[PDF] Les 3 formes dun système linéaire PDF

Devoir 1 pour le 12 Mars Exercice 1

Déterminons donc la dimension et une base de Kerf. En posant u = dim (Kerf)=1. 2. Quel est le rang de f (i.e. la dimension de Imf)?. Puisque f est un ...

Solutions to Homework 8 - Math 3410 1. (Page 190: # 5.49(b)) Let a

F is not linear since it doesn't map the zero vector to the zero vector. (c) Let x = y = 1 and c = 2. Therefore dim(ker(F)) = 2 and dim(im(F)) = 2.

Les 3 formes dun système linéaire

Le noyau de f noté par Ker(f )

Chapter 4 - Module Fundamentals

The kernel of a homomorphism f is ker f = {x ? M : f(x)=0} Any two bases for a free module M over a commutative ring R have the same cardinality.

Chapitre 17 : Applications linéaires

est linéaire déterminer ker (f) et Im (f). +: Méthode de base : Soient u = ... Montrer que f ? L(M2 (R)) déterminer kerf

Chap 04 - Espaces vectoriels endomorphismes et matrices

d) Quelle est la matrice de f relativement à une base C adaptée à la supplémentarité de Imf et Kerf ? 2. Soit E un K?espace vectoriel de dimension finie n

Group Homomorphisms

17-Jan-2018 A homomorphism from G to H is a function f : G ? H such that ... Find ker f im f

Noyau et image des applications linéaires

Si f : E ? F est une application linéaire son noyau

Rappels sur les applications linéaires

sous-espace vectoriel de F appelé image de f et noté Im f. Soit {w1

On consid`ere lapplication linéaire : f : R 4 ? R2 (x1

[PDF] Noyau et image des applications linéaires

Définition Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0}

[PDF] Noyau et image des applications linéaires

Définition Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0} Exemple

[PDF] Rappels sur les applications linéaires - Université de Rennes

La dimension de Im f est appelée rang de f et est notée rg f Proposition 6 – Soit f : E ? F une application linéaire On pose Ker f = {x ? E ; f(x)=

[PDF] Les 3 formes dun système linéaire

Base de Ker(f) Théorème Pour toute application linéaire f : Rm ? Rn Ker(f ) est un sous espace vectoriel de Rm Preuve Il faut vérifier que pour tout u

[PDF] Applications linéaires matrices déterminants

En déduire la dimension de im( ) 2 Déterminer la dimension de ker( ) et en donner une base Allez à : Correction exercice 21 Exercice 22

[PDF] Devoir 1 pour le 12 Mars Exercice 1

Déterminons donc la dimension et une base de Kerf En posant u = Donc on en déduit que rg(f) = dim (Imf) = dim(R3) ? dim (Kerf)=3 ? 1=2

[PDF] Espaces vectoriels et applications linéaires Correction des exercices

Exercice 32 : Soit E un espace vectoriel de dimension finie et (fg) deux endomorphismes de E avec E = Im(f)+Im(g) = Ker(f)+Ker(g) Montrer que E = Im(f)? im

[PDF] Applications linéaires 1 Définition 2 Image et noyau

Exercice 5 Soient E un espace vectoriel de dimension n et f une application linéaire de E Montrer que f ? L(E) donner une base de Imf et de Ker(f)

[PDF] Applications linéaires - Exo7 - Exercices de mathématiques

Montrer que Ker f et Im f sont stables par g Soit E un espace vectoriel de dimension 3 {e1e2e3} une base de E et t un paramètre réel

[PDF] IV Applications linéaires

Soit f:E ? F une application linéaire et (e1 en) une base de E On note ui dim Kerf = 0 ? dim Imf = dimE autrement dit f est injective si et

Comment déterminer la base de KERF ?
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x f (x) = 0} = {x Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 .
Comment déterminer IMF et KERF ?
Il résulte de la formule de dimension : 3 = dimE = dim Imf + dim kerf = dim Imf + 1 . Ainsi, l'image de f est un espace vectoriel de dimension 2. D'apr`es le cours, puisque (e1,e2,e3) engendrent E, Imf est engendré par f(e1),f(e2),f(e3). Déterminons une base de Imf eche- lonnée dans la base (e1,e2,e3).
Comment déterminer une base de F ?
Pour trouver une base d'un sous-espace vectoriel F , on peut :
1chercher une famille génératrice B de F ;2si B est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
Définition Si f : E ? F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0}.

Les 3 formes d"un système linéaire

1. d"un système d"équations

2 . de produit matricielA~x=~b, ou bien, en représentantApar ses colonnes ~v1~vm)0 B @x 1... x m1 C A=0 B @b 1... b n1 C A:

3. de combinaison linéaire :

1~v1+x2~v2++xm~vm=~b:

Interprétation du point 2

: Etant donner une matrice A, on considère l"application linéairef:0 B @x 1... x m1 C A7!A0 B @x 1... x m1 C

A:Résoudre le

systèmeA~x=~brevient à déterminer les antécédents de~bparf. §5.2 Image et noyau d"une application linéaire. DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme 0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x:Le noyaude f, noté parKer(f), est l"ensemble des antécédents du vecteur ~0:

Ker(f) =f~xjf(~x) =~0g=f~xjA~x=~0g

=l"ensemble solutions du systèmeA~x=~0:

Exemple.Soitfx

y =x+y. Quel est le noyau def? Et pour f x y =1 1 2 2 x y §5.2 Image et noyau d"une application linéaire. DéfinitionSoitf:Rm!Rnd"une application linéaire, de la forme 0 B @x 1... x m1 C A7!0 B @a

11a1m......

a n1anm1 C A0 B @x 1... x m1 C A=A~x:Le noyaude f, noté parKer(f), est l"ensemble des antécédents du vecteur ~0:

Ker(f) =f~xjf(~x) =~0g=f~xjA~x=~0g

=l"ensemble solutions du systèmeA~x=~0:

Exemple.Soitfx

y =x+y. Quel est le noyau def? Et pour f x y =1 1 2 2 x y

Base de Ker(f)

Théorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

~u;~v2Ker(f)et tout2R, u+~v2Ker(f)et~u2Ker(f). Ou bienf(~u) =~0=f(~v)implique f(~u+~v) =~0etf(~u) =~0.On cherche à trouver une base pour Ker(f). Dans l"exemple ci-dessus :Ker(f) =fx y jx+y=0g=fy y jy2Rg= fy1 1 jy2Rg=h1 1 i. Donc une base est1 1 .Exercice.SiKer(f)est de la formef0 @2a b+a ba1 A ja;b2Rg.

Déterminer une base.

Base de Ker(f)

Théorème.Pour toute application linéairef:Rm!Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

Déterminer une base.