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Année 2007-20081èreSSVT

Chap 5 :?

???Barycentres

I. Vecteurs

1) Définitions

Définition 1 :Un vecteur-→uest défini par unedirection, unsenset une longueur (appeléenorme).

La norme du vecteur--→ABest la longueurAB.

Elle est notée???--→AB???

. Ainsi???--→AB??? =AB. Proposition 1 :Lorsque les pointsA,B,CetD, ne sont pas alignés, on a--→AB=--→DC??ABCDest un parallèlogramme.

×D×C×

A×B

Définition 2 :Relation de Chasles:

On a --→AB+--→BC=--→AC.

×A×B×

C --→AB+--→BC Remarque :??Règle du parallélogramme??:--→AB+--→AC=--→AD??AB

DCest un parallèlogramme.

A×B×

D×C--→AB+--→AC

Définition 3 :Dire que (x;y) sont lescoordonnées(uniques) du point

Mdans le repère?

O;-→i;-→j?

signifie que---→OM=x-→i+y-→j.

On note :M(x;y).

Les coordonnées d"un vecteur-→usont celles du pointMtel que---→OM=-→u. On note :-→u(x;y) . ×O y xM -→i -→j -→u

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Remarque :Ainsi, dire que les coordonnées de-→udans le repère?

O;-→i;-→j?

sont (x;y) signifie que -→u=x-→i+y-→j. (On dit aussi que (x;y) sont les coordonnées de-→udans la base?-→i;-→j?

2) Colinéarité

Définition 4 :Lorsque le vecteur-→uet le nombreksont non nuls, le vecteurk-→ua :

•même direction que-→u,

•même sens que-→usik>0 et sens contraire sik<0.

•pour norme le réel|k|×??-→u??.

Remarque :Les vecteurs--→ABet--→BAsont

opposés:--→BA=---→AB. ATTENTION, la??multiplication??et la??division??entre vecteursn"est pas définie. Définition 5 :Deux vecteursnonnuls--→ABet--→CDsontcolinéairess"ils ont la même direction, c"est-à-dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles (voir éventuellement confondues).×

A×B

C×D

-→u -→v

On peut également dire que deux vecteurs non nuls--→ABet--→CDsont colinéaires s"il existe un réelktel

que--→AB=k--→CD. Remarque :Parconvention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur. Proposition 2 :•Trois pointsdistinctsA,BetCsontalignéssi et seulement si il existeun nombrek tel que--→AB=k--→AC.

•Deux droites (AB) et (CD) sont

parallèlessi et seulement si il existe un nombre ktel que--→AB=k--→CD. On peut caractériser la colinéarité avec les coordonnées.

Proposition 3 :les vecteurs-→u(x;y) et-→v(x?;y?) sontcolinéairessi et seulement sixy?-yx?=0.

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(Forme vectorielle du théorèmede Thalès) Théorème 1 :SoitABCun triangle.Msur (AB) etNsur (AC). •Si (MN) est parallèle à (BC), on notekle nombre tel que--→AM=k--→AB, on a alors :--→AN=k--→ACet---→MN=k--→BC.

A×B×M

C ×N k>0

×A×B

M×C×N

k<0

•(Réciproque)S"il existe un réelktel que--→AM=k--→ABet--→AN=k--→AC, alors (MN) et

(BC) sont parallèles.

3) Vecteurs directeurs et équationsde droites

Définition 6 :Unvecteur directeurd"une droite (D) est un vecteur dont la direction est celle de (D). En particulier,--→ABest un vecteur directeur de la droite (AB) et tous les vecteurs directeurs de cette droite sont les vecteursk--→AB, oùkest un réel non nul.

×E×

F

×A×

B (D) -→u Proposition 4 :Toute droite (D) estcaractériséepar uneéquation cartésiennede la forme ax+by+c=0 , aveca?=0 oub?=0 .

Le vecteur

-→u(-b;a) est alors un vecteur directeur de (D).

Proposition 5 :Toute droitenon parallèle à l"axe des ordonnéesa uneéquation réduitede la forme :

y=mx+p. Proposition 6 :•Les droites d"équationsy=mx+pety=m?x+p?sont parallèles si et seulement sim=m?. •Les droites d"équationsax+by+c=0 eta?x+b?y+c?=0 sont parallèles si et seulement siab?-a?b=0 .

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II. Barycentre

1) Barycentre de deux points

La notionmathématiquede barycentreest intuitivementtrèsprochede la notionphysiquede centre de gravité et en fait le centre de gravité est défini comme un barycentre.

Théorème 2 :: Définition

SoientAetBdeux points du planP,αetβdeux réels tels queα+β?=0 .

Il existe un unique pointGtel que :

--→GA+β--→GB=-→0 .

Ce point est appelé

barycentredes deux points pondérés (A,α) et (B,β) .

On noteG=bar?(A,α),?B,β??.

-→démonstration Définition 7 :Siα=β?=0(et notammentα=β=1), on dit queGest l"isobarycentredeAetB.

Remarque :L"isobarycentre deAetBest le milieu de [AB], c"est le pointItel que-→I A+-→IB=-→0 .

Théorème 3 :Soientαetβtels queα+β?=0 et soientA,BetGtrois points du planP, G=bar?(A,α),?B,β???? ?M?P,α--→MA+β--→MB=(α+β)--→MG. -→démonstration Proposition 7 :Le barycentre de (A,α) et (B,β) est situé sur la droite (AB). -→démonstration Remarque :Siαetβsont de même signe,G?[AB].

Siαetβsont de signes contraires,G?[AB].

Si |α|>??β??alorsGest plus près deAque deB. Penser à l"équilibre d"une barre avec une masse à chaque bout. -→démonstration Remarque :Pour tout nombreknon nul :G=bar?(A,α),?B,β??=bar?(A,kα),?B,kβ??.

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Théorème 4 :SoitGle barycentre de (A,α) et (B,β) et?

O;-→i;-→j?

un repère du plan. SiA(xA;yA) et siB(xB;yB) alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?αxA+βxB

α+β;αyA+βyBα+β?

-→démonstration

2) Barycentre de trois points

Théorème 5 :: Définition

SoientA,BetCtrois points du planP,α,βetγtrois réels tels queα+β+γ?=0 .

Il existe un unique pointGtel que :

--→GA+β--→GB+γ--→GC=-→0 .

Ce point est appelé

barycentredes trois points pondérés (A,α), (B,β) et (C,γ).

On noteG=bar?(A,α),?B,β?,?C,γ??.

-→démonstration

Définition 8 :Siα=β=γ?=0 ,(et notamment siα=β=γ=1)on dit queGest l"isobarycentredeA,

BetC. Remarque :Pardéfinitionlecentre de gravitéGd"un triangleABCest l"isobarycentre des pointsA,B etC. On a donc :--→GA+--→GB+--→GC=-→0 .

Théorème 6 :Soientα,βetγtels queα+β+γ?=0 et soientA,B,CetGquatre points du planP, on

a alors :

G=bar?(A,α),?B,β?,?C,γ??

-→démonstration

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du barycentre partiel. Pour cela il suffit de penser à l"équilibre d"une barre en T avec des poids aux 3

extremités Théorème 7 :théorème du barycentre partiel SiH=bar?(A,α),?B,β??alors on a l"équivalence : -→démonstration Théorème 8 :SoitGle barycentre de (A,α) , (B,β) et (C,γ) et?

O;-→i;-→j?

un repère du plan. SiA(xA;yA) ,B(xB;yB) etC(xC;yC) alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?αxA+βxB+γxC -→démonstration

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3) Barycentre denpoints(HP)

On peut généraliser à un nombre plus grand de points la notionde barycentre. Les propriétés resteront

alors similaires. Dans toute la suitenest un entier naturel supérieur ou égal à 2. Théorème 9 :Soientnpoints du planPA1,A2, ...,An,nréelsα1,α2, ...,αntels que

1+α2+···+αn?=0 . Il existe un unique pointGtel que :

1---→GA1+α2---→GA2+···+αn---→GAn=-→0 .

Ce point est appelé

barycentredesnpoints pondérés (A1,α1), (A2,α2),..., (An,αn). On noteG=Bar?(A1,α1),(A2,α2),...,(An,αn)?.

Théorème 10 :Soientα1,α2, ...,αntelsqueα1+α2+···+αn?=0 et soientA1,A2, ...,AnetGqui sont

n+1 points du planP, on a l"équivalence Théorème 11 :SoitGle barycentre de (A1,α1),(A2,α2),...,(An,αn) et?

O;-→i;-→j?

un repère du plan. SiA1(xA1;yA1) ,A2(xA2;yA2) , ...,An(xAn;yAn) alors les coordonnées deGdans ce repère sont : G ?α1xA1+α2xA2+···+αnxAn

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