[PDF] Examen Partiel dAlgèbre 2 26 mars 2019 Exercice 1 (

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Université de BourgogneMardi 26 mars 2019

Licence 3 Mathématiques8h-10hExamen Partiel d"Algèbre 2

Exercice 1(Questions de cours)

1.

Soit Gun groupe fini etHun sous-groupe deG. Énoncer et démontrer le théorème de Lagrange.

2.

On note G/Hl"ensemble des classes à gauche moduloH. Donner une condition nécessaire et suffisante surH

pour que la structure de groupe deGinduise une structure de groupe sur le quotientG/H. Démontrer votre

affirmation. 3. Démon trerque le cen treZ(G)d"un groupeGest un sous-groupe distingué deG.

Réponse.

1. Le théorème de Lagrange nous dit que p ourun group efini G, l"ordre|H|deHdivise l"ordre|G|deG. Plus précisément, la relation " moduloHà gauche » définie par : (xRy)??(x-1y?H)??(y?xH)

est une relation d"équivalence et le cardinalcard(G/H)de l"ensembleG/Hdes classes d"équivalence (dites

classes à gauche moduloH) satisfait : |G|= card(G/H)× |H|. On note alors[G:H]le nombre entiercard(G/H) =|G||H|et on l"appelle l"indice deHdansG.

Démonstration.

La relationRest une relation d"équivalence :

l"élémen tneutre 1GdeGest dansH, donc la relation est réflexive; -Hest stable par passage à l"inverse :?x,y?G(x-1y?H) =?(y-1x?H)doncRest symétrique; -Hest stable par produit :?x,y,z?G(x-1y?Hety-1z?H) =?(x-1z?H)doncRest transitive. Les classes d"équivalence forment une partition deG, sont de la formexH={xy:y?H}pourx?G, et sont toutes en bijection avecH: les applications de multiplication à gauche parxetx-1 g x:G-→G y?-→gx(y) =xyetgx-1:G-→G y?-→gx-1(y) =x-1y

sont inverses l"une de l"autre donc bijectives etgxenvoieHsurxH. Par conséquent, toutes les classes à gauche

ont le cardinal|H|deHet ainsi, siGest fini,|G|= card(G/H)× |H|.

Remarque: on peut remplacer la la relation " moduloHà gauche » par la relation " moduloHà droite ».

On a alors une bijection entre les classes à gauches et les classes à droite. 2.

P ourque la structure de group ede Ginduise une structure de groupe sur le quotientG/H, il faut et il suffit

queHsoit un sous-groupe distingué deG.

Démonstration.

Remarquons au préalable que pour touth?H,hH=Het queHH={hh?:h,h??H}=H. Supp osonsque Ginduise une structure de groupe sur le quotientG/H. Soientx,y?G. AlorsxHyH=zH pour unz?G. On doit donc avoirxyh=zpour un certainh?Het doncxHyH=xyhH=xyH. Mais ceci implique en particulier, pour toutx?G, quexHx-1H=xx-1H=H, c"est à direxHx-1=H. Donc

Hdoit-être un sous-groupe distingué deG.

Récipro quement,si Hest un sous-groupe distingué deG, pour tousx,y?G,xHyH=xy(y-1Hy)H=xyH

donc le produit de deux classes à gauche est une classe à gauche. Il est immédiat de voir que ce produit est

associatif en raison de l"associativité du produit dansG, queHest élément neutre et que l"inverse dexH

estx-1H. DoncGinduit une structure de groupe sur le quotientG/H. 3. Le cen treZ(G) ={z?G:?x?G zx=xz}est bien un sous-groupe deG: -1G?Z(G), car1Gcommute avec tous les éléments deG; si z1,z2?Z(G)alors pour toutx?G(z1z2)x=z1xz2=x(z1z2)doncz1z2?Z(G); si z?Z(G)alors pour toutx?G z-1x= (x-1z)-1= (zx-1)-1=xz-1doncz-1?Z(G). Soitz?Z(G). Pour toutx?G,xz=zxdoncxzx-1=z?Z(G). AinsiZ(G)est un sous-groupe distingué de G. Exercice 2(Petites questions indépendantes vue en TD)

1.Mon trerque tout group ed"ordre ppremier est un groupe cyclique.

2.

Soit Gun groupe tel que tout élément différent de1Gest d"ordre 2. Démontrer queGest abélien.

3. Soien tGun groupe etHun sous groupe deGd"indice2. Démontrer queHest distingué dansG. 4. Soit Gun groupe d"ordre2n. Montrer qu"il a un élément d"ordre2.

Réponse.

1.

Soit Gun groupe d"ordreppremier eta?G\ {1G}. D"après le théorème de Lagrange, l"ordre du sous-groupe

< a >={an:n?Z}engendré paradivisep(et est différent de 1), donc est égal àp. Donc< a >=G: il est

donc cyclique. 2. Soien ta,b?G. Alors(ab)2= 1G=abab, eta2=b2= 1G. D"oùab=a(abab)b=ba. Ainsi tous les éléments commutent deux à deux, autrement ditGest abélien. 3.

Rapp elonsqu"un sous-group eHdeGest distingué dansGsi et seulement si les classes à gauche moduloH

sont aussi les classes à droite. SiHest d"indice 2, alors il y a deux classes à gauche moduloHdont l"une est

H, et donc l"autre classe est nécessairementG\H. Mais il en est de même pour les classes à droite. DoncH

est un sous-groupe distingué deG. 4.

Soit Gun groupe d"ordre2n. Supposons queGne possède pas d"élément d"ordre 2. Alors pour toutx?G\{1G}

x?=x-1. On peut donc partitionnerG\{1G}en paires{x,x-1}ce qui implique que|G|-1 = 2n-1est pair,

d"où une contradiction. DoncGpossède au moins un élément d"ordre 2 (et même un nombre impair d"éléments

d"ordre 2).

Exercice 3(Normalisateur)

SoitGun groupe etHun sous-groupe deG. On appelle normalisateur deHdansGet on le noteN(H)l"ensemble

N(H) =?x?G:xHx-1=H?.

1.

Mon trerque N(H)est un sous-groupe deGcontenantH.

2. Mon trerque Hest un sous-groupe distingué deN(H). Que peut-on dire deHsiN(H) =G? 3.

Mon trerque Z(G)? N(H).

4. Soit Kun sous-groupe deGqui contientHet tel queHest distingué dansK. Montrer queK? N(H)et en déduire queN(H)est le plus grand sous-groupe deGdans lequelHest distingué.

Réponse.

1.1G? N(H), et six,y? N(H),

xHx-1=H?=??x-1Hx=H? doncxyetx-1sont dansHdoncN(H)est un sous-groupe deG. De plus, sih?H,hHh-1=Hdonc

H? N(H).

2. P ardéfinition, p ourtout x? N(H), on axHx-1=HdoncHest distingué dansN(H). Évidemment,

N(H) =Gsi et seulement siHest distingué dansG.

3. Si x?Z(G)alors pour touth?H,xhx-1=hdoncxHx-1=Het doncx?Z(G). AinsiZ(G)? N(H). 4. Si Hest un sous-groupe distingué deK, alors pour toutx?K,xHx-1=H, doncx? N(H). Par conséquent,

K? N(H). AinsiN(H)contient tous les sous-groupes deGqui contiennentHet dans lesquelsHest distingué,

etN(H)vérifie lui même cette propriété. Donc c"est le plus grand sous-groupe deGdans lequelHest distingué.

Exercice 4(Un drôle d"automorphisme)

SoitGun groupe. On suppose qu"il existe un entiern≥2tel que l"applicationf:G→Gdéfinie pourx?Gpar

f(x) =xnest un automorphisme deG. 1. Mon trerque p ourtous x,ydansG, il existe un uniquez?Gtel quey=xzn. 2.

Mon treralors que xn-1y=x(zx)nx-1.

3.

En déduire que p ourtout x?Gon axn-1?Z(G).

Réponse.

1.fest un automorphisme donc est surjectif. Soientx,ydansG. Alors il existez?Gtel que?(z) =zn=x-1y,

c"est à direy=xzn. 2.

Comme ?est un homomorphisme

x n-1y=xnzn=?(x)?(z) =?(xz) = (xz)n=xz(xz)n-2xz=x(zx)n-1z=x(zx)n-1zxx-1=x(zx)nx-1. 3. On a xn-1y=x(zx)nx-1=x?(zx)x-1=x?(z)?(x)x-1=xznxn-1=yxn-1. Orxetysont choisis arbitrai- rement donc pour toutx?G,xn-1?Z(G).

Exercice 5(Groupe de matrices)

On considèreGle sous-ensemble de GL3(R)donné par G=? (a b c 0a-1d

0 0 1)

:a?R?, b,c,d?R? etHetKles sous-ensembles deGdéfinis par H=? (a0 0 0a-10

0 0 1)

:a?R??? K=? (1b c 0 1d

0 0 1)

:b,c,d?R? 1.

Mon trerque Gest un sous-groupe de GL3(R);

2. Mon trerque HetKsont deux sous-groupes deGet queHK=G. 3.

Calculer ABA-1etABA-1B-1pourA? HetB? K.

4.

En déduire que

(a)Kest distingué dansG; (b)Kest un sous-groupe du groupe dérivéD(G)deG. 5. Mon trerque le group equotien tG/Kest abélien, isomorphe à(R?,×). 6.

En déduire que K=D(G).

7.

Déterminer le cen trede Z(G)deG.

Réponse.

1.

Métho dedouce . La matrice identité est dansG. Le produitA1A2de deux matrices triangulaires supérieuresA1

etA2est une matrice triangulaire supérieure, dont les termes diagonaux sont les produits des termes diagonaux

correspondants deA1etA2. Il s"ensuit que queGest stable par produit. L"inverseA-11d"une matrice triangulaire

supérieureA1est une matrice triangulaire supérieure, dont les termes diagonaux sont les inverses des termes

diagonaux deA1. Il s"ensuit que queGest stable par inverse, et donc c"est un sous groupe deG.

Méthode calculatoire. La matrice identité est dansGet pour(a1,b1,c1,d1)et(a2,b2,c2,d2)dansR?×R3on

a : (a 1b1c1

0a-11d1

0 0 1)

(a 2b2c2

0a-12d2

0 0 1)

(a

1a2a1b2+b1a-12b1d2+a1c2+c1

0 (a1a2)-1d2a-11+d1

0 0 1)

? G et (a 1b1c1

0a-11d1

0 0 1)

)-1 (a-11-b1b1d1-c1a-110a1-a1d1

0 0 1)

? G

Ce qui prouve queGest un sous-groupe de GL3(R).

2. L"iden titéest dans HetKet dans les calculs de la question précédente, (a) en prenan tb1=c1=d1=b2=c2=d2= 0, on prouve queHest un sous groupe deG; (b) en prenan ta1=a2= 1, on prouve queKest un sous groupe deG; (c) en prenan ta1=a?= 0,b1=c1=d1= 0,a2= 1,b2=ba ,c2=c-bda etd2=ad, on obtient la matrice (a b c 0a-1d

0 0 1)

ce qui prouve queHK=G. Autrement dit,H ? Kest un système de générateurs deG.

3.Soien tA? HetB? K:

A=( (a0 0 0a-10

0 0 1)

B=( (1b c 0 1d

0 0 1)

Alors ABA -1=( (1a2b ac

0 1da-1

0 0 1)

ABA-1B-1=(

(1a2b-b-a2bd+bd+ac-c

0 1da-1-d

0 0 1)

4. (a) Comme HetKsont des sous-groupes et queG=HK, pour montrer queK?Gil suffit de montrer que toute conjuguée d"une matrice deB? Kpar une matrice deA?Hest encore dansK: c"est bien le cas puisqueABA-1? H. (b)

Soit (x,y,z)?R3. On choisita= 2, b=x3

, c=y-2xz, d=-2z.Alors (1x y 0 1z

0 0 1)

=ABA-1B-1?D(G)

DoncK ?D(G).

5. Le quotien tG/Kest formé des classes d"équivalence de matricesA? H: en effet, commeG=HK, toute

matrice deGest dans[A] =AKpour un certainA? H. On en déduit l"isomorphisme (évidemment bijectif) :

Φ :R?-→ G/K

a?-→? (a0 0 0a-10

0 0 1)

Φ(a1×a2) = Φ(a1)Φ(a2)

car (a

1a20 0

0 (a1a2)-10

0 0 1)

(a 10 0

0a-110

0 0 1)

(a 20 0

0a-120

0 0 1)

(a 10 0

0a-110

0 0 1)

(a 20 0

0a-120

0 0 1)

DoncG/Kest isomorphe à(R?,×)donc est abélien. 6. Comme G/Kest abélien,D(G)? Ket donc, avec 4.(b),D(G) =K. 7. Une matrice du cen treZ(G)doit commuter avec toute matrice deH. FixonsX=( (x y z 0x-1t

0 0 1)

?Z(G).

Pour touta?R?,Xsatisfait :

(x y z 0x-1t

0 0 1)

(a0 0 0a-10

0 0 1)

(x y z 0x-1t

0 0 1)

(a-10 0 0a0

0 0 1)

(x a2y az

0x-1ta-1

0 0 1)

Sia?= 1on a nécessairementy=z=t= 0doncX? H. Or le calcul deABA-1de la question 3 nous dit

que la seule matrice deHqui commute avec toutes les matrices deKest l"identité. DoncZ(G)est réduit à

l"identité.quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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