[PDF] TERMINALES C utiliser le barycentre pour établir

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Calculs

barycentriques

Prenum-AC Cameroun SOH ARNOLD

cedricksoh@gmail.com

OBJECTIFS ET STRUCTURATION

Objectif général

Développerchez l"apprenantdescompétences luipermettant derésoudredes problèmes d"équilibre.Objectifs spécifiques A la fin de ce cours, l"apprenant doit être capable de : Idéterminer le point d"équilibre d"un ensemble de points massifs

Idéterminer les lieux géométriques

Iutiliser le barycentre pour réduire des écritures vectorielles Iutiliser le barycentre pour établir des alignements de points, le point de concours de droites Iutiliser le barycentre pour caractériser un segment de droite, une demi-droite, une droite, un plan ou un domaine du plan.Pré-requis Comme pré-requis, nous avons les notions de : vecteurs du plan, addition vectorielle, produit d"un vecteur par un réel, vecteurs colinéaires, produit sca- laire, relation de Chasles, repère et coordonnées, notion de parallélisme et d"ali- gnement, point de concours.DIPES II 2013-20142

Liens avec les autres parties du programme

Applications affines (translation, homothétie, etc.) Toutes les applications affines conservent le barycentre.

1.Expression d"une translation à l"aide du barycentre.

SoientAetBdeux points, la transformation qui, au pointMassocie le point M

0= barf(B;1);(A;1);(M;1)gest unetranslation, qui a pour vecteur!AB.

2.Expression d"une homothétie à l"aide du barycentre.

SoientCun point etkun scalaire non nul. La transformation qui au pointM associe le pointM0= barf(C;1k);(M;k)gestl"homothétiede centreCet rapportk.

Nombres complexes

Affixe du barycentre d"un système de points.

Calcul vectoriel

Réduction des sommes vectorielles à partir du barycentre.Place dans le programme Les calculs barycentriques introduisent la partie géométrique en terminale C car ils sont mis en oeuvre dans presque tous les chapitres de géométrie.Introduction Ce cours est subdivisé en quatre parties dont la première est une leçon sur la notion de

barycentre et ses propriétés, la deuxième une leçon sur la notion de recherche de lieux géomé-

triques, la troisième une leçon sur les applications du barycentre et la dernière est un ensemble

de plusieurs types d"exercices classés par ordre de difficultés.. Tout au long de ce coursPdésignera le plan,Vl"ensemble des vecteurs du plan,El"espace etWl"ensemble des vecteurs de l"espace.Organisation d"une leçon

Les définitions, propriétés, théorèmes ou méthodes d"une leçon sont introduits par des acti-

vités. La leçon étant renforcée par beaucoup d"exemples et des exercices d"application.PRENUM-AC3

Sommaire

Historique5

1 Barycentre

6

1.1 Définition du barycentre

6

1.2 Caractéristiques du barycentre

11

2 Recherche des lieux géométriques

16

2.1 Droite, segment et barycentre

16

2.2 Barycentre, plan et triangle

17

2.3 Barycentre et lignes de niveau

19

3 Autres applications du barycentre

25

3.1 Alignement des points

25

3.2 Concours et parallélisme

26

4 Exercices

29

4.1 Exercices de synthèse

29

4.2 Exercices de recherche

32

Bibliographie et Webographie

40

ANNEXE

41 DIPES II 2013-20144

Historique

Notion purement physique à l"origine, le barycentre a évolué progressivement et se présente de nos jours comme un instrument fondamental en mathématiques. Le barycentre qui vient du grecbarus(lourd, pesant) et decentre, est initialement le centre des poids. Il s"agit

donc à l"origine d"une notion mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que

centre des poids, que l"on appelle aujourd"hui centre de gravité, est le mathématicien-physicien

Archimède (287212avant J.-C.). Il a écrit dans son traité sur le centre de gravité des surfaces

planes : " Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps

physicien allemand, généralise les travaux d"Archimède : en 1827, il envisage le barycentre

de plus de deux points et définit le calcul barycentrique. Cependant, on considère Archimède

comme le père du calcul barycentrique. En effet, il a mis au point une machine sur le principe du levier pour lancer à lui seul un grand vaisseau à la mer.DIPES II 2013-20145

Sommaire

1.1 Définition du barycentre

6

1.2 Caractéristiques du barycentre

11 1

Barycentre

Notion de point pondéré: soitAun point du plan (ou de l"espace) etaun nombre réel, le couple(A;a)est appelé point pondéré. Dans ce casaest appelé coefficient (ou masse) deA. Motivation: une balance est constituée d"une masseM= 3Kget d"un plateau fixés aux

extrémités d"une tige. Pour peser une massem, le vendeur place, à une position précise, un cro-

chet sur la tige. Cette balance a l"avantage, pour le commerçant, de ne pas manipuler plusieurs masses.M mAB 1. On donne m= 2Kg, où faut-il fixer le crochetGsur le segment[AB]pour réaliser l"équilibre? 2.

Le point Gest tel que!AG=14

!AB. Quelle est la massempesée?1.1. Définition du barycentre Nous avons vu en physique, dans les classes précédentes que le centre de gravité d"un corps

est le point par lequel ce corps tient en équilibre. Le barycentre est une généralisation de la

notion de centre de gravité dans le domaine des mathématiques.DIPES II 2013-20146

Considérons

(Ai;i)

1inun système denpoints pondérés etMun point quelconque.

1.

Montrer que

nP i=1 i!MAi=!0, nP i=1 i!A1M=nP i=2 i!A1Ai. 2. En déduire l"ensembl edes points MvérifiantnP i=1 i!MAi=!0. (On distinguera deux cas : nP i=1 i= 0etnP i=1 i6= 0).Activité 1. 1(le but de cette activité est la définition du barycentre)Solution: 1.

On a :

n X i=1 i!MAi=nX i=1 i(!MA1+!A1Ai) nX i=1 i!MA1+nX i=1 i!A1Ai

Ainsi,

nP i=1 i!MAi=!0, nP i=1 i!A1M=nP i=2 i!A1Ai 2.

Distinguons les cas sui vants:

1 erCas:nP i=1 i= 0.

On déduit de la question1quenP

i=1 i!MAi=!0,nP i=2 i!A1Ai=!0et tous les pointsMde l"espace (ou du plan) vérifient cette égalité. Donc l"ensemble cherché est l"espace (ou le plan). 2 eCas :nP i=1 i6= 0. P i=1 i nP i=2 i!A1Ai et on conclut que l"ensemble des points cherché est le singletonfGgtel que : !A1G=1n P i=1 i nP i=2 i!A1Ai .PRENUM-AC7 Soit (Ai;i)

1inun système denpoints pondérés etMun point quelconque.

1.

On suppose que

nP i=2 i6= 0.

Montrer que

nP i=1 i!MAi= nP i=1 i!MGoùGest tel quenP i=1 i!GAi=!0. 2.

On suppose que

nP i=1 i= 0.

Montrer que le vecteur

nP i=1

i!MAiest indépendant deM.Activité 1. 2(Le but de cette activité est de savoir réduire une relation vectorielle)Solution:

SoitMun point quelconque.

1)Supposons quenP

i=1 i6= 0, on a : n X i=1 i!MAi=nX i=1 i(!MG+!GAi) nX i=1 i!MG+nX i=1 i!GAi nX i=1 i!MGcarnX i=1 i!GAi=!0

2)Supposons quenP

i=1 i= 0, on a : n X i=1 i!MAi=nX i=1 i!MA1+!MAi nX i=1 i!MA1+nX i=2 i!A1Ai nX i=2 i!A1AicarnX i=1 i= 0:

D"où

nP i=1 i!MAi=nP i=2 i!A1Aiqui est un vecteur indépendant deM.PRENUM-AC8

Etant donnénpoints pondérés

(Ai;i)

1intel quenP

i=1 i6= 0.

On appellebarycentredes points pondérés

(Ai;i)

1inle pointGtel que :

n P i=1 i!GAi=!0ou de manière équivalente!A1G=1n P i=1 i nP i=2 i!A1Ai

On note :G=barA

1A 2:::A n 1 2::: nouG=barf(A1;1);(A2;2);:::;(An;n)g.Définition 1. 1

Remarques:

Le barycentre d"un système de points pondérés e xistelorsque la som medes coef ficients de ces points est non nulle.

Le barycentre lorsqu" ile xisteest unique. Soit(Ai;i)1inun système de n points pondérés. Pour tout pointM, on a :

(i)SinP i=1 i6= 0, alorsnP i=1 i!MAi= nP i=1 i!MGoùGest barycentre des(Ai;i). (ii)SinP i=1 i= 0, alors le vecteurnP i=1

i!MAiest indépendant deM.Théorème 1. 1(théorème de réduction d"une somme vectorielle)On appelleisobarycentredes pointsA1;A2;:::;An, le barycentre de ces points tous

affectés d"un même coefficient non nul.Définition 1. 2

Remarques:

Soit2R, le milieuId"un segment [AB] est en fait le barycentre de(A;)et(B;)ou de manière équivalente l"isobarycentre deAetB. L"isobarycentre de trois points non alignésA,BetCest le centre de gravité du triangle ABC.

Exemple 1. 1.:

SoitA,BetCtrois points non alignés.PRENUM-AC9

1.Dans chacun des cas s uivants,justifier que le point Gdéfini par l"égalité vectorielle don-

née est le barycentre d"un système de points pondérés que l"on précisera : a) 2!GA+ 3!GB=!0b)!AG+15 !AC=!GB 2. Construire ,s"ils e xistent,les barycentres des systèmes de points pondérés sui vants: a)f(A;2);(B;5)gb)n A;23 B;14 C;512 o c)f(A;2);(B;5);(C;1)g

Solution :

1. (a) On a : 2!GA+ 3!GB=!0et par définition deGon peut conclure que

G=barf(A;2);(B;3)g.

(b)

Sachant que

!AG+15 !AC=!GB, par la relation de Chasles, on a : !AG+15 !AG+15 !GC=!GB, donc,65 !AG+!BG15 !CG=!0.

D"oùG=barf(A;6);(B;5);(C;1)g.

2. (a) On a : 2 + 5 = 3et3est non nul, doncG=f(A;2);(B;5)gexiste et!AG= 53
!AB; sa construction est :ABG

ACBG(b)On a :

23
14 512
= 0donc ce système n"admet pas de barycentre. (c) On a : 2 + 5 + 1 = 46= 0, doncG=f(A;2);(B;5);(C;1)gexiste et !AG=54 !AB+14 !AC; sa construction est :AAG ACBG

Exemple 1. 2.:

SoitABCun triangle etMun point du plan.

Réduire les vecteurs suivants :

!u= 2!MA+!MB+ 3!MCet!v= 2!MA4!MB+ 2!MC.

Solution:

La somme des coefficients des points(A;2);(B;1);(C;3)est non nulle donc leur bary- centre existe, notons leG.PRENUM-AC10

Ainsi,

!u= 2!MA+!MB+ 3!MC= 6!MG: La somme des coefficients des points(A;2);(B;4);(C;2)est nulle. Comme les points (A;2)et(C;2)ont un même coefficient, désignons parIle milieu de[AC].

Par conséquent,

v= 2(!MI+!IA)4(!MI+!IB) + 2(!MI+!IC) = 2( !IA+!IC)4!IB Donc, !v=4!IBcar!IA+!IC=!0:1.2. Caractéristiques du barycentre Soit (Ai;i)

1innpoints pondérés vérifiantnP

i=1 i6= 0et G leur barycentre. 1.

On suppose que 1+26= 0.

Montrer que le barycentre des systèmesf(A1;1);(A2;2)getf(A2;2);(A1;1)gsont confondus. 2.

Soit 2R.

Montrer queGest aussi le barycentre des points pondérés(Ai;i)1in. 3. Dans la suite, le plan Pest muni d"un repère(O;!i ;!j)et l"espaceEest muni d"un repère(O;!i ;!j ;!k). A partir du théorème de réduction d"une somme vectorielle (théorème1), montrer que !OG=1n P i=1 in P i=1 i!OAi. 4. Soit (xi;yi)les coordonnées du pointAi;1inet(xG;yG)celles du pointG. En déduire l"expression des coordonnées deGen fonction des coordonnées des points A i. 5. Soit (xi;yi;zi)les coordonnées du pointAi;1inet(xG;yG;zG)celles deG. En déduire l"expression des coordonnées deGen fonction des coordonnées des points A i.Activité 1. 3

Solution:

1. Désignons par Ile barycentre du systèmef(A1;1);(A2;2)g.

On a :1!IA1+2!IA2=!0,2!IA2+1!IA1=!0.

DoncIest aussi le barycentre du systèmef(A2;2);(A1;1)g.PRENUM-AC11

2.82R;nP

i=1 i!GAi=!0, nP i=1 i!GAi=!0 ,nP i=1 i!GAi=!0. DoncGest le barycentre des points pondérés(Ai;i)1in. 3. D"après ce t héorème,pour tout point Mdu plan ou de l"espace, on a : nP i=1 i!MAi= nP i=1 i!MG.

PourM=O, on obtient :nP

i=1 i!OAi= nP i=1 i!OG, donc!OG=1n P i=1 in P i=1 i!OAi.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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