Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
Définition : Soit (O ; u ; v) un repère orthonormé direct et z un nombre complexe de forme algébrique z = a + ib. — Le point M (a ; b) est appelé image de z
Première STI 2D - Nombres complexes - Forme algébrique
Nombres complexes. Forme algébrique. I) Forme algébrique d'un nombre complexe. 1) Définitions. • On admet l'existence d'un nombre noté.
NOMBRES COMPLEXES (Partie 1)
Définition : On appelle forme algébrique d'un nombre complexe l'écriture. = + avec et réels. Vocabulaire : Le nombre s'appelle la partie
NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION. Tous les nombres positifs ont une racine b) Conjugué. Définition. Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib.
Nombres complexes : forme algébrique
V Forme trigonométrique d'un nombre complexe L'écriture z = x +iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du ... Vocabulaire et définitions :.
Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau
I. Forme algébrique d'un nombre complexe. 1. Théorème et définition Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique deux nombres complexes.
5 Nombres Complexes
Définition 3 (Partie réelle partie imaginaire et forme algébrique). Soit z = a + ib ? C. La forme algébrique d'un nombre complexe est unique.
I. Forme algébrique et représentation dun nombre complexe
I. Forme algébrique et représentation d'un nombre complexe. 1. Définition et vocabulaire. Théorème. Il existe un ensemble noté ? appelé ensemble
Chapitre 2 - Les nombres complexes I : première approche et lien
Définition-théorème 1 - Ensemble C des nombres complexes forme L'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe est utilisée fréquemment pour des.
NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
I. DEFINITIONS D'UN NOMBRE COMPLEXE. 1. Forme algébrique. Soient x et y deux nombres réels et soit j un nombre appelé "imaginaire" tel que j2 = -1.
[PDF] Nombres complexes : forme algébrique
Définition : Remarque : un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Définition : Soit un nombre complexe z L'écriture z = a + ib où a et b sont des réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z
[PDF] Nombres complexes 1 Définition 2 Forme algébrique
2 Forme algébrique 2 1 Définition représentation géométrique Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme z = a + ib a et b étant
[PDF] Nombres complexes - Forme algébrique - Parfenoff org
On appelle alors nombre complexe tout nombre de la forme où et sont deux nombres réels • Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe
[PDF] NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 1/2 - maths et tiques
Définition : On appelle forme algébrique d'un nombre complexe l'écriture = + avec et réels Vocabulaire : Le nombre s'appelle la partie
[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 1) - maths et tiques
Définition : Il existe un ensemble de nombres noté ! appelé ensemble des L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z
[PDF] NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
I DEFINITIONS D'UN NOMBRE COMPLEXE 1 Forme algébrique 2 Représentation graphique 3 Forme polaire 4 Forme trigonométrique
[PDF] Les nombres complexes
Tout nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme dite algèbrique : z = a + ib où a et b sont des réels Définitions
[PDF] 1 Forme algébrique dun nombre complexe - Case des Maths
Définition 1 L'ensemble des nombres complexes est noté : C Chaque élément z de l'ensemble C s'écrit sous forme algébrique de manière unique z = a + ib
C'est quoi la forme algébrique ?
L'écriture x+iy x + i y , où x?R et y?R x ? R et y ? R , d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique du nombre complexe z .Comment comparer deux nombres complexes ?
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Le conjugué de z est le complexe ¯z défini par ¯z = a ? ib. On utilise fréquemment les propriétés z = ¯z ? z ? R, et z = ?¯z ? z ? iR (c'est `a dire z imaginaire pur).Comment déterminer l'ensemble des nombres complexes ?
On désigne par ? l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ? tel que i 2 = ?1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ? ? et b ? ?.- Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ? a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z. Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Forme trigonométrique
d"un nombre complexe - ApplicationsChristophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2019/2020Table des matières
1 Représentation géométrique d"un nombre complexe
21.1 Rappels : affixe d"un point
21.2 Affixe d"un vecteur
32 Forme trigonométrique3
2.1 Argument d"un nombre complexe non nul
32.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nul
52.3 Égalité de deux nombres complexes
62.4 Cas d"un produit ou d"un quotient
63 Forme exponentielle7
4 Applications géométriques des nombres complexes
74.1 Distances et angles orientés
74.2 Caractérisation des cercles et des médiatrices
84.3 Pour aller plus loin...
8Table des figures
1 Interprétation géométrique
22 Argument d"un nombre complexe
43 Module et argument de l"opposé et du conjugué
44 Forme trigonométrique d"un nombre complexe
55 Triangle rectangle isocèle direct
96 Triangle équilatéral
9 ?Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
11 REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE D"UN NOMBRE COMPLEXE
1 Représentation géométrique d"un nombre complexe
1.1 Rappels : affixe d"un pointDéfinition :Soit(O;?u;?v)un repère orthonormé direct etzun nombre complexe de forme algébrique
z=a+ib. Le p ointM(a;b)est appeléimage de z. (voir figure1 )On dit que Ma pouraffixe z.
La distance OMest appeléemo dulede z. On note|z|=OM.Figure1 - Interprétation géométrique Conséquences :1.L"ensem bledes nom bresréels est représen tépar l"axe des abscisses. L"ensemble des imaginaires purs est représenté par l"axe des ordonnés. 2.On a |z|=⎷a
2+b2.3.|z|= 0si et seulement siz= 0.Propriété :Soitz?C.
On a :
|z|2=zzDémonstration :
On notez=a+ibla forme algébrique du complexez.
zz= (a+ib)(a-ib) =a2-(ib)2=a2+b2=|z|2Propriété :Affixe du milieu d"un segmentSoitAetBdeux points d"affixes respectiveszAetzB.
On noteIle milieu du segment[AB].
Alors, l"affixe deIest :
zI=zA+zB2
Exercice :Démontrer cette propriété à l"aide des coordonnées du milieu d"un segment. 22 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 1.2 Affixe d"un vecteur
1.2 Affixe d"un vecteur
Définition :Soit-→wun vecteur de coordonnées?a b?On appelle
affixe de -→wle complexez=a+ib.Propriété 1 :SoientAetBdeux points d"affixes respectiveszAetzB. Alors, le vecteur--→ABa comme affixezB-zA.Démonstration : SizA=xA+iyAetzB=xB+iyB(formes algébriques), alorsA(xA;yA)etB(xB;yB).Les coordonnées du vecteur
--→ABsont donc?xB-xA y B-yA? . Par suite, son affixe est : z= (xB-xA) +i(yB-yA) = (xB+iyB)-(xA+iyA) =zB-zA Remarques :Il découle facilement des règle de calcul sur les coordonnées de vecteurs que : 1. Deux v ecteursson tégaux si et seuleme ntsi leurs affixes son tégales 2. Si -→wet-→w?sont deux vecteurs d"affixes respectiveszetz?etkun réel : l"affixe de -→w+-→w?estz+z?; l"affixe de k-→westkz. 3.On p eutdonc utiliser les affixes p ourdéterminer une colinéarité de v ecteurs,don cp ourd éterminer
un parallélisme ou un alignement. Exercices :66, 67, 70 page 2541- 68, 69 page 2542[TransMath]2 Forme trigonométrique d"un nombre complexe non nul
2.1 Argument d"un nombre complexe non nulDéfinition :Soitzun nombre complexenon n ulet Mle point d"affixez(voir figure2 ).
On appelle
argumen t de ztoute mesure en radians de l"angle? ?u;--→OM? . On le notearg(z). il est définià2kπprès (k?Z).
On a donc :
arg(z) =? ?u;--→OM? [2π]Remarques :1.Si zest un réel, c"est-à-direz=a: si a >0,|z|=aetarg(z) = 0 si a <0,|z|=-aetarg(z) =π 2.Si zest un imaginaire pur, c"est-à-direz=ib:
si b >0,|z|=betarg(z) =π2 si b <0,|z|=-betarg(z) =-π2 Propriété :Module et argument de l"opposé et du conjugué Soitzun complexe non nul etM1,M2,M3etM4les points d"affixes respectivesz,z,-zet-z. Par des considérations géométriques simples sur la figure 3 , on obtient : |z|=|z|=|-z|=|-z| arg(z) =-arg(z) [2π] arg(-z) =π+ arg(z) [2π] arg(-z) =π-arg(z) [2π]1. Affixe d"un point, d"un vecteur.2. Ensembles de points
32.1 Argument d"un nombre complexe non nul 2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE
Figure2 - Argument d"un nombre complexeFigure3 - Module et argument de l"opposé et du conjugué 42 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nul
Exercices :72, 73, 74 page 2543[TransMath]
2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nulThéorème - Définition :Tout nombre complexe non nulzs"écrit sous la forme suivante :
z=r(cos(θ) +isin(θ))avecr=|z|etθ= arg(z) [2π]Cette forme est appelée
for metrigonométrique du complexe z.Démonstration :On noteMle point d"affixez,r=OMetθ=?
?u;--→OM? [2π]. La demi-droite[OM)coupe le cercle trigonométrique en un pointA(voir figure4 ).Les coordonnées deAsont(cos(θ) ; sin(θ))et, comme--→OM=r-→OA, les coordonnées deMsont
(rcos(θ) ;rsin(θ)).L"affixe deMest donc :
z=r(cos(θ) +isin(θ))Figure4 - Forme trigonométrique d"un nombre complexeExercice :22 page 2444[TransMath]Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique :Soitzun complexe non nul de forme al-
gébriquez=a+ibet de forme trigonométriquez=r(cosθ+isinθ). Alors :Si l"on c onnaîtretθ:?
a=rcosθ b=rsinθSi l"on c onnaîtaetb:
r=|z|=?a2+b2et?
cosθ=ar sinθ=brExemple :Soitz=⎷3-i.
r=???⎷3-i???=?? ⎷32+ (-1)2=⎷3 + 1 =
⎷4 = 2 cosθ=⎷3 2 sinθ=-12On a doncarg(z) =θ=-π6
[2π]. Exercices :20 page 244 et 77 page 2555- 90 page 2566[TransMath]3. Argument d"un nombre complexe.4. Forme trigonométrique d"un complexe non nul.
5. Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique.
6. Ensembles de points.
52.3 Égalité de deux nombres complexes 2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE
2.3 Égalité de deux nombres complexes
Propriété :Égalité de deux complexes
Les complexesz=r(cosθ+isinθ)etz?=r?(cosθ?+isinθ?)avecr >0etr?>0sontégaux si et seulement si : r=r?θ=θ?[2π]Remarque :Attention!L"h ypothèser >0est essentielle pour obtenir la forme trigonométrique d"un
nombre complexe. Exemples :Donner la forme trigonométrique des complexesz1=-3?cos?π4 ?+isin?π4 ??etz2= 2?cos?π6 ?-isin?π6 La forme d onnéep ourz1n"est pas une forme trigonométrique :z1=-3?cos?π4 ?+isin?π4On a :z1= 3?-cos?π4
?-isin?π4 ??avec? cos?5π4 ?=-cos?π4 sin ?5π4 ?=-sin?π4 La forme trigonométrique dez1est donc :z1= 3?cos?5π4 ?+isin?5π4 ??, c"est-à-dire|z1|= 3et arg(z1) =5π4 [2π]. La forme d onnéep ourz2n"est pas une forme trigonométrique :z2= 2?cos?π6 ?-isin?π6On a :z2= 2?cos?π6
?+i?-sin?π6 ???avec? cos?-π6 ?= cos?π6 sin ?-π6 ?=-sin?π6 La forme trigonométrique dez2est donc :z2= 2?cos?-π6 ?+isin?-π6 ??, c"est-à-dire|z2|= 2et arg(z2) =-π6 [2π].Exercice :78 page 2557[TransMath]
2.4 Cas d"un produit ou d"un quotientPropriété :Module et argument d"un produit et d"un quotient
Soientzetz?deux nombres complexes non nuls. On a : |zz?|=|z| × |z?|etarg(zz?) =arg(z) + arg(z?) [2π]???zz ????=|z||z?|etarg?zz arg(z)-arg(z?) [2π]Démonstration (partielle) : On notez=r(cosθ+isinθ)etz?=r?(cosθ?+isinθ?)les formes trigonométriques dezet dez?.On a donc :?
|z|=r arg(z) =θ[2π]et? |z?|=r? arg(z?) =θ?[2π]De plus :
zz =rr?[(cosθcosθ?-sinθsinθ?) +i(cosθsinθ?+ sinθcosθ?)] =rr?[cos(θ+θ?) +isin(θ+θ?)] Donc, d"après l"unicité de la forme trigonométrique : |zz?|=rr? arg(zz?) =θ+θ?[2π] Exercice :En suivant un raisonnement analogue, montrer la deuxième partie de la propriété. Remarques :1.Si nest un entier naturel non nul etzun complexe non nul : |zn|=|z|netarg(zn) =narg(z) [2π]7. Détermination de formes trigonométriques. 64 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES
2.Si zun complexe non nul :????1z
???=1|z|etarg?1z =-arg(z) [2π] Exercices :76 page 254; 79, 80, 81 page 2558- 99, 101 page 2579- [TransMath]3 Forme exponentielle d"un complexe non nulDéfinition :Pour toutθ?R, on note :
e iθ= cosθ+isinθRemarque :" eiθ» se lit " exponentielle deiθ».Exemples :
ei0= 1eiπ2 =ieiπ=-1e-iπ2 =-ieiπ4 =⎷2 2 +i⎷2 2Propriété :Soientθetθ?deux réels.
e iθeiθeiθ?=ei(θ-θ?)Remarques :1.La démonstration de cette pr opriétéest la même que celle du 2.4 , en prenantr=r?= 1.
2.On retrouv eles propriétés " classiques » de l"exp onentielle,ce qui justifi een partie la notation.
3. L"exp onentiellecomplexe se man ipulecomme une puissance, ce qui rend les calcu lssur les argumen ts plus faciles.Propriété 2 :Formule deMoivreSoitθun réel etnun entier naturel. On a :
?eiθ?n=einθRemarque :1.C"est une conséquence directe de la Propriété 1. Ce résultat se montre par récurrence
surn. 2.On a don c:
(cos(θ) +isin(θ))n= cos(nθ) +isin(nθ)Propriété :Soientθetθ?deux réels. eiθ=eiθ?équivaut àθ=θ?[2π].Définition :Tout nombre complexeznon nul, dont un argument estθ, peut s"écrire sous la
forme :z=|z|eiθ;Cette écriture est appelée
forme exp onentielledu complexe z.Remarque :En particulier, tous les complexes de module1admettent une écriture de la forme eiθ.
Exercices :23 page 245 et 83 page 25510- 24 page 24511- 25 page 245et 84, 85, 87 page 25512- 88 page 25513[TransMath]
4 Applications géométriques des nombres complexes
4.1 Distances et angles orientésThéorème :SoientA,B,CetDquatre points d"affixes respectiveszA,zB,zCetzD.
1.AB=|zB-zA|
2.Si zA?=zB,?-→u;--→AB?
= arg(zB-zA)8. Module et argument d"un produit ou d"un quotient.9. Un ensemble de points.
10. Forme exponentielle.
11. Retrouver le module et l"argument.
12. Produits et quotients.
13. Retrouver les formules de trigonométrie.
74.2 Caractérisation des cercles et des médiatrices4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES
Démonstration :
On supposera queAetBne sont pas confondus (c"est-à-direzA?=zB). SoitMle point tel que--→OM=--→AB. L"affixe deMestzB-zA.
Par définition de la forme trigonométrique des nombres complexes, on a :?OM=|zB-zA|?-→u;--→OM?
= arg(zB-zA).Par suite :AB=OM=|zB-zA|et?-→u;--→AB?
=?-→u;--→OM? = arg (zB-zA). Exercices :26, 27 page 246 et 91, 92 page 25614- 89 page 25615- 28 page 246 et 111 page 26016TransMath
4.2 Caractérisation des cercles et des médiatricesPropriété 1 :SoitCle cercle de centreΩd"affixeωet de rayonR.
Le pointMd"affixezest sur lecercl eCsi et seulement si|z-ω|=R.Démonstration :M? C ??ΩM=R?? |z-ω|=R
Remarque :|z-ω|=Rsi et seulement si il existeθ?Rtel quez-ω=Reiθ, c"est-à-direz=ω+Reiθ.Propriété 2 :Équation paramétrique complexe d"un cercle
SoitCle cercle de centreΩd"affixeωet de rayonR.Le pointMd"affixezest sur lecercl eCsi et seulement si il existeθ?Rtel quez=ω+Reiθ.Propriété 3 :SoientAetBdeux points d"affixes respectivesaetb. On noteΔlamédiatrice de [AB].
Le pointMd"affixezest surΔsi et seulement si|z-a|=|z-b|.Démonstration : M?Δ??Méquisistantde Aetde B??AM=BM?? |z-a|=|z-b| Exercices :93, 94, 96, 97 page 25617- 109, 110 page 26018[TransMath]4.3 Pour aller plus loin...
Module :Exercice 38 page 25119[TransMath]Théorème :SoientA,B,CetDquatre points d"affixes respectiveszA,zB,zCetzD.
SizA?=zBetzC?=zD:?--→AB;--→CD?
= arg?zD-zCzB-zA?Démonstration :
SiCetDne sont pas confondus (c"est-à-direzC?=zD) : ?--→AB;--→CD? =?--→AB;-→u? +?-→u;--→CD? ?-→u;--→CD? -?-→u;--→AB? arg (zD-zC)-arg(zB-zA) arg ?zD-zCzB-zA?14. Nature de polygones.
15. Points alignés.
16. Application géométrique des nombres complexes.
17. Ensembles de points.
18. Type BAC.
19. Utiliser l"affixe d"un vecteur.
84 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 4.3 Pour aller plus loin...
Remarques :1.Les p ointsA,BetCsontalignés si et seuleme ntsi arg?z C-zAz B-zA? = 0 [π](c"est-à-dire z C-zAzB-zAréel).
2. Les droites (AB)et(CD)sontp erpendiculairessi et seuleme ntsi arg?z D-zCz B-zA? π2 [π](c"est-à-dire z D-zCzB-zAimaginaire pur).
Un cas particulier important :SiA,BetMsont trois points distincts d"affixes respectivesa,betz, alors?--→MA;--→MB? = arg? b-za-z? . Or, b-za-z=z-bz-adonc : --→MA;--→MB? = arg?z-bz-a? Remarque :Cette relation est utilisée pour déterminer des ensembles de points.Applications :Triangles particuliers
Dans la suite,A,BetCdésignent trois points d"abscisses respectiveszA,zBetzC.1.Triangle rectangle rectangle isocèle direct(voir figure5 )Figure5 - Triangle rectangle isocèle direct
ABCtrianglerectangle iso cèledirect en A??zC-zAzB-zA=i
2.Triangle équilatéral(voir figure6 )Figure6 - Triangle équilatéral
ABCtriangleéquilatéral direct ??zC-zAz
B-zA=eiπ3
Exercices :102 page 25720- 123 page 26321[TransMath]20. Restitution organisée des connaissances.21. Nombres complexes et géométrie.
9 [TransMath] transMA THT ermS, p rogramme2012 ( Nathan) 3 5 6 7 8 9 10quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] cours nombres complexes 1sti2d
[PDF] droite linéaire
[PDF] exercice nombre relatif pdf
[PDF] application bilinéaire exercices corrigés
[PDF] écrire en portugais
[PDF] comment traduire un mail sur gmail
[PDF] verbe écrire en portugais
[PDF] gmail correcteur orthographique anglais
[PDF] gmail en français internet
[PDF] traduction gmail android
[PDF] changer langue correcteur gmail
[PDF] alphabet portugais clavier
[PDF] forme canonique en ligne
[PDF] classification des nombres