Barycentres
Barycentres. I. Vecteurs Ce point est appelé barycentre des deux points pondérés (A ?) et (B
1 Barycentre de deux points
Il s'agit en fait du centre de gravité du triangle ABC (si les trois points sont distincts). 3 Théorème du barycentre partiel - construction du barycentre de
Barycentre
Cette solution est appelée barycentre des points A B et C affectés des coefficients ?
Le barycentre - 1 S
3 avr. 2008 Construire les barycentres partiels B' et C'. Le choix de A comme origine des vecteurs de la fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire : 2.
Barycentre
barycentre de deux puis trois points affectés de coefficients (positifs 0 or I est le barycentre partiel de (B ; 4) et (C ; -3) donc affecté du coef.
1 S Barycentres de trois points ou plus
On peut regrouper certains points du système dont la somme des coefficients est non nulle remplacer les points choisis par leur barycentre partiel
Untitled
On remplace les deux premiers points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients : 6073. G est le centre de masse du système Terre-
Chapitre 3 28 Solvant polaire ou apolaire ? 1. a. Dans ces trois
Dans la molécule d'acétone l'atome C porte une charge partielle ?+ et O une charge partielle ?–. Le barycentre des charges partielles négatives est centré au
CHAPITRE 09 : Barycentre
Le point est appelé barycentre des deux points et affectés respectivement des coefficients et . b- Méthode du barycentre partiel.
Analyse des Données
Déterminer le barycentre G de ce nuage de point. 2. Désignons par G? le barycentre partiel des individus de la classe C? (? = 1 2).
[PDF] Barycentres
Barycentres I Vecteurs Ce point est appelé barycentre des deux points pondérés (A ?) et (B ?) Théorème 7 : théorème du barycentre partiel
[PDF] barycentre dans le plan
On dit aussi que G est le barycentre des points pondérés ou des points massifs ( A a ) et ( B b ) 2 ) BARYCENTRE PARTIEL on suppose a + b + c * 0
[PDF] Résumé de cours et méthodes 1 Barycentre de deux points 2
D'après la formule de construction du barycentre de deux points on a ??? BG1 = 4 4+2 ?? BC = 2 3 ?? BC B A C barycentre partiel construction
[PDF] CHAPITRE 09 : Barycentre
Le point est appelé barycentre des deux points et affectés respectivement des coefficients et b- Méthode du barycentre partiel
[PDF] barycentre_courspdf
3 avr 2008 · Théorème : On ne change pas le barycentre de trois points pondérés en remplaçant deux d'entre eux par leur barycentre partiel (s'il existe)
[PDF] EXERCICES CORRIGES - BARYCENTRES - Moutamadrisma
système partiel » en construire le « barycentre partiel » puis remplacer ce système par son barycentre affecté de la somme des coefficients
[PDF] I Barycentre de deux points pondérés - AlloSchool
Associativité du barycentre ou barycentre partiel : a Théorème : Le barycentre de trois pondérés ne change pas si on remplace deux points du système par
[PDF] 1 S Barycentres de trois points ou plus
On peut regrouper certains points du système dont la somme des coefficients est non nulle remplacer les points choisis par leur barycentre partiel affecté de
[PDF] Fiche dexercices Barycentres partiels alignement et concours
La droite (BG) coupe (AC) en J Exprimer J comme barycentre de A et C Exercice 3 On considère un triangle ABC quelconque et on définit les points I = Bary
[PDF] Barycentres produit scalaire - Pierre Audibert
Grâce à la règle du barycentre partiel le point G est aussi le barycentre de (P ? + ?) et (A ?) Comme ces deux points ont des coefficients positifs G est
Quel est la formule du barycentre ?
La position du barycentre est donnée par la relation vectorielle ?. GA + ?. GB + ?. GC = 0.Comment montrer qu'un point est barycentre de 3 points ?
Soient (A, a), (B, b) et (C, c) trois points pondérés avec a+b+c ? 0 et a+b ? 0. Si G est le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) et si H est le barycentre de (A, a) et (B, b), alors G est le barycentre de (H, a+b) et (C, c).Comment trouver le barycentre de deux points ?
Théorème 2 : : Définition
Soient A et B deux points du plan P , ? et ? deux réels tels que ?+? = 0 . Il existe un unique point G tel que : ? ??? GA +? ??? GB = ?? 0 . Ce point est appelé barycentre des deux points pondérés (A, ?) et (B , ?) .- Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b) ( C ; c ). Pour tout point M de l'espace : Donc, en particulier en prenant M = O : L'abscisse du barycentre est la moyenne pondérée des abscisses.
![1 Barycentre de deux points 1 Barycentre de deux points](https://pdfprof.com/Listes/17/17639-17doc_barycentre.pdf.pdf.jpg)
1Barycentre de deux points
DÉFINITIONSia+b?=0, le barycentre des points pondérés(A,a)(B,b)est le pointGtel quea-→GA+b-→GB=-→0 .PROPRIÉTÉ
Sia+b?=0,Gbarycentre de(A,a)(B,b)?-→AG=ba+b-→ABCette propriété est utilisée pour construire graphiquement le barycentre de deux points.
Exemples :AetBsont deux points distants de 3 cm.
G1barycentre de(A,1)(B,2)?--→AG1=21+2-→AB=23
-→AB. G2barycentre de(A,4)(B,-1)?--→AG2=-14+(-1)-→AB=-13
-→AB.AB G G12Remarque :SiA?=B, les pointsA,BetGsont alignés.PROPRIÉTÉSia+b?=0, le barycentre du système(A,ka)(B,kb)(aveck?=0) est le même que celui du système(A,a)(B,b).Exemple :le barycentre de(A,4)(B,-2)est le barycentre de(A,2)(B,-1).
PROPRIÉTÉSia+b?=0, les coordonnées du barycentre de(A,a)(B,b)dans un repère sont telles que :
xG=axA+bxBa+betyG=ayA+byBa+bDÉFINITION
On appelleisobarycentrede deux pointsAetB, le barycentre de ces deux points pondérés par un même coefficient. Il s"agit en
fait dumilieudu segment[AB].Exemple :on peut affirmer sans calculs que le barycentre du système(A,-3)(B,-3)est le milieu de[AB].
2Barycentre de trois points
DÉFINITIONSia+b+c?=0, le barycentre des points pondérés(A,a)(B,b)(C,c)est le pointGtel quea-→GA+b-→GB+c-→GC=-→0 .PROPRIÉTÉ
Sia+b+c?=0, le barycentre du système(A,ka)(B,kb)(C,kc)(aveck?=0) est le même que celui du système(A,a)(B,b)(C,c).Exemple :le barycentre de(A,-3)(B,-6)(C,-12)est le barycentre de(A,1)(B,2)(C,4).
PROPRIÉTÉSia+b+c?=0, les coordonnées du barycentre de(A,a)(B,b)(C,c)dans un repère sont telles que :
x G=axA+bxB+cxCa+b+cetyG=ayA+byB+cyCa+b+c1S - Barycentres c?P.Brachet -www.xm1math.net1DÉFINITION
On appelleisobarycentrede trois pointsA,BetC, le barycentre de ces trois points pondérés par un même coefficient. Il s"agit en
fait ducentre de gravitédu triangleABC(si les trois points sont distincts).3Théorème du barycentre partiel - construction du barycentre de trois points
PROPRIÉTÉEtant donné trois pointsA,B,Cet trois réelsa,betctels quea+b+c?=0 etb+c?=0.Si on noteG1, le barycentre de(B,b)(C,c)alors le barycentreGde(A,a)(B,b)(C,c)est aussi le barycentre de(A,a)(G1,b+c).
G=barycentre(A,a) (B,b)(C,c)????
G=barycentre(A,a)(G1,b+c)
On peut donc "remplacer» deux points pondérés d"un système par leur barycentre (dit "partiel») affecté de la somme de leurs
coefficientsApplication à la construction du barycentre de trois points : D"après le principe ci-dessus, cela revient à construire deux barycentres de deux points. Exemple :On cherche à construireG, le barycentre de(A,1)(B,2)(C,4)sur la figure ci-dessous :BACfigure de base1) On construitG1, le barycentre partiel de(B,2)(C,4). D"après la formule de construction du barycentre de deux points, on a
--→BG1=44+2-→BC=23 -→BC.BAC barycentre partiel construction duEtape 1 : G12) D"après la propriété du barycentre partiel, on peut "remplacer» dans le système(B,2)(C,4)par(G1,2+4). Donc,Gest en fait
le barycentre de(A,1)(G1,6). D"après la formule de construction du barycentre de deux points, on a-→AG=61+6--→AG1=67
--→AG1.BAC G1Etape 2 :
construction du barycentre du système initial GRemarque :ce principe s"applique aussi aux barycentres de quatre points pondérés.Exemple : pour construireG, le barycentre de(A,1)(B,2)(C,-1)(D,4), on peut commencer par déterminerG1, le barycentre
partiel de(A,1)(B,2)etG2, le barycentre partiel de(C,-1)(D,4).On a donc
--→AG1=23 -→ABet--→CG2=43 -→CD.En "remplacant» dans le système(A,1)(B,2)par(G1,1+2)et(C,-1)(D,4)par(G2,-1+4), on en déduit queGest aussi le
barycentre de(G1,3)(G2,3)(c"est à dire le milieu de[G1G2].2 c?P.Brachet -www.xm1math.net1S - Barycentres AB C DG 1 G2G4Réduction de sommes vectorielles à l"aide de barycentres
Un des principaux intérêts des barycentres est de les utiliser pour réduire des sommes de vecteurs grâce à la propriété suivante :
PROPRIÉTÉ•Sia+b?=0 alors pour tout pointM,a-→MA+b-→MB= (a+b)--→MGoùGest le barycentre de(A,a)(B,b).•Sia+b+c?=0 alors pour tout pointM,a-→MA+b-→MB+c-→MC= (a+b+c)--→MGoùGest le barycentre de(A,a)(B,b)(C,c).Exemple :
Si on veut réduire la somme 2-→MA-3-→MB+6-→MC, on introduitGle barycentre de(A,2)(B,-3)(C,6).
On a alors, 2-→MA-3-→MB+6-→MC= (2-3+6)--→MG=5--→MG.Remarque :Si la somme des coefficients est nulle, on ne peut plus utiliser un barycentre. Mais en utilisant la relation de Chasles,
on peut montrer que la somme de vecteurs est en fait indépendante du pointM. Exemple : 3-→MA-5-→MB+2-→MC=3-→MA-5?-→MA+-→AB? +2?-→MA+-→AC? =-5-→AB+2-→AC5Recherche de lieux géométriques
En utilisant les réductions de sommes vectorielles vues au paragraphe précédent, on peut facilement en déduire la nature de cer-
tains lieux géométriques. Exemple :ABCest un triangle dans le plan muni d"un repère orthonormé d"unité 1 cm. a)Déterminons l"ensembleE1des pointsMtels que?-→MB+2-→MC?=6cm.Pour réduire la somme vectorielle, on pense à utiliserG1, le barycentre de(B,1)(C,2)(que l"on construit avec--→BG1=22+1-→BC=
23-→BC). Alors, pour tout pointM,-→MB+2-→MC= (1+2)--→MG1=3--→MG1. E
1est donc l"ensemble des pointsMtels que?3--→MG1?=6cm? ?--→MG1?=2cm.
On en déduit queE1est le cercle de centreG1et de rayon 2 cm. BCA G 1E1b)Avec le même triangle, déterminons maintenant l"ensembleE2des pointsMtels que?3-→MA+-→MB?=2?-→MA+-→MC?.1S - Barycentres
c?P.Brachet -www.xm1math.net3Si on noteG2le barycentre de(A,3)(B,1)alors pour tout pointM, 3-→MA+-→MB= (3+1)--→MG2=4--→MG2.
(G2est construit avec--→AG2=13+1-→AB=14 -→AB)Si on noteG3le barycentre de(A,1)(C,1)alors pour tout pointM,-→MA+-→MC= (1+1)--→MG3=2--→MG3.
(G3est l"isobarycentre deAetC, c"est à dire le milieu de[AC]) E2est donc l"ensemble des pointsMtels que?4--→MG2?=2?2--→MG3? ? ?--→MG2?=?--→MG3?.
On en déduit queE2est la médiatrice de[G2G3].BCA G 2 G 3E26Comment montrer que trois points sont alignés à l"aide de barycentres?Principe général :pour prouver que trois points sont alignés il suffit de montrer que l"un peut s"exprimer comme un barycentre
des deux autres (en utilisant la propriété du barycentre partiel dans tous les sens).Les exercices basés sur cette méthode demandent une bonne maîtrise des barycentres partiels et une bonne observation de
l"énoncé. Exemple :SoitABCun triangle,Ile milieu de[AB],Kle barycentre de(A,1)(C,2)etJle milieu de[IC]. Il va s"agir de montrer que les pointsB,KetJsont alignés.1) Recherche empirique du point dont on va montrer que c"est un barycentre des deux autres :
Bétant un point de la figure de base, il sera a priori plus difficile de l"exprimer comme barycentre des pointsKetJqui ont été
rajoutés après.Cela nous laisse le choix entreKetJ.
2) Solution en partant deJet donc en cherchant à l"écrire comme barycentre deBetK:
Recherche :
D"après l"énoncé,Jest l"isobarycentre deIetCetIest aussi l"isobarycentre deAetB. Donc, d"après la propriété du barycentre
partiel, on peut remplacer(A,1)(B,1)par(I,2)dans un système. L"idée est donc de partir en disant queJest le barycentre de
(I,2)(C,2).Rédaction :
Jmilieu de[IC]?Jbarycentre de(I,2)(C,2).
Imilieu de[AB]?Ibarycentre de(A,1)(B,1).
Donc,Jest aussi le barycentre de(A,1)(B,1)(C,2)(on "remplace»(I,2)par(A,1)(B,1)).Or,Kest le barycentre de(A,1)(C,2), on peut donc "remplacer»(A,1)(C,2)dans le système par(K,3).
On en déduit queJest le barycentre de(K,3)(B,1)et donc que les pointsB,KetJsont alignés.3) Solution en partant deK(moins naturelle) :
Kest défini comme le barycentre de(A,1)(C,2). Il faut essayer de faire apparaîtreBetJ.Comme aucune solution naturelle n"apparaît, on utilise l"astuce suivante pour forcer l"apparition du pointB:
On va écrire queKest aussi le barycentre de(A,1)(B,1)(B,-1)(C,2).(Attention : ce n"est plus la propriété du barycentre partiel, mais cela est vrai car-→KA+2-→KC=-→0?-→KA+-→KB--→KB+2-→KC=-→0
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] le barycentre exercices corrigés
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