Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Chapitre 1. Introduction. 5. Chapitre 2. Élément de logique et méthodes de raisonnement avec Exercices. Corrigés. 7. 1. Régles de logique formelle.
Exercices corrigés algèbre linéaire
Montrer que fn = 0. Exercice 4. Soit B = (e1e2
Exercices dAlgèbre
Considérons la base canonique de orthonormée pour le produit scalaire canonique. 2. (. ) (. ) 1. 2.
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Correction de l'exercice 2. A ne peut pas être clé de R car la valeur a1 de A se répètent dans la relation R. De même pour. B (b1) et C (c2).
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Universit
eParisIXDauphineUFRMath
ematiquesdelad ecisionNotesdecours
ALGEBRE2
GuillaumeCARLIER
L1,ann
ee2006-2007 2 precedentes. 3 4Tabledesmatieres
1Espacesvectoriels7
2Applicationslineaires14
3Representationmatricielle20
d'unvecteur........................24 54Determinants27
valeurspropres......................35 6Chapitre1
Espacesvectoriels
similaire.1.1Espacesvectoriels
{Eestunensemble, (elementneutre)90E2Eavec8x2E;x+0E=0E+x=x (oppose)8x2E;9(x)2Eavecx+(x)=(x)+x=0E (commutativite)8(x;y)2E2;x+y=y+x E 2, i)1:x=x ii):(x+y)=:x+:y iii):(:x)=():x iv)(+):x=:x+:x faconanalogue,enremplacantRparC.Ilfautconna^trelesexemplessuivants
\produit"estencoreunespacevectoriel. 7 vectoriel.1.2Sous-espacesvectoriels
Denition1.2Sous-espaceVectorielS.E.V.
FestunS.E.VdeE,02F
8(x;y)2F2;8(;)2R2;x+y2F
Remarque:
8(x;y)2F2;82R;x+y2F
ouencoreque8(x;y)2F2;82R;x+y2F:
Vect(A).Onmontreque
Vect(A)=fx2Ejx=kX
i=1 iai;i2R;ai2Ag1.3Basesd'unespacevectoriel
combinaisonlineaire(nie)d'elementsdeG.GfamillegeneratricedeE,8
:8x2E;9(1;:::;p)2Rp;9(g1;:::;gp)2Gp avecx=pX i=1 igi: 8 libredeEsietseulementsi siPp i=1ixi=0;alors1==p=0: siBestlibreetgeneratrice. encoreunepartiegeneratrice.Onalacaracterisationsuivantedesbases:
E,onalesequivalences:
{LestunebasedeE, {Lestunefamillelibremaximale, {Lestunefamillegeneratriceminimale. contenantunnombrenid'elements). (endimensionquelconque). queLBL[G. decardinaln. 9 tion,onposedim(f0g)=0. base. basesendimensionnie. lineairedesei: x=nX i=1 iei:Sideplusdim(F)=dim(E),alorsF=E.
engendreparS: rang(S)=dimVect(S)Propriete1.41.rang(S)p.
2.rang(S)=psietseulementsiSestlibre.
quel'onpeutextrairedeS.4.siEestdedimensionnien,alorsrang(S)n.
generatrice. 101.4Sommedirectedesous-espacesvectoriels
Edenipar
F=fx1+x2jx12E1;x22E2g
OnnotecettesommeF=E1+E2.
Remarques:
{E1+f0Eg=E1etf0Eg+E2=E2. {E1+E2=E2+E1. appartientaE1ouaE2. E 1[E2: E1+E2=Vect(E1[E2):
E deE1+E2. deuxsous-espacesvectorielsdeE.Alors dim(E1+E2)=dim(E1)+dim(E2)dim(E1\E2):E.OnditquelasommedeE1etE2estdirectesi
E1\E2=f0g
OnnotealorslasommedeE1etE2:E1E2.
11 yaequivalenceentre1.LasommeE1+E2estdirecte.
3.B1\B2=;etB1[B2estunebasedeE1+E2.
4.dim(E1)+dim(E2)=dim(E1+E2).
EsontsupplementairesdansEsi
E1E2=E:
Remarques:
etseulementsi, E1\E2=f0getE1+E2=E:
alors dim(E1)+dim(E2)=dim(E): estunebasedeE. existeE2s.e.v.deEtelqueE=E1E2.Notonspournirlacaracterisation:
E1E2telquex=x1+x2.
121.5Sommedirectedeksous-espacesvecto-
riels E1++Ek=fx1++xkou8i2f1;:::;kg;xi2Eig
E1++Ek.
dim(E1++Ek)dim(E1)++dim(Ek):Vect(E1[[Ek).
,xk2Ek,telsquex1++xk=0E,onax1==xk=0E.Remarques:
E lesoit.1.LasommeE1++Ekestdirecte.
2.dim(E1)++dim(Ek)=dim(E1++Ek).
pourquelasommeE1++Eksoitdirecte. x 13Chapitre2
Applicationslineaires
DanscequisuitEetFdesignentdeuxR-e.v..
2.1Denitionsetvocabulaire
f:E!Fquiverie: {8(x1;x2)2EE;f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) {82R;8x2E;f(x)=f(x) seulementsiDenition2.2
phismedeEsurF. unendomorphismedeE.L(E)estl'ensembledesendomorphismesdeE.
Exemples:
unendomorphismedeE. 148X2Mp;1(R);fA(X)=AX
estuneapplicationlineaire.Proposition2.1
uneapplicationlineairedeEdansF:8f2L(E;F);8g2L(E;F);f+g2L(E;F):
alorsfestuneapplicationlineairedeEdansF:8f2L(E;F);82R;f2L(E;F):
8f2L(E;F);8g2L(F;G);gf2L(E;G):
uneapplicationlineairedeFdansE: pacevectorielsurR.2.2Proprieteselementaires
lanotiond'applicationlineaire.Proposition2.2
158(1;:::;k)2Rk;8(x1;:::;xk)2Ek;onaf(kX
i=1 ixi)=kX i=1 if(xi):Enpratique:
assezfacile), i)onmontrequefverieladenition, composeed'applicationslineaires. i)soitquef(0E)6=0F, ii)soitqu'ilexistex2Etelquef(x)6=f(x),2.3Imageetnoyaud'uneapplicationlineaire
dansF. deFdeniepar:Im(f)=f(E)=fy2Ftelque9x2Eavecy=f(x)g:
par:Ker(f)=f1(f0Fg)=fx2Etelquef(x)=0Fg:
Proposition2.3
deF. 16 rieldeE.3.festinjectivessiKer(f)=f0g.
4.festsurjectivessiIm(f)=F.
2.4Casdeladimensionnie:letheoreme
durang2.4.1Letheoremedurangetsesapplications
estunefamillegeneratricedeIm(f).Remarques:
rangdelafamilleff(e1g;:::;f(ek)g: dim(Im(f))=rgff(e1g;:::;f(ek)g: dim(Im(f))+dim(Ker(f))=dim(E) l'imagedef.Remarques:
17 deE. denition)estinferieureouegaleacelledeF.Fsietseulementsidim(Im(f))=dim(F).
uneapplicationlineairedeEdansF.Alorsona
dim(E)dim(F): dim(F)dim(E): dim(F)=dim(E):2.4.2Letheoremedurangsidim(E)=dim(F)
onalesequivalencessuivantes: finjective,fsurjective,fbijective2.5Projections
E 18 x1.p2L(E),
2.Im(p)=E1etKer(p)=E2,
3.pp=p.
Onalaformedereciproquesuivanteaupoint3:
1.Ker(p)Im(p)=E
Ondenitalorssimplement:
19Chapitre3
Representationmatricielle
parl'imaged'unebase uneapplicationlineaireparunematrice.8j2f1;:::;ng;f(ej)=vj;
Remarques:
del'imaged'unebasequelconque.L(E;F),alors
8i2f1;:::;ng;f(ei)=g(ei),f=g:
3.2Matricesetapplicationslineaires
deF. 20 lescoordonneesduvecteurf(ej)danslabaseC:8j2f1;:::;ng;f(ej)=pX
i=1a ijfi: termegeneralaij: MCB(f)=0
B B @a11:::a1n
a p1:::apn1 C C ARemarques:
{Attentional'ordredansl'ecritureMCB(f)! f(ej)danslabaseC.Notation:SiE=FetB=C,onnoteMBB(f)=MB(f).
Exemplesfondamentaux:
M p;n(R).Alors MCB(O)=Opn
identitedeMn(R).Alors MBB(idE)=MB(idE)=In
deniepar8X2Mp;1(R);fA(X)=AX:
A=MCB(fA):
213.2.1Liensaveclecalculmatriciel
Proposition3.2
1.MCB(f+g)=MCB(f)+MCB(g).
2.MCB(f)=MCB(f).
applicationlineaire. phismedeL(E;F)surMp;n(R). canoniquesdeRpetRn. estdedimensionnp.3.2.2Produitdematrices
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