Forme trigonométrique dun nombre complexe

Nombres complexes - Ecriture algébrique- conjugué. Fiche exercices. EXERCICE 1. Mettre chacun des nombres complexes sous forme algébrique :.

NOMBRES COMPLEXES - Chamilo

V. RACINE nième D'UN NOMBRE COMPLEXE. 1. Sous forme polaire. 2. Sous forme algébrique. VI. EQUATION DU SECOND DEGRE À COEFFICIENTS COMPLEXES.

Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 : On donne 0

(2? )3 . Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Mettre sous la forme +

Olivier Glorieux

Soit on commence par mettre sous forme algébrique le nombre complexe. ?. 3 ? i. 1 + i. ?. 3 en multipliant par le conjugué du dénominateur et on passe à

Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications

On note z = a + ib la forme algébrique du complexe z. Théorème – Définition : Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous la forme suivante :.

Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes

Tout nombre complexe z peut s'écrire sous la forme unique x + iy où x et y sont deux réels. Cette forme est la forme algébrique du nombre complexe z

Nombres complexes

Mettre sous la forme a+ib (ab ? R) les nombres : Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : eei? et ei? +e2i? . Indication ?.

Nombres complexes 1 Forme cartésienne forme polaire

Exercice 1 Mettre sous la forme a + ib (a b ? R) les nombres : Quotient du nombre complexe de module 2 et d'argument ?/3 par le nombre complexe.

Calcul Algébrique

Ce chapitre est consacré à la manipulation de formules algébriques constituées de Mettre sous la forme a + ib les nombres complexes suivants.

5 Nombres Complexes

La forme algébrique d'un nombre complexe est unique. On en déduit donc que deux Pour mettre un nombre complexe z = a + ib sous forme trigonométrique.

[PDF] Nombres complexes : forme algébrique

L'écriture z = x +iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z = x +iy • Dans ce cas x est appelé la partie réelle de z et notée

[PDF] Nombres complexes - Ecriture algébrique - Meilleur En Maths

Mettre chacun des nombres complexes sous forme algébrique : – z1=2(6?5i)?3(4+ i) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe conjugué de z1 et z2

[PDF] NOMBRES COMPLEXES

L'écriture z = a + ib où a et b sont des réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z a est appelé partie réelle de z et b partie imaginaire de

[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1

Mettre sous la forme + ? ? (forme algébrique) les nombres complexes 1 = Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants

[PDF] NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 1/2 - maths et tiques

Définition : On appelle forme algébrique d'un nombre complexe l'écriture 1) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :

[PDF] NOMBRES COMPLEXES - Chamilo

V RACINE nième D'UN NOMBRE COMPLEXE 1 Sous forme polaire 2 Sous forme algébrique VI EQUATION DU SECOND DEGRE À COEFFICIENTS COMPLEXES

[PDF] Nombres complexes - Forme algébrique - Parfenoff org

Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique on

[PDF] NOMBRES COMPLEXES

Il décide en outre de lui appliquer une règle algébrique connue en Un nombre complexe z est un nombre qui s'écrit sous la forme z = a+ bi où a et b

[PDF] Effectuer des calculs algébriques avec les nombres complexes

Tout nombre complexe z peut s'écrire sous la forme unique x + iy où x et y sont deux réels Cette forme est la forme algébrique du nombre complexe z le

Comment mettre sous forme algébrique des nombres complexes ?
On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d'un nombre complexe z = (x, y) l'expression z = x +jy. si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: z ?I L'ensemble des nombres imaginaires purs se note I.
Comment donner la forme algébrique ?
Tout élément z de s'écrit de manière unique : z = a + ib (a et b réels), donc si z = a + ib et z' = a' + ib', z = z' ? a = a' et b = b'. a + ib (a et b réels) s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z. Le réel a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
Comment comparer deux nombres complexes ?
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Le conjugué de z est le complexe ¯z défini par ¯z = a ? ib. On utilise fréquemment les propriétés z = ¯z ? z ? R, et z = ?¯z ? z ? iR (c'est `a dire z imaginaire pur).
On désigne par ? l'ensemble des nombres complexes et par « i » un élément de ? tel que i ² = ?1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique : z = a + ib avec a ? ? et b ? ?.

Forme trigonométrique

d"un nombre complexe - Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Représentation géométrique d"un nombre complexe

1.1 Rappels : affixe d"un point

1.2 Affixe d"un vecteur

2 Forme trigonométrique3

2.1 Argument d"un nombre complexe non nul

2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nul

2.3 Égalité de deux nombres complexes

2.4 Cas d"un produit ou d"un quotient

3 Forme exponentielle7

4 Applications géométriques des nombres complexes

4.1 Distances et angles orientés

4.2 Caractérisation des cercles et des médiatrices

4.3 Pour aller plus loin...

Table des figures

1 Interprétation géométrique

2 Argument d"un nombre complexe

3 Module et argument de l"opposé et du conjugué

4 Forme trigonométrique d"un nombre complexe

5 Triangle rectangle isocèle direct

6 Triangle équilatéral

9 ?

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1 REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE D"UN NOMBRE COMPLEXE

1 Représentation géométrique d"un nombre complexe

1.1 Rappels : affixe d"un pointDéfinition :Soit(O;?u;?v)un repère orthonormé direct etzun nombre complexe de forme algébrique

z=a+ib. Le p ointM(a;b)est appeléimage de z. (voir figure1 )

On dit que Ma pouraffixe z.

La distance OMest appeléemo dulede z. On note|z|=OM.Figure1 - Interprétation géométrique Conséquences :1.L"ensem bledes nom bresréels est représen tépar l"axe des abscisses. L"ensemble des imaginaires purs est représenté par l"axe des ordonnés. 2.

On a |z|=⎷a

2+b2.

3.|z|= 0si et seulement siz= 0.Propriété :Soitz?C.

On a :

|z|2=zz

Démonstration :

On notez=a+ibla forme algébrique du complexez.

zz= (a+ib)(a-ib) =a2-(ib)2=a2+b2=|z|2Propriété :Affixe du milieu d"un segment

SoitAetBdeux points d"affixes respectiveszAetzB.

On noteIle milieu du segment[AB].

Alors, l"affixe deIest :

I=zA+zB2

Exercice :Démontrer cette propriété à l"aide des coordonnées du milieu d"un segment. 2

2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 1.2 Affixe d"un vecteur

1.2 Affixe d"un vecteur

Définition :Soit-→wun vecteur de coordonnées?a b?

On appelle

affixe de -→wle complexez=a+ib.Propriété 1 :SoientAetBdeux points d"affixes respectiveszAetzB. Alors, le vecteur--→ABa comme affixezB-zA.Démonstration : SizA=xA+iyAetzB=xB+iyB(formes algébriques), alorsA(xA;yA)etB(xB;yB).

Les coordonnées du vecteur

--→ABsont donc?xB-xA y B-yA? . Par suite, son affixe est : z= (xB-xA) +i(yB-yA) = (xB+iyB)-(xA+iyA) =zB-zA Remarques :Il découle facilement des règle de calcul sur les coordonnées de vecteurs que : 1. Deux v ecteursson tégaux si et seuleme ntsi leurs affixes son tégales 2. Si -→wet-→w?sont deux vecteurs d"affixes respectiveszetz?etkun réel : l"affixe de -→w+-→w?estz+z?; l"affixe de k-→westkz. 3.

On p eutdonc utiliser les affixes p ourdéterminer une colinéarité de v ecteurs,don cp ourd éterminer

un parallélisme ou un alignement. Exercices :66, 67, 70 page 2541- 68, 69 page 2542[TransMath]

2 Forme trigonométrique d"un nombre complexe non nul

2.1 Argument d"un nombre complexe non nulDéfinition :Soitzun nombre complexenon n ulet Mle point d"affixez(voir figure2 ).

On appelle

argumen t de ztoute mesure en radians de l"angle? ?u;--→OM? . On le notearg(z). il est défini

à2kπprès (k?Z).

On a donc :

arg(z) =? ?u;--→OM? [2π]Remarques :1.Si zest un réel, c"est-à-direz=a: si a >0,|z|=aetarg(z) = 0 si a <0,|z|=-aetarg(z) =π 2.

Si zest un imaginaire pur, c"est-à-direz=ib:

si b >0,|z|=betarg(z) =π2 si b <0,|z|=-betarg(z) =-π2 Propriété :Module et argument de l"opposé et du conjugué Soitzun complexe non nul etM1,M2,M3etM4les points d"affixes respectivesz,z,-zet-z. Par des considérations géométriques simples sur la figure 3 , on obtient : |z|=|z|=|-z|=|-z| arg(z) =-arg(z) [2π] arg(-z) =π+ arg(z) [2π] arg(-z) =π-arg(z) [2π]1. Affixe d"un point, d"un vecteur.

2. Ensembles de points

2.1 Argument d"un nombre complexe non nul 2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE

Figure2 - Argument d"un nombre complexeFigure3 - Module et argument de l"opposé et du conjugué 4

2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nul

Exercices :72, 73, 74 page 2543[TransMath]

2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nulThéorème - Définition :Tout nombre complexe non nulzs"écrit sous la forme suivante :

z=r(cos(θ) +isin(θ))avecr=|z|etθ= arg(z) [2π]

Cette forme est appelée

for metrigonométrique du complexe z.Démonstration :

On noteMle point d"affixez,r=OMetθ=?

?u;--→OM? [2π]. La demi-droite[OM)coupe le cercle trigonométrique en un pointA(voir figure4 ).

Les coordonnées deAsont(cos(θ) ; sin(θ))et, comme--→OM=r-→OA, les coordonnées deMsont

(rcos(θ) ;rsin(θ)).

L"affixe deMest donc :

z=r(cos(θ) +isin(θ))Figure4 - Forme trigonométrique d"un nombre complexe

Exercice :22 page 2444[TransMath]Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique :Soitzun complexe non nul de forme al-

gébriquez=a+ibet de forme trigonométriquez=r(cosθ+isinθ). Alors :

Si l"on c onnaîtretθ:?

a=rcosθ b=rsinθ

Si l"on c onnaîtaetb:

r=|z|=?a

2+b2et?

cosθ=ar sinθ=br

Exemple :Soitz=⎷3-i.

r=???⎷3-i???=?? ⎷3

2+ (-1)2=⎷3 + 1 =

⎷4 = 2 cosθ=⎷3 2 sinθ=-12

On a doncarg(z) =θ=-π6

[2π]. Exercices :20 page 244 et 77 page 2555- 90 page 2566[TransMath]3. Argument d"un nombre complexe.

4. Forme trigonométrique d"un complexe non nul.

5. Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique.

6. Ensembles de points.

2.3 Égalité de deux nombres complexes 2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE

2.3 Égalité de deux nombres complexes

Propriété :Égalité de deux complexes

Les complexesz=r(cosθ+isinθ)etz?=r?(cosθ?+isinθ?)avecr >0etr?>0sontégaux si et seulement si : r=r?

θ=θ?[2π]Remarque :Attention!L"h ypothèser >0est essentielle pour obtenir la forme trigonométrique d"un

nombre complexe. Exemples :Donner la forme trigonométrique des complexesz1=-3?cos?π4 ?+isin?π4 ??etz2= 2?cos?π6 ?-isin?π6 La forme d onnéep ourz1n"est pas une forme trigonométrique :z1=-3?cos?π4 ?+isin?π4

On a :z1= 3?-cos?π4

?-isin?π4 ??avec? cos?5π4 ?=-cos?π4 sin ?5π4 ?=-sin?π4 La forme trigonométrique dez1est donc :z1= 3?cos?5π4 ?+isin?5π4 ??, c"est-à-dire|z1|= 3et arg(z1) =5π4 [2π]. La forme d onnéep ourz2n"est pas une forme trigonométrique :z2= 2?cos?π6 ?-isin?π6

On a :z2= 2?cos?π6

?+i?-sin?π6 ???avec? cos?-π6 ?= cos?π6 sin ?-π6 ?=-sin?π6 La forme trigonométrique dez2est donc :z2= 2?cos?-π6 ?+isin?-π6 ??, c"est-à-dire|z2|= 2et arg(z2) =-π6 [2π].

Exercice :78 page 2557[TransMath]

2.4 Cas d"un produit ou d"un quotientPropriété :Module et argument d"un produit et d"un quotient

Soientzetz?deux nombres complexes non nuls. On a : |zz?|=|z| × |z?|etarg(zz?) =arg(z) + arg(z?) [2π]???zz ????=|z||z?|etarg?zz arg(z)-arg(z?) [2π]Démonstration (partielle) : On notez=r(cosθ+isinθ)etz?=r?(cosθ?+isinθ?)les formes trigonométriques dezet dez?.

On a donc :?

|z|=r arg(z) =θ[2π]et? |z?|=r? arg(z?) =θ?[2π]quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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[PDF] Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications

Comment mettre sous forme algébrique des nombres complexes ?

Comment donner la forme algébrique ?

Comment comparer deux nombres complexes ?

Forme trigonométrique

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Représentation géométrique d"un nombre complexe

1.1 Rappels : affixe d"un point

1.2 Affixe d"un vecteur

2 Forme trigonométrique3

2.1 Argument d"un nombre complexe non nul

2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nul

2.3 Égalité de deux nombres complexes

2.4 Cas d"un produit ou d"un quotient

3 Forme exponentielle7

4 Applications géométriques des nombres complexes

4.1 Distances et angles orientés

4.2 Caractérisation des cercles et des médiatrices

4.3 Pour aller plus loin...

Table des figures

1 Interprétation géométrique

2 Argument d"un nombre complexe

3 Module et argument de l"opposé et du conjugué

4 Forme trigonométrique d"un nombre complexe

5 Triangle rectangle isocèle direct

6 Triangle équilatéral

1 REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE D"UN NOMBRE COMPLEXE

1 Représentation géométrique d"un nombre complexe

1.1 Rappels : affixe d"un pointDéfinition :Soit(O;?u;?v)un repère orthonormé direct etzun nombre complexe de forme algébrique

On dit que Ma pouraffixe z.

On a |z|=⎷a

3.|z|= 0si et seulement siz= 0.Propriété :Soitz?C.

On a :

Démonstration :

On notez=a+ibla forme algébrique du complexez.

SoitAetBdeux points d"affixes respectiveszAetzB.

On noteIle milieu du segment[AB].

Alors, l"affixe deIest :

I=zA+zB2

2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 1.2 Affixe d"un vecteur

1.2 Affixe d"un vecteur

On appelle

Les coordonnées du vecteur

2 Forme trigonométrique d"un nombre complexe non nul

2.1 Argument d"un nombre complexe non nulDéfinition :Soitzun nombre complexenon n ulet Mle point d"affixez(voir figure2 ).

On appelle

à2kπprès (k?Z).

On a donc :

Si zest un imaginaire pur, c"est-à-direz=ib:

2. Ensembles de points

2.1 Argument d"un nombre complexe non nul 2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE

2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE 2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nul

Exercices :72, 73, 74 page 2543[TransMath]

2.2 Forme trigonométrique d"un complexe non nulThéorème - Définition :Tout nombre complexe non nulzs"écrit sous la forme suivante :

Cette forme est appelée

On noteMle point d"affixez,r=OMetθ=?

L"affixe deMest donc :

Si l"on c onnaîtretθ:?

Si l"on c onnaîtaetb:

2+b2et?

Exemple :Soitz=⎷3-i.

2+ (-1)2=⎷3 + 1 =

On a doncarg(z) =θ=-π6

4. Forme trigonométrique d"un complexe non nul.

5. Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique.

6. Ensembles de points.

2.3 Égalité de deux nombres complexes 2 FORME TRIGONOMÉTRIQUE

2.3 Égalité de deux nombres complexes

Propriété :Égalité de deux complexes

On a :z1= 3?-cos?π4

On a :z2= 2?cos?π6

Exercice :78 page 2557[TransMath]

2.4 Cas d"un produit ou d"un quotientPropriété :Module et argument d"un produit et d"un quotient

On a donc :?