[PDF] Chapitre 2 - Les nombres complexes I : première approche et lien

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Les nombres complexes I :

première approche et lien avec la géométrie 2022-2023Chapitre 2 - Les nombres complexes I : première approche et lien avec la géométrie

Ce chapitre inroduit l"ensembleCdes nombres complexes, les principales règles de calculs autour des nombres

complexes, ainsi que leurs interprétations géométriques.

Nos objectifs :

•Manipuler algébriquement des nombres complexes à partir de leur forme algébrique. Calculer le conjugué, le

module et l"inverse d"un nombre complexe.

•Comprendre le lien entre un nombre complexezet le point du plan qui azpour affixe, en particulier intepréter

les parties réelles et imaginaires, le conjugué et le module géométriquement.

•Etablir des liens entre la forme trigonométrique (aussi appelée exponentielle) et algébrique d"un nombre complexe.

Manipuler des formes exponentielles. Déterminer un argument d"un nombre complexe et comprendre les règles

de calculs associées.

•Mettre en relation des transformations du plans (rotation, translation) et des calculs de nombres complexes.

Décrire des lieux géométrique à partir d"équations surC. 1

L"ensemble Cdes nombres complexes

1.1

Définition Définition-théorème 1- Ensemble Cdes nombres complexes, forme algébrique, parties réelle et imaginaire.

•On admet qu"il existe un ensemble de nombres, notéC, qui contient l"ensemble des nombres réelsRet vérifie

les propriétés suivantes :

1.Ccontient un nombreitel quei2 1.2.T outnom brecomplexe zs"écrit d"une et une seule manière sous la forme ditealgébrique:

z=a+ibavecaPRetbPR:

Le réelaest appelé lapartie réelle dezet notéRepzq, le réelbest appelé lapartie imaginaire dezet

notéImpzq. 3.

L"ensem bleCest muni d"une opération d"addition (et de soustraction), et d"une opération de multipli-

cation, qui généralisent celles que nous connaissons surR.

•Les réels sont exactement les nombres complexes de partie imaginaire nulle. Enfin, un nombre complexe de

partie réelle nulle est ditimaginaire pur. L"ensemble des nombres complexes imaginaires purs est notéiR.Exemple 2

•Pour le nombre complexez124i, donnerRepzqetImpzq. •SoitaPR, etzai. Calculerz2, donner sa partie réelle et sa partie imaginaire. •Montrer quep1iq2est imaginaire pur.

.En pratique.L"unicité de la forme algébrique d"un nombre complexe est utilisée fréquemment pour des

identifications. Elle permet, face à une égalitéaiba1ib1, d"écrireaa1etbb1. En résumé :Uneégalité

de nombres complexesDeuxégalités de nombres réelsN.Popoff- Lycée les Euc alyptus1 PTSI

Les nombres complexes I :

première approche et lien avec la géométrie 2022-2023Les opérations dansCobéissent aux mêmes règles de calcul que dansR: l"addition et la multiplication sont associatives

et commutatives et la multiplication est distributive par rapport à l"addition.Attention !En général :Repzz1q RepzqRepz1qetImpzz1q ImpzqImpz1q.

En particulier :Rez2Repzq2etImz2Impzq2.En revanche,

@zPC;@aPR;Repazq aRepzqetImpazq aImpzq:Attention !Les inégalités n"ont aucun sens surC.Il s"agit là d"une différence essentielle entreRetC. En outre, pourzPC, lorsquez2PR, on peut avoirz2 0! Par

exemple,i2 1.Définition 3- Affixe, image. On munit le plan d"un repère orthonormal directpO;~i;~jq.

•SoitzxiyPC, avecx;yPR. Le pointMdu plan de coordonnéespx;yq est appelé l"image deztandis quezest appelé l"affixe deM. On dit aussi que zest l"affixedu vecteur du plan de coordonnéespx;yq.~ i~ jOImpzqRepzqz •Règles de calcul sur les affixes : 1. P ourtous v ecteurs~uet~vdu plan d"affixes respectifszetz1et pour tous scalaires;PR, le vecteur ~u~va pour affixezz1. 2.

P ourtous p ointsAetBdu plan d"affixes respectifsaetb, le vecteurÝÝÑABa pour affixeba.Au fond, les notions de point, vecteur, coordonnées et nombre complexe sont équivalentes. Ainsi, en pratique, on

s"autorisera parfois à confondre ces objets. On verra au paragraphe 2.4 que cette in terprétationdes nom brescomplexes comme points ou vecteurs du plan sera particulièrement féconde. Exemple 4Pour tousz;z1PC, montrer que le milieu du segment joignantzetz1a pour affixezz12 1.2 Conjugué et module d"un nomb recomplexe Définition 5- Conjugué, mo dule.SoitzPC. •On appelleconjugué dezle nombre complexezRepzq iImpzq. L"image dezest le symétrique de celle dezpar rapport à l"axepOxq. •On appellemodule dezle réel positif ou nuljzjaRepzq2Impzq2. Ce nombre est la distance euclidienne entre l"image dezet l"origineO.ImpzqRepzqImpzqz zjzjExemple 6Calculer les quantités suivantes :

1.22i,2.4iet2,3.j12ij.

Remarque 7

•Module et valeur absolue coïncident surR, puisque, pour toutxPR,jxj?x

2, ce qui garantit que cette

notation commune n"est pas source d"ambiguïté.

•De par sa définition, le modulejzjs"interprète comme la norme du vecteur d"affixez. Ainsi, pour tousa;bPC

d"imagesA;B, le modulejabjn"est autre que la distanceAB. Il en découle que, pour toutr¡0, l"ensembletzPC|jzajruest le cercle de centreaet de rayonr;

l"ensembletzPC|jzaj ruest le disque ouvert de centreaet de rayonr.N.Popoff- Lycée les Euc alyptus2

PTSI

Les nombres complexes I :

première approche et lien avec la géométrie 2022-2023Exemple 8Déterminer et représenter les ensembles de nombres complexeszqui vérifient :

1.

On a zz |z|2,

2. Si zxiy0, alorszpossède un unique inverse, noté1z , qui est donné par 1z z |z|2xx

2y2iyx

2y2:En particulier, cela permet de retrouver la propriété bien connue chez les réels :

zz

10ðñz0ouz10:

Exemple 10Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique : 1. 1i .2.1i1i.Théorème 11- Prop riétésdu conjugué. Pour tousz;z1PCetnPZ, (i)Repzq zz 2 .(ii)Impzq zz

2i.(iii)zz.

(iv)zPRðñzz.(v)zPiRðñz z. (vi)zz1zz

1.(vii)zz

1zz

1.(viii)siz10,

zz 1 z z

1.(ix)z

nz n.Démonstration.Exercices. Exemple 12Simplifiez les expressions suivantes en trouvant leur forme algébriques :

1.p3iqp58iq,2.

1i1i 2 .Théorème 13- Prop riétésdu mo dule.Pour tousz;z1PCetnPZ, •Propriétés algébriques :jzjjzj,jzj0ðñz0. jzz1jjzjjz1j,jznjjzjnet siz10,zz

1jzjjz1j.

1zz1pqest une égalité si et seulement sizetz1sont, comme vecteurs, colinéairesde même sens.Démonstration.On se contente ici de démontrer l"inégalité triangulaire et sa version généralisée. Les autres propriétés

sont laissées en exercices. •Inégalité triangulaire. PTSI

Les nombres complexes I :

première approche et lien avec la géométrie 2022-2023ðñjzj2zz 1zz zz 1zz 12

ðñRepzz

1:

Or cette dernière inégalité est vraie.

•Cas d"égalité.D"après les équivalences précédentes, zz1jzjz1ðñRepzz 1q zz

1ðñzz

1PR; auquel cas siz10,zetz1sont naturellement colinéaires de même sens; siz10, alorszz

1PRðñzz

1jz 1j2zz

1PR, ce qui exprime bien quezetz1sont colinéaires

de même sens. à partir de celle surjzz1jpar simple substitution dez1parz1.

Exemple 14Déterminez les modules suivants :

1.jp3iqp58iqj2.1i1i

Exercice 15Déterminer les complexeszpour lesquels 1.

2ziz2iPR.2.2ziz2i

1. 2

Nomb rescomplexes et géométrie

2.1

Nomb rescomplexes de module 1 et fo rmetrigonométrique Définition 16- Ensemble Udes nombres complexes de module 1.On noteUle sous-ensembletzPC|jzj1u

deC, qui s"identifie géométriquement au cercle trigonométrique de centre0et de rayon1.Définition 17- " Exp onentiellei».Pour toutPR, on appelleexponentielle (de)i, notéeei, le nombre

complexe e icosisin:La notationei, qui cache un cosinus et un sinus, n"est qu"une notation.ein"est pas "eà la puissancei», ce qui n"a aucun sens (pour nous). Le choix de cette notation se justifie par le compor- tement similaire à une exponentielle classique de l"" exponentielle i», qui transforme les sommes en produits (cf. théorème20 ). En réalité, une notion unique d"exponentielle se cache derrière l"expo- nentielle réelle et l"" exponentiellei», mais celle-ci sort du cadre de ce cours.e i0ei21e i6 ?3i2e i4 1i?2e i3 1i?3 2e i2 ie i34 1i?2 e iei1e i2 iN.Popoff- Lycée les Euc alyptus4 PTSI

Les nombres complexes I :

première approche et lien avec la géométrie 2022-2023Théorème 18- P aramétrisationde Upar l"" exponentiellei».

•Pour toutzPC,zPUðñ DPR; zei. En résumé,U ei( PR. •Pour tous;1PR,eiei1ðñ1r2s.1i Ue i

Démonstration.Il s"agit d"une autre manière de dire que tout point du cercle trigonométrique a des coordonnées de la

formepcos;sinq, donc un affixe de la formeei- avec unicité demodulo2.

Exemple 19

Pour toutPR;ei1ðñeiei0ðñ0r2s ðñP t2k;kPZu; eteiiðñeiei2

ðñ2

r2s ðñPP t2

2k;kPZu:Théorème 20- Prop riétésalgéb riquesde l"" exp onentiellei».Pour tous;1PRetnPZ,

(i)

Conjugaison. e

iei1e i. (ii)

Fo rmulesd"Euler

:.coseiei2 etsineiei2i. (iii) Transfo rmationdes sommes en p roduits.eip1qeiei1. (iv)

Fo rmulede Moivre . pcosisinqncospnq isinpnq.Notez que la première formule est liée à la propriété suivante :

zPUðñz1z 2.2

F ormestrigonométriques

La définition suivante repose intégralement sur le fait que, pour toutzPCnon nul,zjzj

1,i.e.zjzjPU.Définition-théorème 21- Argument(s) et fo rmestrigonométriques.

Toute nombre complexenon nulzpeut être écrit sous la forme

z |z|ei |z|pcosisinq;avecPR, ditesforme exponentielleou encoreforme trigonométrique. Le réel, appeléun

argument dez, est unique à2près seulement. Précisément, l"ensemble des arguments dezestt2k;kPZu. Il existe toutefois un et un seul argument dezdanss ;set celui-ci est appelél"argument (principal) dezet notéargpzq.Orz

Attention !0n"a pas de forme trigonométrique et donc pas d"argument.:. Leonhard Euler (1707 à Bâle - 1783 à Saint-Pétersbourg) est un mathématicien et physicien suisse. Ses travaux mathématiques ont

aussi bien touché au calcul infinitésimal qu"à la théorie des graphes. On lui doit notamment la notationfpxqpour les fonctions. On peut

considérer qu"il s"agit du père des mathématiques modernes, et peut-être un des plus importants mathématiciensN.Popoff- Lycée les Euc alyptus5

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Les nombres complexes I :

première approche et lien avec la géométrie 2022-2023Remarque 22Un argument d"un nombre complexe non nulzd"imageMn"est rien d"autre qu"une mesure de

l"angle orienté ~u;ÝÝÑOM

Exemple 23Les formes trigonométriques des réels et des imaginaires purs ne doivent pas vous choquer :

1ei0;1ei;etiei2

.En pratique.Laforme trigonométriques"impose dans les cas où interviennent des produits (et des quotients),

ou des puissances entières de nombres complexes non nuls. On a, en effet, via les propriétés de l"" exponentiellei» :

r

1ei1:::rneinr1:::rneip1:::nqetreinrnein;avecnPZ:Corollaire 24- Prop riétésdes a rguments.Pour tousz;z1PCnon nulsetnPZ,

(i)argpzz1q argpzq argpz1q r2s.(ii)argpznq nargpzq r2s. (iii)arg1z argpzq r2s.(iv)argpzq argpzq r2s.Démonstration....

Exemple 25Mettre le nombre complexe1i1i?3

sous forme trigonométrique.Théorème 26- Lien entre la fo rmealgéb riqueet les fo rmestrigonométriques. SoitzPCnon nulde forme

algébriquezxiyet de forme trigonométriquezrei. (i) Exp ressionsde la fo rmealgéb riqueà pa rtird"une fo rmetrigonométrique : xrcosetyrsin: (ii) Exp ressionsd"une fo rmetrigonométrique à pa rtirde l afo rmealgéb rique: rax

2y2et"cosxr

sinyr

On aurait pu appeler ce théorème " Lien entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires ». Notez qu"on peut

aussi retenir que lorsquex0, l"argument vérifietanyx , ce qui nous donnera une expression deavec la fonction

Arctand"ici quelques chapitres.

Démonstration....

.En pratique.(Technique de l"angle moitié) La technique de l"angle moitié consiste à écrire les complexes

de la formeeixeiysous forme " trigonométrique ». Cette technique permet de factoriser des expressions en sinus et

cosinus. L"idée, simple, est la suivante :@x;yPR;eixeiyeipxyq2 eipxyq2 eipxyq2

2eipxyq2

cosxy2 .Mise en facteur de l"angle moitiéxy2

.En réalité, le résultat obtenu n"est pas nécessairement la forme trigonométrique deeixeiy, puisquecosxy2

peut

être négatif, mais nous en sommes proche. Cette technique s"adapte évidemment au cas des complexes de la forme

e ixeiy.

Exemple 27PourxPR, factoriser1eixet1eix. En déduire leurs modules et leurs arguments selon la valeur

dex. Retrouver les résultats en passant par la forme algébrique.N.Popoff- Lycée les Euc alyptus6

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Les nombres complexes I :

première approche et lien avec la géométrie 2022-2023Exemple 28Pour tousx;yPR, (re)démontrer quesinxsiny2cosxy2

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