Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Chapitre 1. Introduction. 5. Chapitre 2. Élément de logique et méthodes de raisonnement avec Exercices. Corrigés. 7. 1. Régles de logique formelle.
Exercices corrigés algèbre linéaire
Montrer que fn = 0. Exercice 4. Soit B = (e1e2
Espaces vectoriels
donner les composantes des vecteurs 1 et 2 par rapport à cette base. Allez à : Correction exercice 40. CORRECTIONS. Correction exercice 1. On peut
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
22 mai 2014 à partir des vecteurs v1 v2 et v3. Exercice 2. Soit f un endomorphisme de R. 3 et A la matrice associée à cet endomorphisme dans ...
ALGEBRE 2
ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER. L1 année 2006-2007. Page 2. 2. Page 3. Ce support de cours est basé sur le poly de Tristan Tomala des années précédentes. 3. Page
Applications linéaires matrices
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Exercices dAlgèbre
Considérons la base canonique de orthonormée pour le produit scalaire canonique. 2. (. ) (. ) 1. 2.
Exercices Corrigés Initiation aux Base de données
Correction de l'exercice 2. A ne peut pas être clé de R car la valeur a1 de A se répètent dans la relation R. De même pour. B (b1) et C (c2).
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2. Raisonnements · Fiche d'exercices · Logique ensembles
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
(K). 2. Montrer que la matrice A est inversible. 3. Exprimer l'inverse A. −1 en fonction de la matrice A. Exercice 2.— Soit A une matrice de Mn(K) avec n
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
est vraie. 3. Exercices Corrigés. Exercice 1. Donner la négation des propositions suivantes : (1) ?x ? IR?y
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site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices corrigés. Au bout du chemin
Espaces vectoriels
Allez à : Correction exercice 2. Exercice 3. On considère dans ?. une famille de 4 vecteurs linéairement indépendants ( 1 2
Exercices dAlgèbre
Dans R les vecteurs (2
Exercices corrigés Initiation aux bases de données
Exercices. Corrigés. Initiation aux. Base de données. • Algèbre relationnelle I. Chapitre 1 : Algèbre relationnelle . ... Correction de l'exercice 2.
Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
? M22(R). Exercice 9 – (extrait partiel novembre 2011). 1) En utilisant l'algorithme du cours
Exercices corrigés Alg`ebre linéaire 1
(3) Montrer que pour tout x ? E
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
May 22 2014 Cours d'algèbre linéaire. 1. Espaces vectoriels. 2. Applications linéaires. 3. Matrices. 4. Déterminants. 5. Diagonalisation ...
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
Exercice 28.— Montrer que le corps R n'est pas algébriquement clos. Le théorème fondamental de l'algèbre entraîne que le corps C est algébriquement.
Exercices corrig´es
Alg`ebre lin´eaire 1
1 Enonc´es
Exercice 1On rappelle que (E,+,·) est unK-espace vectoriel si (I) (E,+) est un groupe commutatif; (II-1)?x,y?E,?α?K,α·(x+y) =α·x+α·y; (II-2)?x?E,?α,β?K, (α+β)·x=α·x+β·x; (II-3)?x?E,?α,β?K,α·(β·x) = (αβ)·x; (II-4) 1·x=x.Soit (E,+,·) unK-espace vectoriel. On note 0El"´el´ement neutre de (E,+) (que l"on appelle aussi
l"originede (E,+,·)) et 0Kle nombre z´ero (dansK). Pour toutxdansE, le sym´etrique dexest not´e
-x. (1) Montrer que, pour toutx?E,x+x= 2·x. (2) Montrer que, pour toutx?E, 0K·x= 0E. (3) Montrer que, pour toutx?E, (-1)·x=-x. Exercice 2SoientF1,...,Fmdes sous-espaces vectoriels d"unR-espace vectoriel (E,+,·). Montrer queF:=F1∩...∩Fmest un sous-espace vectoriel deE. Exercice 3Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel,{x1,...,xm}une famille de vecteurs deE. Montrer queF:= vect{x1,...,xm}est un sous-espace vectoriel deE. Exercice 4Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel,Fun sous-espace vectoriel deEetA,Bdeux sous-ensembles deE. (1) Montrer que, siA?B, alors vectA?vectB. (2) Montrer queAest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si vectA=A. (3) Montrer que, siA?B?FetAengendreF, alorsBengendreF. Exercice 5Consid´erons les vecteurs deR4suivants : e 1=( ((1 1 1 1) )),e2=( ((0 1 2 -1) )),e3=( ((1 0 -2 3) )),e4=( ((2 1 0 -1) La famille{e1,e2,e3,e4}est-elle libre? Est-ce une base deR4? Exercice 6Consid´erons les vecteurs deR4suivants : e 1=( ((1 1 1 1) )),e2=( ((0 1 2 1) )),e3=( ((1 0 -2 3) )),e4=( ((1 1 2 -2) 1 (1) La famille{e1,e2,e3,e4}est-elle libre? (2) Quel est le rang de la famille{e1,e2,e3,e4}?(3) D´eterminer une relation entre les nombres r´eelsαetβpour que le vecteuru= (1,1,α,β)t
appartienne au sous-espace vectoriel engendr´e par la famille{e1,e2,e3,e4}. Exercice 7SoitE=RR, l"espace des fonctions deRdansR. (1) Soientcetsles fonctions d´efinies par ?x?R, c(x) = cosxets(x) = sinx. Montrer que{c,s}est une famille libre deE. Quelle est la dimension du sous-espace vectorielT engendr´e par la famille{c,s}? (2) Soientα,β,γtrois r´eels fix´es. Soientf,g,hles fonctions d´efinies par ?x?R, f(x) = cos(x+α), g(x) = cos(x+β) eth(x) = cos(x+γ). Montrer quef,g,happartiennent `aT, et expliciter leurs coordonn´ees dans la base{c,s}deT. La famille{f,g,h}est-elle libre? Quel est son rang?(3) Soienta1,a2,a3trois r´eels distincts. Pour tout entierk? {1,2,3}on notefkla fonction d´efinie
surRpar ?x?R, fk(x) =|x-ak|.Montrer que{f1,f2,f3}est une famille libre deE.
Exercice 8(1) On rappelle queC0(R) d´esigne l"espace des fonctions continues deRdansR. Montrer queA:={f? C0(R)|?x?R, f(x) =f(-x)}etB:={f? C0(R)|?x?R, f(x) =-f(-x)}sont des sous-espaces vectoriels deC0(R). Sont-ils en somme directe? (2) Montrer queA:={(x,y,z)?R3|x+y+z= 0}etB:={(x,y,z)?R3|x-y+z= 0}sont des sous-espaces vectoriels deR3. Sont-ils en somme directe? Exercice 9(1) SoientF:={(x,x,x)?R3|x?R}etG:={(0,y,z)?R3|y,z?R}. Montrer que FetGsont deux sous-espaces vectoriels deR3. Pr´eciser leurs bases et leurs dimensions. Sont-ils en somme directe? (2) SoitH:={(x,y,z,t)?R4|x= 2y-z, t=x+y+z}. V´erifier queHest un sous-espace vectoriel deR4. En donner une base et la dimension. Exercice 10Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel etA,B,Ctrois sous-espaces vectoriels deE. (1) Montrer que (A∩C)+(B∩C)?(A+B)∩C. Donner un exemple dansR2pour lequel l"inclusion est stricte. (2) Montrer que, siA+B=A+C,A∩B=A∩CetB?C, alorsB=C. Exercice 11On consid`ere l"application donn´ee par ?:R3-→R3 (x y z) (-x+ 2y+ 2z -8x+ 7y+ 4z -13x+ 5y+ 8z) (1) Montrer que?est une application lin´eaire. D´eterminer l"image par?des vecteurs de la base canonique{e1,e2,e3}deR3. Calculer?(2e1+e2-e3). (2) D´eterminer le noyau de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. 2 (3) L"application?est-elle injective? surjective? bijective? (4) Soitψl"application lin´eaire donn´ee parψ:R2-→R3
x y? (x-y x+y x+ 2y)D´eterminer?◦ψ.
Exercice 12On consid`ere l"application donn´ee par ?:R3-→R2 (x y z) ?-→?y+z x? ainsi que les vecteursu:= (1,2,3)tetv:= (1,1,1)t. (1) Montrer que?est lin´eaire. D´eterminer?(u),?(v) et?(u-2v). (2) D´eterminer le noyau de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. (3) D´eterminer l"image de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. Exercice 13SoientEetFdeuxR-espaces vectoriels et?une application lin´eaire deEdansF. SoitA:={x1,...,xm}une famille de vecteurs deE.
(1) Montrer que, siAest li´ee, alorsf(A) ={?(x1),...,?(xm)}est li´ee. (2) Montrer que, si?(A) est libre, alorsAest libre. (3) Montrer que, siAest libre et?est injective, alors?(A) est libre.2 Solutions
Solution de l"exercice 1
(1) Pour toutx?E, 2·x= (1 + 1)·x= 1·x+ 1·x=x+x, o`u l"on a utilis´e successivement les
axiomes (II-2) et (II-4). (2) On a : 0K·x= (0K2)·x
= 0K·(2·x) [d"apr`es l"axiome (II-3)]
= 0K·(x+x) [d"apr`es la question (1)]
= 0K·x+ 0K·x.
En simplifiant (c"est-`a-dire, en ajoutant-(0K·x) des deux cˆot´es), on obtient l"´egalit´e 0E= 0K·x.
(3) D"apr`es la question (2), 0 E= 0K·x= (1 + (-1))·x= (1·x) + ((-1)·x) =x+ ((-1)·x), o`ula troisi`eme ´egalit´e r´esulte de l"axiome (II-2) et o`u la derni`ere ´egalit´e r´esulte de l"axiome (II-4).
On en d´eduit que (-1)·xest le sym´etrique dex, c"est-`a-dire,-x. Solution de l"exercice 2: Nous devons montrer que pour tousx,y?Fet pour toutα?R, x+αy?F. Soient doncx,y?Fetα?Rquelconques. Par d´efinition de l"intersection, pour tout k? {1,...,m},x,y?Fk. CommeFkest un sous-espace vectoriel deEnous d´eduisons que x+αy?Fk, 3 et ce pour toutk? {1,...,m}. Doncx+αyappartient `a l"intersection desFk, c"est-`a-dire, `aF. Solution de l"exercice 3: Remarquons tout d"abord queFest non vide, puisque que 0E= 0·x1+···+ 0·xm?F.
Soientx,y?Fetα?Rquelconques. Alorsxetys"´ecrivent avecα1,...,αm,β1,...,βm?R. Donc, x+αy= (α1x1+···+αmxm) +α(β1x1+···+βmxm) = (α1+αβ1)x1+···+ (αm+αβm)xm.Par cons´equent,x+αyest une combinaison lin´eaire des vecteursx1,...,xm, c"est-`a-dire, un ´el´ement
deF.Solution de l"exercice 4:
(1) Supposons queA?B, et montrons que tout ´el´ement de vectAappartient `a vectB. Soit doncx quelconque dans vectA. SiA=∅, alors vectA={0}et doncxest forc´ement le vecteur nul. Comme vectBest un sous-espace vectoriel, vectB?0 et l"on a bien vectA?vectB. SiAest non vide, alors PuisqueA?B, lesxksont aussi dansB, de sorte quexest une combinaison lin´eaire de vecteurs deB, c"est-`a-dire, un ´el´ement de vectB. On a donc encore vectA?vectB. (2) Supposons queA= vectA. Puisque vectAest un sous-espace vectoriel, il en est de mˆeme deA. R´eciproquement, supposons queAsoit un sous-espace vectoriel, et montrons queA= vectA.Remarquons que tout ´el´ement deAest une combinaison lin´eaire particuli`ere d"´el´ements deA
(prendrep= 1,α1= 1 etx1=x). Donc on a clairement l"inclusionA?vectA. De plus, siAquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5[PDF] algebre 3 cours pdf
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