´efinition
n?N,n?1,x n R x n =x×x×···×x? nfois n?N ,x -n R x -nd´ef =1/x n n?N ,x 1/nR sinest pairRsinest impairFonction r´eciproque dex
n y=x 1/n ??x=y nα?R
,x R xαd´ef
=eαlnx
Exemple 1.7.-`Apartirdesd´efinitions du tableau, on voit par exemple que, pour tout r´eel positif ou nul, x 1/2 =⎷x Nous rappelons maintenant quelques r`egles de manipulation des puissances. Pour tousα?R,β?Ret pour toutx>0ety>0, on a : x x =xquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] élément en latin
[PDF] les 4 éléments en latin
[PDF] radicaux latin
[PDF] le diplôme un passeport pour l emploi cours
[PDF] étapes formation alpes
[PDF] exposé formation des alpes
[PDF] formation des alpes terminale s
[PDF] formation des alpes animation
[PDF] front pennique définition
[PDF] zone dauphinoise
[PDF] profil d élévation google earth
[PDF] google earth manual
[PDF] master pro imagerie médicale
[PDF] ingenieur application imagerie medicale