Cours C02 :
Si cet angle est variable B2 est en rotation de direction ⃗ par rapport à B1. Changement de base : pour exprimer un vecteur unitaire d'une base dans une autre
COURS DE MECANIQUE 2ème année
iest une base orthonormée si et seulement si : L'application de la formule de changement de base de dérivation (1.26) au vecteur F.
Chapitre 1 - Changements de bases.
Soit E un K−espace vectoriel de dimension n = 0. Soit (e1
CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 6.1. Coordonnées dun
plane de changement de base ou figure de calcul. Sur cette figure on x1 un vecteur unitaire de la base B1
Matrice de passage et changement de base
Si l'on travaille dans une autre base (ei) de E les vecteurs x et y sont représentés par de nouvelles matrices colonnes notées respectivement X et Y . Le
Changement de base - Matrice de passage
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même − sin θ cos θ. ) . 3 Changement de base pour un vecteur. Si X est la matrice ...
Composantes dun vecteur dans une base. Changement de base
seulement si la matrice de ces trois vecteurs a un déterminant non nul. Corollaire 1. Une matrice carrée d'ordre 3 est une matrice de passage si et seulement si
Chapitre 9 :Changement de référentiels
comme repère (avec un triplet de vecteurs formant une base orthonormée directe) R est en translation par rapport à (R) si et seulement si : Tous les ...
Vecteurs
. Changement de base par projection orthogonale. Méthode. Chaque vecteur unitaire de la base peut être exprimé dans la base et vice-versa. Il est utile de
Déterminer une matrice de passage et appliquer les formules de
Si lГon connaît la matrice X dГun vecteur x ∈ E dans lГune des bases b ou b ainsi que la matrice P
COURS DE MECANIQUE 2ème année
Si de plus
CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 6.1. Coordonnées dun
plane de changement de base ou figure de calcul. C M 8 : Dérivation d'un vecteur de la base de dérivation. Si. #» u0 = a(t) ·. #» x0 + b(t) ·.
Composantes dun vecteur dans une base. Changement de base
On a donc une procédé assez simple pour vérifier si p vecteurs dans un espace vectoriel de dimension p sont linéairement indépendants et constituent une base de
Chapitre 9 :Changement de référentiels
comme repère (avec un triplet de vecteurs formant une base orthonormée directe) R est en translation par rapport à (R) si et seulement si :.
Cours C02 :
Si cet angle est variable B2 est en rotation de direction ? par rapport à B1. Changement de base : pour exprimer un vecteur unitaire d'une base dans une
Changement de bases.pdf
On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base. Par exemple si l'espace vectoriel est de
Vecteurs
Ici la rotation se fait autour de avec l'angle . Ainsi : . Changement de base par projection orthogonale. Méthode. Chaque vecteur unitaire de
Chapitre 1 - Changements de bases.
Soit E un K?espace vectoriel de dimension n = 0. Soit (e1
4 Diagonalisation et changement de base
[Choisir un vecteur propre pour chaque valeur propre puis montrer que ces deux vecteurs forment une base.] Exercice 105 : Réciproquement
Matrice de passage et changement de base
Si (ei) est une base de E on associe `a f la matrice M = (f(ei
Matrice de passage et changement de base - univ-rennes1fr
« changement de variables » en se donnant les nouvelles coordonn´ees des vecteurs en fonction des anciennes et l’on cherche le changement de base correspondant Voici un exemple concret de changement de variables dans R2: x 0 1 = x 1 +2x 2 et x 2 = x 2 On en d´eduit x 1 = x0 1 ?2x 0 2 et x 2 = x 2
Matrice de passage et changement de base - univ-rennes1fr
Changements de bases 1 1 Changement de coordonn¶ees Matrice de passage Soit E un K¡espace vectoriel de dimension n 6= 0 Soit ( e1;:::;en) une base de E qu’on notera B Si u est un vecteur de E on notera en colonne le n¡uplet des coordonn¶ees de u dans la base (e1;:::;en) On l’appelera la colonne des coordonn¶ees de u dans la base
Changements de base - unistrafr
Changements de base C Huyghe 1 Soient E = R3 dont les coordonn´ees des vecteurs dans la base canonique sont notees´ (x y z) Soit P la plan d’equation :´ x+2y z = 0 1- Determiner une base de´ P 2- Soit D la droite vectorielle dirigee par le vecteur de coordonn´ ´es (1 1 2) Montrer que E = P L D 3- Soient p
21 Changement de base - univ-toulousefr
2 1 Changement de base Il faut bien garder à l'esprit que la matrice d'une application linéaire est une représentation de celle-ci qui dépend du choix des bases au départ et à l'arrivée Il est utile de savoir passer d'une représentation à une autre Connaissant la matrice d'un morphisme dressée dans deux
Chapitre 5: Changement de base et diagonalisation
Changement de bases et matrice d’application linéaire On veut expliquer la matrice A' en fonction de la matrice A! le vecteur des composantes de (respectivement ) dans la base et On considère et (respectivement et ) Soient et deux bases de E Soient A et A' les matrices de f dans les bases et
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Composantes d’un vecteur dans une base Changement de base Table des matières 1 Composantesd’unvecteurdansunebase 2 2 Changementdebase 3 2 1 Lamatricedepassage 3 2 2 Lamatricedepassageinverse 4 3 Matricescarrées 5 3 1 L’espacevectorieldesmatricescarrées 5 3 2 Ledéterminantd’unematricecarrée 6 3 3
Comment changer les coordonn’EES des vecteurs dans une base ?
On change seulement les coordonn´ees des vecteurs dans une base. – La matrice de passage contient en colonnes les coordonn´ees des vecteurs de la nouvelle base (e0 i ) exprim´ees dans l’ancienne base (e i) . A partir de ces deux donn´ees on retrouve la d´e?nition de la matrice de passage P dites « de (e i) a (e0 i
Comment changer le vecteur de base d'un module ?
1. Ceci correspond a changer le premier vecteur de base du module (bien y r´e?´echir a tˆete repos´ee) : f0 1= f +2f 2= (1, 2). On obtient la matrice M 2= 1 0 0 3 = P?1 2 M 1avec P 2= 1 0 2 1 et P?1= 1 0 ?2 1 . Facteurs invariants du sous-module : 1 et 3. Nouvelle base du module : (f0 1= (1,2), f 2= (0, 1)).
Qu'est-ce que l'application lin'eaire qui intervient dans un changement de base ?
) : – L’application lin´eaire qui intervient dans un changement de base est l’iidentit´e, car on ne change rien aux vecteurs. On change seulement les coordonn´ees des vecteurs dans une base. – La matrice de passage contient en colonnes les coordonn´ees des vecteurs de la nouvelle base (e0 i ) exprim´ees dans l’ancienne base (e i) .
Comment calculer le changement de base d’un espace vectoriel ?
Ce qu’il faut retenir Soit E un espace vectoriel muni d’une base (e i) et soit (e0 i ) une « nouvelle base » de E. Ces deux bases de E sont index´ees par {1...n} ou` n =dim(E). Voici les deux choses qu’il faut retenir lorsque l’on souhaite proc´eder a un changement de base de la base (e i) a la base (e0 i
SCIENCES INDUSTRIELLES DE L'INGENIEUR
CPGE PCSI 1ère Année
Cours C02 :
Déterminer les lois de pilotage
en mouvement C 02 Mécanique générale : cinématique du point et du solide C022019-2020 Lycée René Cassin
Cours C02 CPGE PCSI 2019-2020
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Objectifs
Utiliser des démarches et des méthodes permettant de décrire et de caractériser les
mouvements (trajectoire et vitesse) de tous les points des solides d'un système. Déduire, des contraintes cinématiques en position, vitesse ou mouvement, des conditions sur les paramètres de mouvement du système. Edžprimer une condition de non glissement au lieu d'un contact ponctuelTable des matières
I Objectifs ............................................................................................................................... 4
II.1 Rappels de cinématique du point : trajectoire et position .......................................... 5
II.2 Hypothèse de solide indéformable.............................................................................. 5
II.3 DĠfinir la position d'un solide indĠformable ............................................................... 5
Repère lié à un solide indéformable .............................................................................. 5
Positionner l'origine dans un repğre ............................................................................. 6
Positionner une base en rotation plane - figure de changement de base ................... 6Positionner une base par rapport à une base ............................................................... 7
Mouvements élémentaires ........................................................................................... 7
II.4 Mouvement de rotation et liaison pivot ..................................................................... 7
II.5 Mouvement de translation et liaison glissière ............................................................ 8
Mouvement de translation à trajectoire rectiligne ....................................................... 9
Mouvement de translation à trajectoire circulaire ....................................................... 9
II.6 Du schéma cinématique au graphe des liaisons .......................................................... 9
III Contraindre la trajectoire d'un point ............................................................................... 11
III.1 Rappels sur le produit scalaire .................................................................................. 11
Définition et propriétés ............................................................................................... 11
Produit scalaire entre ǀecteurs d'une mġme figure de changement de base ............ 11Produit scalaire aǀec un ǀecteur unitaire ͗ calcul d'une projection ............................ 13
Calcul d'une norme ...................................................................................................... 13
III.2 Imposer une contrainte de position ......................................................................... 14
IV Contraindre la ǀitesse ou l'accĠlĠration d'un point ........................................................ 15
vecteur ............................................................................................................................. 15
Vecteurs ǀitesse et accĠlĠration d'un point ................................................................ 15
DĠfinition de la dĠriǀĠe d'un ǀecteur par rapport ă une base .................................... 15
IV.2 Produit vectoriel ....................................................................................................... 16
IV.3 Dérivation vectorielle et formule de Bour ............................................................... 17
IV.4 Calculer la ǀitesse ou de l'accĠlĠration d'un point ................................................... 18
V.1 Champ des vecteurs vitesse et torseur cinématique ................................................ 19
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V.2 Champ des ǀecteurs ǀitesse d'un solide en rotation plane ....................................... 20
V.3 Champ des ǀecteurs ǀitesse d'un solide en translation ............................................ 22
VI Composition cinématique et cinématique du contact ponctuel ..................................... 24
VI.1 Composition des vitesses ......................................................................................... 24
VI.2 Cinématique du contact ponctuel ............................................................................ 25
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I Objectifs
Dans de nombreux systèmes, en
particulier liés à la robotique, la matière type cinématique : position, vitesse et/ou accélération.L'objectif de ce cours est de dĠfinir des
démarches et méthodes permettant de définir les lois de pilotage des effecteurs, ou plus généralement, des mécanismes, dans ce contexte. Il s'agit d'un prĠalable ă la dĠtermination des commandes transmises aux pré- actionneurs et ă l'Ġtude des performances du système dans son ensemble.Si le système est asservi en position ou vitesse, ces lois sont aussi celles de la consigne.
La dĠfinition des lois de pilotage des effecteurs s'appuie sur un modèle de comportement cinématique du
mécanisme, dit modèle cinématique, assurant le lien entre les effecteurs et les paramètres cinématiques de
Ce modèle est représenté par un schéma cinématique ou un graphe des liaisons.Un modèle cinématique est constitué :
d'ensembles indéformables (ensemble = pièce ou ensemble de pièces solidaires) ; de liaisons qui spécifient les mouvements possibles et les mouvements bloqués, d'un ensemble par rapport à un autre. Il définit aussi des vecteurs unitaires, des bases et des paramètres de position.Cours C02 CPGE PCSI 2019-2020
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1 Pour alléger les notations
dans la suite, on n'Ġcrira pas systématiquement la variable t. (1) les solides dont la fonction est de se déformer (ressorts, exclus de cette définition. II.1 Rappels de cinématique du point : trajectoire et positionLa trajectoire d'un point dans un référentiel est le lieu des positions successives occupées par ce point
au cours du temps dans le repère de référence.La trajectoire peut être :
rectiligne, si la trajectoire est un segment de droite, circulaire, si la trajectoire est un arc de cercle, quelconque, si la trajectoire est une courbe quelconque. Notation : la trajectoire d'un point M par rapport ă un solide 0 est notée TM/0 . Exemple : en coordonnées cartésiennes, à la date t : La courbe ainsi définie correspond à la trajectoire TM/0 .II.2 Hypothèse de solide indéformable
solides seront considérés indéformables (1).Un "solide" peut être un ensemble de pièces, de solides, formant un seul ensemble indéformable.
Cette hypothèse a de nombreuses conséquences pratiques. II.3 DĠfinir la position d'un solide indĠformableRepère lié à un solide indéformable
La solution pour repĠrer la position d'un solide indĠformable par rapport ă un autre est dΖassocier à chaque
solide étudié un repère, dit repère lié.Un repère lié au solide indéformable (S) est défini par une origine et une base fixes dans (S).
Associé à une échelle de temps, ce repère défini un référentiel. solide de référence du système étudié. points constitutifs du solide (1) sont supposés fixes. Un vecteur position du point M dans le repère de en gĠnĠral l'origine. Un solide indéformable (S) est tel que les distances entre tous les couples de points matériels ne varient pas au cours du temps :Chaque point matériel d'un solide indéformable (S) est fixe dans un repère lié à (S) : ses
coordonnées dans le repère lié sont constantes au cours du temps.Cours C02 CPGE PCSI 2019-2020
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(1) on peut utiliser un système de coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques pour définir ce vecteur position. (2) permet d'obtenir cos >> sin.1 Si plusieurs bases ont un
même vecteur commun, il faut les regrouper.Repérer, positionner, un solide par rapport à un autre consiste à positionner un repère lié par rapport à
un autre.Un repère étant défini par une origine et une base, il est nécessaire de positionner ces deux éléments.
Remarquons que la géométrie du solide disparaît. La cinématique s'intéresse aux mouvements de repères
et de points !Positionner l'origine dans un repğre
Positionner une origine dans un repère de référence, c'est positionner un point dans ce repğre ă l'aide
d'un vecteur position. Il faut au maximum 3 paramètres de position (1). cartésiennes dans B1 : Positionner une base en rotation plane - figure de changement de baseSi est cet angle, on dit que la base B2 est tournĠe d'un angle par rapport à la base B1 suivant la direction
Changement de base : pour exprimer un vecteur unitaire d'une base dans une autre, il faut le dĠcomposer
en partant de son origine et en suivant les directions de la base de projection. Il y a nécessairement un
terme en sinus (le plus petit) et l'autre en cosinus (le plus grand).A1 - Réaliser la figure de changement de base.
La figure de changement de base est :
Il suffit d'un angle pour positionner une base en rotation plane par rapport à une autre. Le paramĠtrage d'une rotation plane est rĠalisĠ sur une figure de changement de base : vecteur commun sortant = 1er vecteur2ème vecteur de la base de référence dans l'ordre direct vers la droite
3ème vecteur de la base de référence dans l'ordre direct vers le haut
2nd base tournĠe d'un angle positif et inférieur à 20° (2) .
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(1) il y a nécessairement un terme en sinus et l'autre en cosinus. (1) Un degré de liberté peut aussi être une combinaison de translation et de rotation.Exemple : le système vis-
écrou impose une mobilité
combinant une rotation avec une translation. A2 - Exprimer les relations de changement (1) de base des 4 vecteurs unitaires.Positionner une base par rapport à une base
Positionner une base dans un repğre de rĠfĠrence, c'est positionner une base par rapport à la base de
référence ă l'aide d'angles. Il faut au maximum 3 paramètres angulaires associés à 3 rotations planes successives. Edžemple des angles d'Euler : deux bases intermédiaires sont utilisées.En partant de la base B1 :
Les figures de changement de base sont :
Mouvements élémentaires
Un mouvement élémentaire est obtenu par variation de l'un des paramğtres de position. Puisqu'il faut 6 paramètres indépendants pour positionner un solide par rapport à un autre, il estpossible de définir 6 mouvements élémentaires indépendants en faisant varier chaque paramètre à son tour.
II.4 Mouvement de rotation et liaison pivot
Un solide (2) est en rotation par rapport à un
solide (1) si et seulement si, il existe à chaque instant une droite fixe dans (1) et (2), appelée axe de rotation de (2) / (1). Un solide a au maximum 6 degrés de liberté par rapport à un autre : la modification de la position de l'origine définit 3 translations ; la modification de l'orientation de la base définit 3 rotations(1).Cours C02 CPGE PCSI 2019-2020
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Symboles normalisés :
(2) une autre unité usuelle est le tr/min.Si N est la vitesse angulaire
en tr/min :B ൌ
II.5 Mouvement de translation et liaison glissièreUn solide (2) est en translation par rapport à un solide (1) si et seulement si tout segment reliant deux
points fixes de (2) reste parallèle à lui-même dans (1). On distingue les translations à trajectoire rectiligne, circulaire et quelconque.Conséquences :
(1) et (2) ; les trajectoires des points matériels ou fixes de (2)/(1) sont des cercles concentriques, centrĠs et perpendiculaires ă l'adže de rotation; le paramétrage définit la figure de changement de base : la vitesse angulaire (vitesse / taux de rotation) est݀ݐ en
rad/s (2) ;Symboles normalisés :
Si (2) est en translation par rapport à (1) :
les trajectoires des points matériels ou fixes de (2)/(1) sont toutes identiques et parallèles ;
xles bases liées peuvent être identiques.Cours C02 CPGE PCSI 2019-2020
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(1) Ce mouvement classique est source de difficulté car il s'agit d'une translation paramétrée par un angle.Méfiance.
Mouvement de translation à trajectoire rectiligneVérin
Mouvement de translation à trajectoire circulaireUn mouvement de translation à trajectoire circulaire (1) est gĠnĠralement obtenu par l'intermĠdiaire d'un
mécanisme de type parallélogrammes déformable.Exemple : essuie-glace d'autobus
Le système ci-dessous modélise un essuie-glace d'autobus. Le balai est liĠ ă l'ensemble (3).
Le balai est reliĠ au chąssis (1) par l'intermĠdiaire de deudž piğces formant un parallĠlogramme dĠformable ABCD.
(3) a bien un mouvement de translation par rapport à (1). De plus, C est un point fixe de (2) en mouvement de rotation arc de cercle) centré sur B, de longueur R BC . Pour un mouvement de translation, toutes les trajectoires sont identiques : des cercles de même rayon R mais de centres distincts. La position (et donc le mouvement) de 3/1 est défini par la position de l'origine C du repğre liĠ et, donc, par l'angle sont liés ni à (1) ni à (3). II.6 Du schéma cinématique au graphe des liaisonsConséquences :
les trajectoires des points fixes de (2) dans (1) sont des segments de droites parallèles à la la vitesse de translation est ܮ ௗ௧ en m/s. Soit un solide (3) en translation à trajectoire circulaire de rayon BC (avec R=BC) par rapport au solide (1), paramĠtrĠe par l'angle ߙConséquences :
la trajectoire de C, point fixe de (3), dans (1) est un cercle centré sur B les trajectoires des points fixes de (3) dans (1) sont toutes des cercles de rayon R les bases liées à (3) et (1) peuvent être identiques la vitesse de translation est ܴൈ ߙCours C02 CPGE PCSI 2019-2020
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Un modèle cinématique définit :
les ensembles indéformables et un ensemble de référence ; les liaisons entre ces ensembles ;des repères liés audž diffĠrents ensembles en s'appuyant sur les directions et points définis par
les liaisons ;des paramètres de position (angles pour les liaisons pivot, distance pour les liaisons glissières)
permettant de définir la position de chaque ensemble du système.Ce modèle peut être représenté par un schéma cinématique ou un graphe des liaisons. Ils contiennent les
mêmes informations. Dans un schéma cinématique (dessiné en 2 ou 3 dimensions) : les liaisons sont représentées par des symboles normalisés ; les solides sont représentés par des traits reliant ces symboles.Dans un graphe des liaisons :
les solides sont représentées par des cercles ;les liaisons entre les solides sont représentées par des traits, le long desquelles on indique le nom et
les caractéristiques géométriques de la liaison.Exemple : essuie-glace autobus
Le modèle comprend le châssis (1), la bielle motrice (2), la bielle suiveuse (4) et le balais (3).
Étapes pour construire le graphe des liaisons à partir du schéma cinématiqueExemple
Identifier l'ensemble de rĠfĠrence (celui " relié à la masse »)Ensemble (1)
Construire la structure du graphe
un cercle par ensemble associé au numéro d'ensemble, un trait par liaison. Partir de la référence.Reporter l'indication de rĠfĠrence.
Spécifier les liaisons et les paramètres de position définis Si le graphe présente une boucle, tous les paramètres ne sont pas nécessairement définis. Identifier des repères liés en partant de la référence Lorsque les ensembles sont en liaison pivot : garder comme ǀecteur commun celui de l'ensemble le plus ͨ proche de la référence ». Lorsque les ensembles sont en liaison glissière : garder la base de l'ensemble le plus ͨ proche de la rĠfĠrence ͩRéaliser les figures de changement de base
Tenir compte des choidž rĠalisĠs ă l'Ġtape prĠcĠdente.Cours C02 CPGE PCSI 2019-2020
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Le produit scalaire entre 2 vecteurs de bases en rotation plane d'angle ߙ0 entre les ǀecteurs d'une mġme base (base ͨ ortho ͩ) ;
(1) ne pas confondre les composantes vecteurs unitaires de laIII Contraindre la trajectoire d'un point
III.1 Rappels sur le produit scalaire
Définition et propriétés
Ce nombre peut être positif ou négatif.
- un des vecteurs est nul ; Produit scalaire entre ǀecteurs d'une mġme figure de changement de baseA4 - Déterminer les produits scalaires entre les différents vecteurs de la figure de changement de base
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Produit scalaire aǀec un ǀecteur unitaire ͗ calcul d'une coordonnĠeApplication : soit la figure ci-contre. A, B et C sont des points, a et b des distances et et des angles. Les
vecteurs définis sont unitaires.A5 - Exprimer le vecteur ܥܣ
Reporter cette longueur sur la figure.
Produit scalaire entre vecteurs unitaires et projection orthogonaleA7 - Dessiner les projections correspondant aux produits scalaires sur les figures de changement de base
1 0 0
Alors :
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