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Première S 1 F. Laroche

Exercices Barycentre http://laroche.lycee.free.fr

Classes de 1°S

Exercices Geometrie : barycentre

1. Alignement de points

1-1 : Quadrilatère

1-2 : Construction (c)

1-3 : triangle 1

1-4 : triangle 2

1-5 : pentagone

1-6 : parallélogramme

2. Concours de droites

2-7 : Triangle 1

2-8 : Triangle 2

2-9 : Triangle 3

2-10 : Triangle 4

3. Géométrie Vectorielle

3-11 : Parallélogramme

3-12 : Quadrilatère

3-13 : Alignement

4. GMQV O·HVSMŃH

4-14 : Tétraèdre 1

4-15 : Tétraèdre 2

4-16 : Tétraèdre 3

4-17 : Tétraèdre 4

4-18 : Tétraèdre 5 (c)

4-19 : Tétraèdre - 6 (c)

4-20 : Cube 1

4-21 : Cube 2

4-22 : Cube 3

4-23 : Cube coupé

4-24 : Cône

4-25 : Pyramide 1

4-26 : Pyramide 2

5. Lignes de niveau et lieux géométriques

5-27 : Paramètre

5-28 : Carré

5-29 : Triangle rectangle

5-30 : Lignes de niveau - 1

5-31 : Lignes de niveau - 2

5-32 : Lignes de niveau - 3 (c)

5-33 : Ligne de Niveau - 4 (c)

5-34 : Ligne de Niveau - 5

5-35 : Ligne de Niveau - 6

5-36 : Ligne de Niveau - 7

5-37 : Ligne de Niveau - 8

5-38 : Rectangle

5-39 : Produit scalaire

5-40 : Triangle équilatéral 1

5-41 : Triangle équilatéral 2

6. Divers

6-42 : Triangle

6-43 : Parallélogramme

6-44 : Cercle circonscrit

6-45 : Hauteurs - 1 (c)

6-46 : Hauteurs - 2 (c)

6-47 : Bissectrices (c)

1. Alignement de points

1-1 : Quadrilatère

Dans un quadrilatère ABCD, on appelle I le milieu de [AC], J le milieu de [BD] et G le point défini par :

1()2AG BC DCJJJJG JJJG JJJJG

1. Montrer que G est le barycentre de (A, 2), (B ï1 C, 2) et (D ï1B

2. En déduire que les points I, J et G sont alignés.

1-2 : Construction (c)

Soit ABCD un quadrilatère, I le milieu de [AC] et J celui de [BD].

Soit K le point défini par

2KA KBJJJG JJJG

et L celui défini par

2LC LDJJJG JJJG

. M le milieu de [LK].

Le but du problème est de montrer que M, I et J sont alignés et de donner la position de M sur la droite (IJ).

1. Faire une figure.

2. -XVPLILHU O·H[LVPHQŃH GX NMU\ŃHQPUH G de {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1) ; (D, 2)}. En associant les points de

différentes façons, montrer que G appartient aux droites (KL) et (IJ).

3. Montrer que G et M sont confondus, que M est aligné avec I et J puis donner la position de M sur (IJ).

Correction

1. On a

2 2 0KA KB KA KB JJJG JJJG JJJG JJJG G

, soit K barycentre de {(A, 1); (B, 2)} et

2LC LDJJJG JJJG

, soit L barycentre de {(C, 1) ; (D, 2)}.

Première S 2 F. Laroche

Exercices Barycentre http://laroche.lycee.free.fr M L K v=2u=1 JI D C B A

2. G barycentre de {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1) ; (D 2` H[LVPH ŃMU OM VRPPH GHV ŃRHIILŃLHQPV Q·HVP SMV QXOOHB

K barycentre de {(A, 1) ; (B, 2)} et L barycentre de {(C, 1) ; (D, 2)} donc G est le barycentre de

{(K, 3) ; (L, 3)}, G appartient à (KL).

De même G barycentre de {(A, 1) ; (C, 1) ; (B, 2) ; (D, 2)}, soit de {(I, 2) ; (J, 4)}, G appartient à (IJ).

3. G est le barycentre de {(K, 3) ; (L, 3)}, soit le milieu de [KL], G = M ; il est également sur (IJ) et le

barycentre de {(I, 1) ; (J, 2)}.

1-3 : triangle 1

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC]. Soit G le barycentre de (A ï1 % 2 HP F 2B

1. Montrer que G appartient à la droite (AI).

2. Soit H le symétrique de A par rapport à B.Montrer que C, G et H sont alignés.

1-4 : triangle 2

Soit ABC un triangle. On considère :

* le barycentre I de (A ; 2) et (C ; 1) ; * le barycentre J de (A ; 1) et (B ; 2) ; * le barycentre K de (C ; 1) et (B ; ² 4).

1. Montrer que B est le barycentre de (K ; 3) et (C ; 1).

2. En déduire le barycentre de (A ; 2), (K ; 3) et (C ; 1) ;

3. Montrer que J est le milieu de [IK].

1-5 : pentagone

Soit ABCDE un pentagone tel que

BC EDJJJG JJJG

. Les diagonales (BD) et (CE) se coupent en L.

Soit I le milieu de [AB] et J celui de [AE] ; soit K le barycentre de (A, 2), (B, 1), (C, 1), (D, 1) et (E, 1).

1. Démontrer que les points A, K et L sont alignés.

2. Démontrer que

1

3LK LAJJJG JJJG

3. En déduire que le point K est le centre de gravité de ABD et de ACE.

1-6 : parallélogramme

Soit ABCD un parallélogramme, I le milieu de [CD] et E le symétrique de A par rapport à B. Les droites

(AC) et (IB) se coupent en FB IH NXP GH O·H[HUŃLŃH HVP GH PRQPUHU TXH OHV SRLQPV D, F et E sont alignés.

Première S 3 F. Laroche

Exercices Barycentre http://laroche.lycee.free.fr E F I AB CD Soit G le barycentre de (A, 1), (E, 1), (D, 2)et (C, 2).

1. Montrer que G HVP O·LVRNMU\ŃHQPUH GX PULMQJOH BCD. En déduire que les points B, G et I sont alignés.

2. Montrer que les points A, G et C sont alignés. En déduire que les points G et F sont confondus.

3. Démontrer que les points D, F et E sont alignés.

2. Concours de droites

2-7 : Triangle 1

Dans un triangle ABC on définit I le barycentre de (B, 2), (C, 1), J le barycentre de (A, 3), (C, 2) et K le

barycentre de (A, 3) et (B, 4).

1. Faire une figure.

2. En considérant G le barycentre de (A, 3), (B, 4) et (C, 2), montrer que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont

concourantes en G.

2-8 : Triangle 2

Soit ABC un triangle et I, J et K les points définis par :

I est le milieu de [AB] ;

2

3JC JAJJJG JJG

3.BK BCJJJG JJJG

1. Déterminer les coefficients pour lesquels I est le barycentre de (A, a), (B, b), J celui de (A, a· C, c) et K

celui de (B, b· C, c·B

2. Démontrer que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes en G barycentre de (A, 2), (B, 2) et

(C, ï3B

2-9 : Triangle 3

Soit ABC un triangle, D et E les points définis par 1

2DB DAJJJG JJJG

et

2.5CE CBJJJG JJJG

I HVP OH SRLQP G·LQPHUVHŃPLRQ

des droites (AE) et (CD) et F celui des droites (BI) et (AC). On cherche à préciser la position du point F sur (AC).

1. Déterminer les coefficients pour lesquels D est le barycentre de (A, a), (B, b) et E celui de (B, b· C, c·B

2. Préciser les coefficients pour lesquels I est barycentre de (A,

), (B, ) et (C,

3. En déduire la position du point F sur la droite (AC).

2-10 : Triangle 4

Soit ABC un triangle, I le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à C. Les droites (AD) et (BI) se

coupent en G. Enfin, K est lH SRLQP G·LQPHUVHŃPLRQ GH AB) et (CG). On veut prouver que A est le milieu de

[BK].

1. On considère D et I comme barycentres de 2 sommets du triangle ABC munis de coefficients. Préciser ces

coefficients.

2. Déterminer les coefficients pour lesquels G est barycentre de (A,

), (B, ) et (C, ). Conclure.

3. Géométrie Vectorielle

3-11 : Parallélogramme

Exercice 1

Soit I OH ŃHQPUH G·XQ SMUMOOpORJUMPPH QRQ MSOMPL ABCD.

1. Déterminer des coefficients b, c, d pour lesquels I est le barycentre de {(B, b) ; (C, c) ; (D, d)}.

Première S 4 F. Laroche

Exercices Barycentre http://laroche.lycee.free.fr

2. 4XHO HVP O·HQVHPNOH GHV SRLQPV G, barycentres des points A, B, C et D affectés des coefficients

, 2, 1 et 12 où est un réel quelconque ?

3. Préciser la valeur de

pour laquelle G est un point de (AC).

Exercice 2

ABC est un triangle isocèle (AB = AC). E et F sont deux points du segment [BC]. Les parallèles à (AB)

menées par E et F coupent (AC) en G et H respectivement. Les parallèles à (AC) menées par E et F coupent

(AB) en I et J respectivement.

1. Montrer que GH = IJ.

2. Quelle condition doivent vérifier E et F pour que (JG) et (IH) soient parallèles ?

Exercice 3

Soit ABCD un parallélogramme. On appelle E le barycentre de (A, 2) et (B, 1), F celui de (B, 2) et (C, 1), G

celui de (C, 2) et (D, 1) et H celui de (D, 2) et (A, 1). Faire une figure et montrer que EFGH est un parallélogramme.

Exercice 4 (c)

Soit I OH ŃHQPUH G·XQ SMUMOOpORJUMPPH QRQ MSOMPL ABCD.

1. Déterminer des coefficients b, c, d pour lesquels I est le barycentre de {(B, b) ; (C, c) ; (D, d)}.

2. 4XHO HVP O·HQVHPNOH GHV SRLQPV G, barycentres des points A, B, C et D affectés des coefficients

, 2, 1 et 12 où est un réel quelconque ?

3. Préciser la valeur de

pour laquelle G est un point de (AC).

Correction

Soit I OH ŃHQPUH G·XQ SMUMOOpORJUMPPH QRQ MSOMPL ABCD.

1. Comme I est le milieu de [BD], C ne compte pas et on prend I le barycentre de {(B, 1) ; (C, 0) ; (D, 1)}

2. Ecrivons la relation

2 ( 1) (1 2 ) 0GA GB GC GD JJJG JJJG JJJJG JJJJG G

et introduisons un des points partout, par exemple A :

2 2 ( 1) ( 1) (1 2 ) (1 2 ) 0GA GA AB GA AC GA AD JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG G

, soit

1( 2 1 1 2 ) 2 ( 1) (1 2 ) 2 22

12 ( 2 ).22

GA AB AC AD AG AB AC AC AD AD

AG AB CD AC AD

O JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG

JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG

Le choix de A Q·pPMLP YLVLNOHPHQP SMV OH SOXV PMOLQ" HP OM SUHPLqUH TXHVPLRQ SHXP VXJJpUHU GH SUHQGUH I. En

PRXV ŃMV LO VHPNOH TX·LO IMLOOH MNRXPLU j TXHOTXH ŃORVH GX VP\OH

KG u JJJJG G

où uG est fixe. Appelons uG le vecteur

1( 2 )2AC ADJJJG JJJJG

et introduisons K (inconnu) : 1

2AK KG AB CD u JJJG JJJJG JJJG JJJG G

G·RZ HQ ŃORLVLVVMQP K tel que

1

2AK AB CDJJJG JJJG JJJG

, on a

KG u JJJJG G

Ń·HVP-à-dire la droite passant par K et de vecteur directeur uG . En fait le point K est bêtement le milieu de [AB].

Première S 5 F. Laroche

Exercices Barycentre http://laroche.lycee.free.fr DA AI I K DC BA

2Q SHXP PUMLPHU O·H[HUŃLŃH HQ ŃORLVLVVMQP XQ UHSqUe : A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(1 ; 1) et D(1 ; 1 G·RZ RQ PLUH OHV

coordonnées de G :

1 1 1 1.0 2.1 ( 1).1 (1 2 ).0 12 2 2 2

1 1 1.0 2.0 ( 1).1 (1 2 ).12 2 2

x y

O O O O O

ŃHŃL ŃRUUHVSRQG MX[ pTXMPLRQV SMUMPpPULTXHV G·XQH GURLPH SMVVMQP SMU K(1/2 ; 0) et de vecteur directeur

1/2

1/2u quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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