Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
Définition : Soit (O ; u ; v) un repère orthonormé direct et z un nombre complexe de forme algébrique z = a + ib. — Le point M (a ; b) est appelé image de z
Première STI 2D - Nombres complexes - Forme algébrique
Nombres complexes. Forme algébrique. I) Forme algébrique d'un nombre complexe. 1) Définitions. • On admet l'existence d'un nombre noté.
NOMBRES COMPLEXES (Partie 1)
Définition : On appelle forme algébrique d'un nombre complexe l'écriture. = + avec et réels. Vocabulaire : Le nombre s'appelle la partie
NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION. Tous les nombres positifs ont une racine b) Conjugué. Définition. Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib.
Nombres complexes : forme algébrique
V Forme trigonométrique d'un nombre complexe L'écriture z = x +iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du ... Vocabulaire et définitions :.
Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau
I. Forme algébrique d'un nombre complexe. 1. Théorème et définition Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique deux nombres complexes.
5 Nombres Complexes
Définition 3 (Partie réelle partie imaginaire et forme algébrique). Soit z = a + ib ? C. La forme algébrique d'un nombre complexe est unique.
I. Forme algébrique et représentation dun nombre complexe
I. Forme algébrique et représentation d'un nombre complexe. 1. Définition et vocabulaire. Théorème. Il existe un ensemble noté ? appelé ensemble
Chapitre 2 - Les nombres complexes I : première approche et lien
Définition-théorème 1 - Ensemble C des nombres complexes forme L'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe est utilisée fréquemment pour des.
NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
I. DEFINITIONS D'UN NOMBRE COMPLEXE. 1. Forme algébrique. Soient x et y deux nombres réels et soit j un nombre appelé "imaginaire" tel que j2 = -1.
[PDF] Nombres complexes : forme algébrique
Définition : Remarque : un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Définition : Soit un nombre complexe z L'écriture z = a + ib où a et b sont des réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z
[PDF] Nombres complexes 1 Définition 2 Forme algébrique
2 Forme algébrique 2 1 Définition représentation géométrique Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme z = a + ib a et b étant
[PDF] Nombres complexes - Forme algébrique - Parfenoff org
On appelle alors nombre complexe tout nombre de la forme où et sont deux nombres réels • Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe
[PDF] NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 1/2 - maths et tiques
Définition : On appelle forme algébrique d'un nombre complexe l'écriture = + avec et réels Vocabulaire : Le nombre s'appelle la partie
[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 1) - maths et tiques
Définition : Il existe un ensemble de nombres noté ! appelé ensemble des L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z
[PDF] NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
I DEFINITIONS D'UN NOMBRE COMPLEXE 1 Forme algébrique 2 Représentation graphique 3 Forme polaire 4 Forme trigonométrique
[PDF] Les nombres complexes
Tout nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme dite algèbrique : z = a + ib où a et b sont des réels Définitions
[PDF] 1 Forme algébrique dun nombre complexe - Case des Maths
Définition 1 L'ensemble des nombres complexes est noté : C Chaque élément z de l'ensemble C s'écrit sous forme algébrique de manière unique z = a + ib
C'est quoi la forme algébrique ?
L'écriture x+iy x + i y , où x?R et y?R x ? R et y ? R , d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique du nombre complexe z .Comment comparer deux nombres complexes ?
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Le conjugué de z est le complexe ¯z défini par ¯z = a ? ib. On utilise fréquemment les propriétés z = ¯z ? z ? R, et z = ?¯z ? z ? iR (c'est `a dire z imaginaire pur).Comment déterminer l'ensemble des nombres complexes ?
On désigne par ? l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ? tel que i 2 = ?1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ? ? et b ? ?.- Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ? a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z. Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Nombres complexes : forme algébrique
Table des matières
I Ensemble des nombres complexes3
I.1 Nombre i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3
I.2 Forme algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.3 Affixe d"un point ou d"un vecteur du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Opérations sur lesnombres complexes4
II.1 Addition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4
II.2 Soustraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II.3 Multiplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.4 Conjugué d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.5 Inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 6
II.6 Quotient de deux nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III Conjugué, module et opérations6
III.1 Module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 6
III.2 Conjugué et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
III.3 Modules et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV Équationsdu second degré9
V Forme trigonométriqued"un nombre complexe10
V.1 Rappel sur les coordonnées polaires d"un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
V.2 Argument d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
V.3 Forme trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
V.4 Propriétés :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
V.5 Forme exponentielledes nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1Introduction historique
En Italie, au XVIesiécle, deux découvertes mathématiques vont être faites : la résolution des équations du
troisiéme et du quatriéme degré et l"invention des nombres complexes. Alors que de nombreux mathéma-
ticiens n"osent pas encore utiliser les nombres négatifs, Cardan et ses élèves écrivent des symboles tels que?
-a, oùaest un nombre réel strictement positif; ils décrivent les règles permettant de calculer en utilisant
ces nouveaux nombres appelés nombres " impossibles».L"équation du troisième degréx3+ax=b(1 ) fut résolue à la Renaissance de la manière suivante.
Si l"on posex=u+v, l"équation enxs"écrit comme une relation entreuetv: (u+v)3+a(u+v)=b, soitu3+v3+(3uv+a)(u+v)=b.Si l"on impose àuvd"être égal à-a
3, on aura alors à chercheruetvtels que :
uv=-a3u3+v3=bou???u
3v3=-?a3?
3 u3+v3=b
Ainsiu3etv3ont-ils pour sommebet pour produit-?a
3? 3. On les obtient donc comme solutionsde l"équation du second degré : X2-bX-?a
3? 3=0.Par conséquent, sib2+4?a
3?3>0, on obtient :
u 3=b+? b2+4?a3? 32;v3=b-?
b2+4?a3? 3 2 et x=u+v=3????b 2+? ?b 2? 2 +?a3?3+3????
b 2-? ?b 2? 2 +?a3? 3 Cette formule porte le nom de Cardan, qui la publia en 1545.1. Si?b
2? 2 +?a3?3est positif, on démontre que l"équation (1) n"admet qu"une racine réelle, donnée par la
formule (2).2. Si?b
2? 2 +?a3?3<0,la formuledeCardann"aplusdesens. (car ellecontientlaracinecarrée d"un nombre
négatif.Cependant, on peut démontrer que, dans ce cas, l"équation (1) admet trois racines dansR. (en étudiant
la fonctionx?→x3+ax-b). Le mathématicienBombelli étudia l"exemple de l"équation :x3-15x=4 (donca=-15 ;b=4).La formule de Cardan s"écrit ici :
x=3?2+?4-54+3?2-?4-53=3?2+?-121+3?2-?-121
Bombelli eut l"audace de traiter ces expressions en utilisant les règles de calcul ordinaire.Par exemple, si l"on remarque que :
2+? -1?Page 2/
13 et que, de même?2-?-1?
3=2-?-121 ,on obtient bien une solutionde l"équation initialeen écrivant
alors : x=2+? -1+2-?-1=4. en apparence " impossibles». Bombelli alla jusqu"à considérer l"ensemble des combinaisons linéaires de 1, - 1.? -1 et-?-1 à co-efficients positifs et définit des opérations qui sont cellesque nous utilisons aujourd"hui, en posant
i=? -1, (notation du mathématiciensuisse Euler, XVIIIe siécle).Dés 1629, Girard pensa que toute équation de degré n admettait n racines, ce qui laisse supposer que
l"ensemble des nombres complexesest un cadre adéquat à la résolutiondes équations.Gauss ne donna
la démonstrationde cette conjecture qu"un siècle plus tard( 1799).¿ la fin du XVIIIe siècle, les nombres complexes sont fréquemment utilisés, mais leur statut mathéma-
tique ne sera clarifié qu"au XlX esiècle par Gauss, puis par Cauchy.I Ensemble des nombres complexes
Remarque
:lanotation?-1n"estpaspossible,carondevraitavoir?-12=-1 et?-12=?(-1)2=?1=1.I.1 Nombre i
On admet qu"il existe un nombre imaginaire(non réel) défini par i2=-1. aetbréels.Définition
I.2 Forme algébrique
L"écriturez=x+iyavecxetyréels est appelée forme algébrique du nombre complexez=x+iy.zest réel si, et seulement si,y=Im(z)=0
zest imaginairepur si, et seulement si,x=Re(z)=0Vocabulaire et définitions :
I.3 Affixe d"un point ou d"un vecteur du plan
z=x+iy, on associe de maniére unique le pointM(x;y) et réciproquement, à chaque pointM(x;y) correspond un unique nombre complexez=x+iy. Ce nombre est appelé affixe dez(affixe est un mot féminin)Définition
Page 3/13
Tous les points de l"axe des abscisses (O;-→u) ont une affixezdite réelle carIm(z)=0.Tous les points de l"axe des ordonnées (O;-→v) ont une affixezdite imaginairepure carRe(z)=0.
Le pointOa pour affixe 0 qui est à la fois réel et imaginaire pur. on dit que l"on travaille dans le plan complexe.Remarques:
Exemples:
1. Représenter le pointAd"affixe-3-i.
2. Représenter le pointBd"affixe 2.
3. Représenter le pointCd"affixe 3i.
4. SoitGle point d"affixe 3+2i. SoitEle point tel que-→CE=--→OG.Quelle est l"affixe de-→CE?
5. Que remarque-t-on sur les affixes de deux points symétriques par rapport àO?
6. Que remarque-t-on sur les affixes de deux points symétriques par rapport à l"axe (O;-→u)?
7. Que remarque-t-on sur les affixes de deux points symétriques par rapport à l"axe (O;-→v)?
Deux nombrescomplexessont ditségaux s"ils représententle même point,c"est-à-dire s"ils ont la même
partie réelle et la même partie imaginaire. x+iy=x?+iy??x=x?ety=y?.Définition :
Remarque: un nombre complexe est nul si, et seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont
toutes les deux nulles.II Opérations sur lesnombres complexes
Soientz=x+iyetz?=x?+iy?seux nombres complexes,x,y,x?ety?réelsII.1 Addition
z+z?=(x+iy)+(x?+iy?)=x+x?+i(y+y?)Exemple : (2+3i)+(5+7i)=2+5+3i+7i=7+10i
II.2 Soustraction
z-z?=(x+iy)-(x?+iy?)=x-x?+i(y-y?)Page 4/13
II.3 Multiplication
zz?=(x+iy)(x?+iy?)=xx?-yy?+i(xy?+x?y) En effet : (x+iy)(x?+iy?)=xx?+xiy?+iy?x+i2yy?=xx?-yy?+i(xy?+x?y) (car i2=-1)Exemple :Soientz=2+3i etz?=7+2i.
8+25i (car i2=-1).II.4 Conjugué d"un nombre complexe
On appelle conjugué dezet on le notezle nombre défini par :z=x-iy.Définition :
Exemples :2+3i=2-3i;5-7i=5+7i
Pour toutz?C,z=z.
z?R?z=
zz?iR?z=-
zM(z) etM??
z?sont symétriques par rapport à l"axe des réelsSiz=x+iy,z
z=x2+y2(carré de partie réelle plus carré de la partie imaginaire)Propriété
Démonstration:
La doubleconjugaisonrevient à effectuer deux fois de suiteune symétrie par rapportà l"axe des réels, donc
à ne rien changer.
Pour démontrer une équivalence, on démontre les deux implications. (a) On supposezréel, doncz=x+i×0 avecx?R.Alors :
z=x+0×i=x-0×i=x=zdoncz=z. (b) Réciproquement : on suppose quez= zavecz=x+iy,x?Rety?R.Alors :
z=x-iydonc :z=z??x=x y=-y?y=-y?2y=0?y=0, doncz=x?R.De même, siz?iR,z=iy, avecy?R, donc
z=-iy=-z.Réciproquement:z=x+iy; siz=-z, alors?x=-x
y=y?x=-x?x=0?z?iRM(z) etM??
z?ont même abscisse et des ordonnées opposées, donc ces deux points sont symétriques par rapport à l"axe des abscisses. z z=(x+iy)(x-iy)=x2-(iy)2=x2-i2y2=x2+y2Page 5/13
II.5 Inverse
Siz?=0,1z=
z zz=x-iyx2+y2=xx2+y2-yx2+y2i.En effet :z
Remarques: pour toutz?C,zz=zz=x2+y2?R.
On ne laisse pas de nombre complexe au dénominateur d"une fraction.Exemple ::z=2+3i;1z=
z zz; z=2+3i;zz=22+32=13.Par conséquent :
1 z=2-3i13= 213-313i.
II.6 Quotient de deux nombres complexes
z z?=z×1z?et on applique la méthode précédente d"où :zz?=z z? zz? Exemple :2+3i5+7i=(2+3i)(5-7i)52+72=10-14i+15i-21i)274=10+21+i74=31+i74= 3174+174i
III Conjugué, module et opérations
III.1 Module
Soit M(z) un point d"affixez=x+iydans le plan complexe muni d"un repére orthonormal?O;-→u;-→v?.
On appelle module dez, noté|z|la distanceOM.
|z|=? zz.Définition:
En effet :OM=?x2+y2; orx2+y2=zz.
Page 6/
13III.2 Conjuguéet opérations
Soient deux nombres complexeszetz?.
a) z=z b) z+z?=z+z? c) z-z?=z-z? d) zz?=zz? e) Pour toutn?N?, zn=zn f)?1 z? =1z g) ?z z?? z z?Propriétés :
Démonstrations:
Ces propriétésse démontrent trés simplement, de façon calculatoire. a) "évident» b)z=x+iyetz?=x?+iy?. c) idem d)zz?=x2-y2+i(xy?+x?y) donc zz?=x2-y2-i(xy?+x?y)On a bien
zz?=zz?. e) Se démontre par récurrence :n=1 :
z1=z=z1Hérédité : on suppose que
zn=znpour un entiernquelconque.Alors :
zn+1=zn×z=zn×z=zn×z=zn+1 f) 1 z=x-iyx2+y2donc ?1 z? =x+iyx2+y2 Or : 1 z=1x-iy= x-iy (x-iy)(x+iy)=x+iyx2+y2.On a bien :?1
z? =1z Autre démonstration:z×1z=1 doncz×1z=z× ?1 z? =1=1 d"où ?1 z? =1z. g) évident en utilisant 4. et 5. ?z z???? z×1z????? =|z|×????1z????? =|z|×1|z?|=|z||z?|Page 7/
13Soitzun nombre complexe.
1.z?R?z=
z2.z?iR?z=-
zThéoréme :
Démonstration:
1.Supposonszréel. Alorsz=x+i0,x?Rz=x-i0=x=zdoncz=z.
z=
z?x+iy=x-iy?2iy=0?y=0?R.2.Supposonszimaginairepur :z=iy,y?R. Alors
z=-iy=-zdoncz=-z.z=-
z?x+iy=-(x-iy)?2x=0?x=0?zz?iRIII.3 Moduleset opérations
Soientzetz?deux nombres complexes. Alors :
a) Siz=x+iyavecxetyréels, alors|z|=? x2+y2. b)z=0?|z|=0 c)|zz?|=|z|×|z?| d)??zn??=|z|n(n?N?) e)????1 z???? =1|z|(z?=0) f) Siz??=0,???z z???? =|z||z?| g) Inégalité triangulaire;|z+z?|?|z|+|z?|(mais on n"a pas égalité en général)Théoréme
Les démonstrationssont simples : SoitMle point d"affixez a)|z|=OM=? x2+y2. b)|z|=0?OM=0?M=0?z=0 x2x?2+x2y?2+x?2y2+y2y?2
Les deux expressions ont des carrés égaux et ce sont des nombres positifs, donc elles sont égales.
d) Elle se démontre par récurrence . e)????1 z????2 =????x-iyx2+y2???? =x2+y2?x2+y2?2=1x2+y2=1|z|2=?1|z|? 2 Les deux expressions sont positives et ont le même carré, donc elles sont égales. f) ?z z???? z×1z????? =|z|×????1z????? et de l"inverse d"un nombre.Page 8/
13 g) Démonstrationgéométrique ?O? M? M? --→OM---→OM?--→
OM+---→OM?
?M??SoientMetM?les points d"affixes respectiveszetz?.
z+z?est l"affixe du vecteur--→OM+---→OM?=---→OM??, oùM??est le quatriéme point du parallélogramme, formé
sur les deux vecteurs--→OMet---→OM?. Alors :|z+z?|=OM???OM+MM?=|z|+|z?|(car----→MM??=---→OM?doncMM?=|z?|)IV Équations du second degré
On considére l"équationaz2+bz+c=0, aveca,betcréels. En utilisant la forme canonique, cette équation s"écrit : a?? z+b2a? 2 -Δ4a2? =0, oùΔ=b2-4ac.On a trois cas possibles :
Premier cas;Δ>0
On remarque queΔ4a2=?
2a? 2 ; on obtient une identité remarquable, on factorise et on trouve (situation vue en Premiére) deux solutions réelles;z1=-b-?Δ2aetz2=-b+?
2a.Deuxiéme cas :Δ=0
On retrouve de même qu"il y a une solutionréelledouble :z=-b2a.Troisiéme cas :Δ<0
AlorsΔ=-(-Δ)=i2×(-Δ)=?
i?-Δ?2carΔ>0;
on a alors? i?2=i2??-Δ?
2=(-1)×(-Δ)=Δ.
Par conséquent :
a?? z+b 2a? 2 -Δ4a2? =a? z+b2a? 2 i? 2a? 2? =a? z+b2a+i? 2a?? z+b2a-i? 2a? =a? z--b-i? 2a?? z--b+i? 2a?Page 9/
13 DansC, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l"un des facteurs est nul.On obtient
deux solutions complexesconjuguées:z1=-b-i?-Δ2aetz2=-b+i?
2a/Solutionsde l"équationaz2+bz+c=0, (a;b;c)?R3:
SiΔ>0, on a deux solutions
réelles:z1=-b-?Δ2aetz2=-b+?
2a.SiΔ=0, l"équation a une solution
réelle double:z=-b2a.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] cours nombres complexes 1sti2d
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