[PDF] Composantes dun vecteur dans une base. Changement de base

View - Download Composantes dun vecteur dans une base. Changement de base

Previous PDF

Next PDF

FST Mulhouse. Université de Haute Alsace

Licence 1 Physique-Chimie

Mathématiques : ALGEBRE LINEAIRE

Elisabeth REMM

Chapitre 4Composantes d"un vecteur dans une base.

Changement de baseTable des matières

1. Composantes d"un vecteur dans une base 2

2. Changement de base 3

2.1. La matrice de passage 3

2.2. La matrice de passage inverse 4

3. Matrices carrées 5

3.1. L"espace vectoriel des matrices carrées 5

3.2. Le déterminant d"une matrice carrée 6

3.3. Le calcul du déterminant en utilisant PYTHON 8

4. Propriétés de la matrice de changement de base 8

4.1. Déterminant de la matrice de passage d"une base à une autre. 8

4.2. Formule du changement de composantes 9

1

2 L1-Physique-Chimie. Chapitre 4

1.Composantes d"un vecteur dans une base

SoitEun espace vectoriel de dimensionpet soitB={-→e1,-→e2,···,-→ep}une base deE.

Rappelons qu"une base est une famille libre et génératrice. La donnée de cette base va permettre

de ramener tous les calculs linéaires sur les vecteurs deEen des calculs analogus à ceux que nous avons fait dansRnsi l"espace vectoriel est réel.

Soit-→vun vecteur quelconque deE. La famille{-→v ,-→e1,-→e2,···,-→ep}est nécessairement liée

car une base est une famille libre maximale. Il existe donc une relation linéaire à coefficients

non tous nuls α-→v+α1-→e1+α2-→e2+···+αp-→ep= 0.

Nécessairementα?= 0, sinon comme les vecteurs-→e1,···,-→epsont indépendants, tous les autres

coefficientsαiseraient nuls. Divisons donc parαet posons x i=-αiα

On obtient

Théorème 1.SoitEun espace vectoriel de dimensionpet soitB={-→e1,-→e2,···,-→ep}une base

deE. Tout vecteur-→vdeEs"écrit de manière unique avecx1,···,xp?K

Les sacalairesx1,x2,···,xps"appellent les composantes de-→vrelatives à la base donnéeB.

Bien entendu ces composantes dépendent du choix de la baseB. On pourra écrire -→v={x1,x2,···,xp}B ou, si aucune confusion n"est possible quant à la base -→v={x1,x2,···,xp}. Mais, si l"on utilise cette dernière notation, ne jamais oublier que le choix de la baseBest sous-entendu. Exemple.DansR3, tout vecteur-→vs"écrit-→v= (x,y,z)ce qui correspond aux composantes de-→vrelatives à la base canonique{-→i ,-→j ,-→k}: -→v=x-→i+y-→j+z-→k .

Considérons à présent les trois vecteurs

-→e1= (1,1,0),-→e2= (-1,0,1),-→e3= (0,1,-1). Ces vecteurs sont linéairement indépendants. En effet la matrice de ces trois vecteurs est M=( (1-1 0 1 0 1

0 1-1)

et on adetM=-2. Donc ces vecteurs sont linéairement indépendants. CommedimR3= 3, trois vecteurs linéairement indépendants forment une famille libre maximale, c"est donc une base. Le vecteur-→v= (x,y,z)admet une décomposition dans cette base

Elisabeth Remm 3

Nous pouvons calculerX,Y,Zen fonction dex,y,z.On a -→v=X-→e1+Y-→e2+Z-→e3=X(1,1,0) +Y(-1,0,1) +Z(0,1,-1) d"où-→v= (X-Y,X+Z,Y-Z) = (x,y,z).

On obtient le système

?X-Y=x X+Z=y

Y-Z=z.

On en déduitY=X-x,Z=y-X,X-x-(y-X) =zsoit

X=x+y+z2

,Y=-x+y+z2 ,Z=-x+y-z2

Ainsi-→v=x+y+z2

-→e1+-x+y+z2 -→e2+-x+y-z2 -→e3 est la décomposition de -→vrelative à la base{-→e1,-→e2,-→e3}.

2.Changement de base

Dans l"exemple précédent, nous avons présenté un premier exemple de changement de base. SoitEun espace vectoriel de dimension finiep. Etant donnée une base deE, chaque vecteur deEs"écrit comme sous forme depcomposantes. Mais ces composantes dépendent de la base choisie. Le but de cette section est de voir comment calculer les composantes d"un vecteur dans une base donnée aux composantes de ce même vecteur dans une autre base.

2.1.La matrice de passage.SoitB={-→e1,-→e2,···,-→ep}une base deE. Tout vecteur se dé-

compose de façon unique dans cette base. Considérons une nouvelle baseB?={-→f1,-→f2,···,-→fp}.

Chacun de vecteurs-→fjde cette nouvelle base se décompose dans la première base donnée :

Ainsi(α1,1,α2,1,···,αp,1)sont les composantes du vecteurs-→f1relatives à la première baseB,

(α1,2,α2,2,···,αp,2)sont les composantes du vecteurs-→f2relative à la baseB, ainsi de suite

pour chacun des vecteurs de la baseB?.Nous avons besoin de deux indices pour numéroter chacune des composantes, le premier est relatif au numéro de la composante, le deuxième est lié à l"indice du vecteur. Construction de la matrice de passage.Nous allons écrire toutes ces composantes sous la forme d"un tableau carré, appelé matrice carréeen respectant l"ordre suivant la premiè recolonne du tableau est formée des comp osantesdu premier v ecteur-→f1de la nouvelle base, la deuxième colonne du tableau est formée des comp osantesdu deuxième v ecteur-→f2de la nouvelle base, etc...

4 L1-Physique-Chimie. Chapitre 4

la dernière colonne (la p-ième) est formée des composantes du dernier vecteur-→fpde la nouvelle base,

On obtient donc la matrice suivante :

P=(

1,1α1,2α1,3···α1,p

2,1α2,2α2,3···α2,p

3,1α3,2α3,3···α3,p

p,1αp,2αp,3···αp,p) Ainsi dansαi,jle premier indice est celui de la ligne et le deuxième celui de la colonne. Bien se rappeler, la matrice de passage de la baseBà la baseB?se construit en mettant en colonne les composantes des vecteurs de la nouvelle baseB?relative à la première baseB. Définition 1.La matricePest appelée la matrice de passage de la baseBà la baseB?.

2.2.La matrice de passage inverse.Considérons toujours nos deux basesBetB?mais cette

fois décomposons les vecteurs de la première base dans la deuxième. SiB={-→e1,-→e2,···,-→ep}

etB?={-→f1,-→f2,···,-→fp}, chacun des vecteurs-→eideBse décompose dans la baseB?=

On construit comme précédemment une matrice en mettant en colonne les composantes des vecteurs-→e1,-→e2,···,-→ep: on obtient donc la matrice suivante : Q=(

1,1β1,2β1,3···β1,p

2,1β2,2β2,3···β2,p

3,1β3,2β3,3···β3,p

p,1βp,2βp,3···βp,p) Définition 2.La matriceQde passage de la baseB?à la baseBest appelée la matrice inverse de la matrice de passagePde la baseBà la baseB?. On la note aussiQ=P-1.

Remarque : Cas de la dimension3.Etant donnés trois vecteurs-→v1,-→v2,-→v3deR3, nous

avons construit au premier chapitre la matrice (carrée) de ces trois vecteurs. La propriété

fondamentale de cette matrice était la suivante, si le déterminant est non nul, alors les trois

vecteurs sont linéairement indépendants. Ils forment donc une nouvelle base deR3et la matrice

est donc la matrice de passage de la base canonique{-→i ,-→j ,-→k}deR3à la nouvelle base

{overrightarrowv1,-→v2,-→v3}. Nous pouvons interpréter cette propriété en disant

Proposition 1.Etant donnés trois vecteurs-→v1,-→v2,-→v3deR3, ils forment une base deR3si et

seulement si la matrice de ces trois vecteurs a un déterminant non nul. Corollaire 1.Une matrice carrée d"ordre3est une matrice de passage si et seulement si son déterminant est non nul.

Elisabeth Remm 5

Nous allons généraliser cette propriété pour une dimension quelconque. mais pour cela il faut

définir le déterminant d"une matrice carrée quelconque.

3.Matrices carrées

3.1.L"espace vectoriel des matrices carrées.On appelle matrice carrée réelle, siK=R

ou complexe, siK=C, d"ordreptout tableau carréplignes etpcolonnes dont les éléments sont des scalaires deK. On écrira une telle matrice sous la forme A=( (((((a

1,1a1,2a1,3···a1,p

a

2,1a2,2a2,3···a2,p

a

3,1a3,2a3,3···a3,p

a p,1ap,2ap,3···ap,p)

Les coefficientsai,jsont indexés par deux indicesi,j, le premier désigne la ligne qui le contient

et le deuxième la colonne qui le contient. Ainsiai,jest sur la ligne numéroiet sur la colonne numéroj. Nous noterons parM(p,K)l"ensemble des matrices carrées d"ordrepà coefficients dansK. Pour simplifier, nous noterons égalementA= (ai,j)une telle matrice.

Nous pouvons définir dansM(p,K)

(1)

Une addition : si

A=( (((((a

1,1a1,2a1,3···a1,p

a

2,1a2,2a2,3···a2,p

a

3,1a3,2a3,3···a3,p

a p,1ap,2ap,3···ap,p) ))))), B=( (((((b

1,1b1,2b1,3···b1,p

b

2,1b2,2b2,3···b2,p

b

3,1b3,2b3,3···b3,p

b p,1bp,2bp,3···bp,p) alorsA+Best la matrice carrée d"ordrep A+B=( (((((a a a a (2)

Une m ultiplicationexterne : si λ?Ket

A=( (((((a

1,1a1,2a1,3···a1,p

a

2,1a2,2a2,3···a2,p

a

3,1a3,2a3,3···a3,p

a p,1ap,2ap,3···ap,p) )))))? M(p,K), alors

λA=(

(((((λa

1,1λa1,2λa1,3···λa1,p

λa

2,1λa2,2λa2,3···λa2,p

λa

3,1λa3,2λa3,3···λa3,p

λa p,1λap,2λap,3···λap,p)

6 L1-Physique-Chimie. Chapitre 4

Muni de ces deux opérations,M(p,K)est un espace vectoriel de dimensionp2, une base étant donnée par lesp2matrices distinctes dont tous les coefficients sont nuls exceptés un qui vaut 1.

3.2.Le déterminant d"une matrice carrée.Nous avons déjà défini cette notion pour les

matrices d"ordre2et3: (1) Si

A=?a c

b d? alors detA=ad-bc. (2) Si A=( (a 1a2a3 b 1b2b3 c

1c2c3)

alors calculé avec la règle de Sarrus, ou bien detA=a1(det?b 2b3 c 2c3? )-a2(det?b 1b3 c 1c3? ) +a3(det?b 1b2 c 1c2? calculé avec la règle de Cramer. C"est cette dernière formule qui va nous permettre d"écrire la définition dans le cas quel- conque. SoitA= (ai,j)? M(p,K). Définition 3.Pour chacun des coefficientsai,jde la matriceA, le mineurm(ai,j(que nous noterons aussi en majusculeAi,jsi cela n"entraîne aucune confusion) deai,jest le déterminant de la matrice carrée d"ordrep-1obtenu en enlevant àAla ligne et la colonne contenant le coefficientai,j, c"est-à-dire la ligneiet la colonnej.

Eexemple,p= 3.si

A=( (a 1a2a3 b 1b2b3 c

1c2c3)

alors, par exemple, A

1= det?b

2b3 c 2c3? =b2c3-b3c2, A2= det?b 1b3 c 1c3? =b1c3-b3c1. La formule de Cramer donnant le déterminant se résume alors à detA=a1A1-a2A2+a3A3.

Elisabeth Remm 7

Définition 4.Soit

A=( (((((a

1,1a1,2a1,3···a1,p

a

2,1a2,2a2,3···a2,p

a

3,1a3,2a3,3···a3,p

a p,1ap,2ap,3···ap,p) une matrice carrée d"ordrep. Choisissons une ligne, par exemple la ligne numéroi. Alors detA= (-1)i+1jai,1Ai,1+ (-1)i+2ai,2Ai,2+ (-1)i+3ai,3Ai,3+···+ (-1)i+pai,pAi,p. Remarque : sur le choix de la ligneLa formule donnant le déterminant donne le même

résultat quelle que soit la ligne choisie (heureusement!). On aura donc intérêt à choisir la ligne

comportant le maximum de0. En particulier siAcontient une ligne n"ayant que des0, son déterminant est nul. La définition ci-dessus s"interprète comme un développement du déterminant suivant une

ligne. On peut donner une définition analogue mais liée à un développement suivant une co-

lonne.

Définition 5.Soit

A=( (((((a

1,1a1,2a1,3···a1,p

a

2,1a2,2a2,3···a2,p

a

3,1a3,2a3,3···a3,p

a p,1ap,2ap,3···ap,p) une matrice carrée d"ordrep. Choisissons une colonne, par exemple la ligne numéroj. Alors detA= (-1)1+ja1,jA1,j+ (-1)i2+ja2,jA2,j+ (-1)3+ja3,jA3,j+···+ (-1)p+jap,jAp,j. Exemple.Calcul du déterminant de la matrice carrée A=( (((1 0-2 2 -3-3 6 5

5 1-10-4

-4 2 8 1) Développons par rapport à la première ligne (elle contient un0) : detA= 1det( (-3 6 5

1-10-4

2 8 1)

)-0 + (-2)det( (-3-3 5 5 1-4 -4 2 1) )-2det( (-3-3 6

5 1-10

-4 2 8)quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

[PDF] définition de la traduction pdf

[PDF] c'est quoi la traduction

[PDF] la définition de la traduction

[PDF] qu'est ce que la traduction littéraire

[PDF] qu'est ce que la traduction

[PDF] adjectif personnalité travail

[PDF] casnav test francais

[PDF] exprimer un+1 en fonction de n suite arithmétique

[PDF] liste de mots invariables cm2

[PDF] nouveaux mots larousse 2017

[PDF] pondichery 2017 physique labolycee

[PDF] nouvelle caledonie 2015 physique

[PDF] pondichery 2017 labolycee

[PDF] labolycee bac 2017

[PDF] bac physique 2017 nouvelle calédonie