[PDF] Barycentre Cette solution est appelée

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Leçon 8Barycentre

On se place dans le planPou dans l"espaceE. Les pointA,BetCsont fixés.

On utilise en permanence le relation de Chasles et la règle suivante : pour tout pointAet tout vecteur?u, il

existe un unique pointMtel que?u=--→AM.

1 existence

Théorème 8.1.Siα+β+γ?= 0, l"équationα--→XA+β--→XB+γ--→XC=?0d"inconnueXadmet une unique

solution . Cette solution est appelée barycentre des pointsA,BetCaffectés des coefficientsα,βetγet notée

bar{(A,α);(B,β);(C,γ)}

Démonstration.Avec Chasles :

remarque .Au lieu de prendre trois points, on peut en prendre deux ou quatre ou plus. Les formules sont

similaires.

2 Simplification d"une combinaison linéaire de vecteurs

Théorème 8.2.SoitMun point quelconque et soit?v(M) =α--→MA+β--→MB+γ--→MC

- siα+β+γ?= 0,?v(M) =α--→MA+β--→MB+γ--→MC= (α+β+γ)--→MGavecG=bar{(A,α);(B,β);(C,γ)}

- siα+β+γ= 0,?v(M)est un vecteur indépendant deM.

Démonstration.- siα+β+γ?= 0,G=bar{(A,α);(B,β);(C,γ)}existe; en introduisantGdans tous les

vecteurs

?v(M) =α--→MG+α-→GA+β--→MG+β--→GB+γ--→MG+γ--→GC= (α+β+γ)--→MG+α-→GA+β--→GB+γ--→GC= (α+β+γ)--→MG

par définition deG. - siα+β+γ= 0, en introduisant un point fixe, par exempleAdans tous les vecteurs

?v(M) =α--→MA+β--→MA+β--→AB+γ--→MA+γ-→AC= (α+β+γ)--→MA+β--→AB+γ-→AC=β--→AB+γ-→AC(ce dernier

vecteur ne dépendant pas deM).

remarque .- Dans le cas oùα+β+γ?= 0, c"est souvent le choix judicieux deMqui permet de résoudre

des problèmes.

- Dans le cas oùα+β+γ= 0c"est le choix judicieux du point fixe qui permet de résoudre des problèmes.

Il faut considérer les points fixes qui apparaissent dans l"énoncé. 23

3. CONSTRUCTION DU BARYCENTRELEÇON 8. BARYCENTRE

3 construction du barycentre

3.1 barycentre de deux points

Pour construire le barycentreGde(A,2)et(B;3) (2 + 3?= 0), on écrit la relation " universelle » (voir

le théorème 8.2)

pour tout pointM,2--→MA+3--→MB= 5--→MG. Ensuite on choisit de remplacerMparAce qui donne3--→AB= 5-→AG

ou encore-→AG=3

5--→AB

Plus généralement, le barycentreGde(A,α)et(B;β) (α+β?= 0)se construit à l"aide de la relation :

AG=β

α+β--→AB

remarque .La relation précédente prouve que-→AGet--→ABsontcolinéaires, ce qui prouve que tout barycentre

deAetBappartient à la droite(AB)

3.2 barycentre de trois points ou plus

construction vectorielle De même, pour construire le barycentreGde(A,2),(B;3)et(C,4) (2 + 3 + 4?= 0):

pour tout pointM,2--→MA+ 3--→MB+ 4--→MC= 9--→MG. En remplaçantMparAon obtient3--→AB+ 4-→AC= 9-→AG

ou encore-→AG=3

9--→AB+49-→AC

Plus généralement, le barycentreGde(A,α),(B,β)et(C,γ) (α+β+γ?= 0)se construit avec :

AG=β

remarque .La relation précédente prouve que-→AG,--→ABet-→ACsontcoplanaires, ce qui prouve que tout bary-

centre deA,BetCappartient au plan(ABC) construction par regroupement

Théorème 8.3.(théorème du barycentre partiel) Si on aα+β+γ?= 0etα+β?= 0, le barycentreGde(A,α)

,(B,β)et(C,γ)est aussi le barycentre de(G1,α+β)et(C,γ)avecG1=bar{(A,α),(B,β). On remplace deux

points par leur barycentre affecté de la somme des coefficients.

Démonstration.Par définition deG1, on a pour toutM:α--→MA+β--→MB= (α+β)---→MG1.

Par définition deG, on a pour tout pointM:α--→MA+β--→MB+γ--→MC= (α+β+γ)--→MGet par substitution,

on obtient :(α+β)---→MG1+γ--→MC= (α+β+γ)--→MG.

En choisissantM=G, on obtient(α+β)--→GG1+γ--→GC=?0, ce qui prouve queG=bar{(G1,α+β),(C,γ)

remarque .On peut faire des regroupements (simples ou multiples) de 2 points ou plus.

4 ensembles de points

4.1 droite et plan

Théorème 8.4.- Tout point de la droite(AB)est barycentre deAetB. - Tout point du plan(ABC)est barycentre deA,BetC. Démonstration.On utilise la représentation paramétrique d"une droite et d"un plan.

- SiM?(AB), il existe un réelttel que--→AM=t--→ABou encore--→MA+t--→AB=?0?--→MA+t--→AM+t--→MB=?0?(1-t)--→MA+t--→MB=?0

ce qui signifie queM=bar{(A,1-t),(B,t)}

- De même siM?(ABC), il existe deux réelsuetvtels que--→AM=u--→AB+v-→ACou encore--→MA+u--→ABv-→AC=?0?--→MA+u--→AM+u--→MB+v--→AM+v--→MC=?0?(1-u-v)--→MA+u--→MB+v--→MC=?0

ce qui signifie queM=bar{(A,1-u-v),(B,u),(C,v)} http://pagesperso-orange.fr/calque24table des matières

5. COORDONNÉESLEÇON 8. BARYCENTRE

remarque .Comme on a vu dans3.1que le barycentre deAetBappartenait à(AB), on peut affirmer avec ce

qui précède, que la droite(AB)est l"ensemble des barycentres deAetB. De même en tenant compte de

3.2 que le plan(ABC)est l"ensemble des barycentres deA,BetC.

4.2 sous-ensembles

On peut donner des résultats plus fins

- L"ensemble des barycentres deAetBavec des coefficients de même signe est lesegment[AB]. - L"ensemble des barycentres deA,BetCavec des coefficients de même signe est letriangleABC

5 coordonnées

On se place dans un repère(O,?ı,??)ou(O,?ı,??,?k)et on suppose queG=bar{(A,α);(B,β);(C,γ)}(α+β+

γ?= 0).

En remplaçantMparOdans la relationα--→MA+β--→MB+γ--→MC= (α+β+γ)--→MGon obtient

ce qui permet de passer aux coordonnées x

G=αxA+βxB+γxC

6 concours

Sik?= 0, le barycentre de{(A,α);(B,β);(C,γ)}est aussi le barycentre de{(A,kα);(B,kβ);(C,kγ)}

Cette règle combinée au théorème du barycentre partiel ( le théorème 8.3) permet de démontrer que des droites sont concourantes ou sécantes. (Voir la feuille d"exercices )

7 barycentres particuliers

- Le milieu de[AB]est le barycentre de(A,1),(B,1).

- Le centre de gravité du triangleABCest le barycentre de(A,1),(B,1)(C,1). Avec le théorème du bary-

centre partiel, on montre qu"il appartient aux trois médianes du triangle. http://pagesperso-orange.fr/calque25table des matièresquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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