CP Archimaths N°86 : le tableau des nombres jusquà 59 Les chefs
h i. Par ex : 10 est un chef j'entoure 10 en rouge et je colorie la famille du 10 en rose. 2. Nous allons observer une autre façon de ranger ces nombres : le
La famille des nombres (Les nombres jusquà 49)
La famille des nombres (Les nombres jusqu'à 49). La famille des tous seuls 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. La famille des 10. 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19.
jeu des familles des nombres
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Les familles de nombres
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Famille des unités. ?. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Famille des « trente… » ?. 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39. ?. Famille des « quarante… ».
Chapitre 5 - Familles sommables de nombres complexes
Familles sommables de nombres complexes. Pré-requis : réviser le cours de première année sur les séries numériques. 5.1 Ensembles dénombrables.
ÉQUATIONS
RESOUDRE UNE EQUATION : C'est chercher et trouver le nombre caché sous l'inconnue. SOLUTION : C'est le nombre et la famille des nombres habite à droite.
Familles de séries formelles et ensembles de nombres algébriques
Ann. scient. Éc. Norm. Sup.f. 4e série t. 1
Les familles de nombres
Des cartes de familles de nombres : les familles du 0 du 10
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Soit x un nombre réel Montrer que x est algébrique si et seulement s'il existe un entier positif n ? 1 tel que la famille de nombres réels {1 x
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1 Entoure les nombres qui font partie de la famille des soixante-dix 2 Relie les étiquettes entre elles soixante-douze soixante-quatorze soixante-treize
DENOMBRABILITE
P. Pansu
14 mai 2005
1 Motivation
Il y a t"il plus de r´eels dans ]1,+∞[ ou dans l"intervalle ]0,1[? Oui, bien sˆur. Des droites passant
par l"origine dans le plan, il y en a-t-il autant en dessus ou en dessous de la bissectrice{x=y} (voir figure)? Par sym´etrie, il y en a clairement autant.Or toute droite passant par l"origine (`a l"exception de l"axeOy) est repr´esent´ee par une ´equation
de la formey=ax, o`uaest lapente. Les droites situ´ees au dessus de la bissectrice correspondentaux pentesa >1, celle situ´ees au dessous aux pentes 0< a <1. Il y aurait donc autant de r´eels
]1,+∞[ ou dans l"intervalle ]0,1[?Et des rationnels, il y en a t"il plus dansR? dans ]0,1[? dans [0,1]? Il y a t"il plus de r´eels que
de rationnels? On va voir que tous les ensembles infinis ne sont pas ´equivalents, certains sont plus
grands que d"autres. On commence par ´etudier les plus petits d"entre eux, ce sont les ensembles d´enombrables.2 Ensembles d´enombrables
2.1 D´efinition
Rappel.Une applicationf:A→Bentre deux ensembles est unebijectionsi, pour tout y?B, l"´equationf(x) =yposs`ede une et une seule solutionx?A. Dans ce cas, on note la solutionx=f-1(y), et l"applicationf-1:B→As"appellel"application r´eciproquedef. Elle satisfaitf◦f-1= idBetf-1◦f= idA. Pour v´erifier qu"une applicationf:A→Best une bijection, il suffit souvent de deviner sonapplication r´eciproque. En effet, s"il existeg:A→Btelle quef◦g= idBetg◦f= idA, alorsf
est une bijection etg=f-1. 1 D´efinition 1Un ensembleEest ditd´enombrables"il existe une bijection deEsur un sous- ensemble de l"ensembleNdes entiers naturels. Exemple 2Tout ensemble fini est d´enombrable. L"ensemble des entiersnaturels pairs est d´enom- brable. Remarque 3Une bijection sur un sous-ensemble deN, c"est la mˆeme chose qu"une applicationinjectiveE→N. Plus g´en´eralement, s"il existe une application injective deEdans un ensemble
d´enombrable, alorsEest d´enombrable. Proposition 4SoitEun ensemble d´enombrable infini. Alors il existe une bijection deNsurE. Autrement dit, on peut num´eroter les ´el´ements deE, i.e. ´ecrireE={e0,e1,...,en,...}. Preuve.SoitAun sous-ensemble infini deN. Notonsa0son plus petit ´el´ement, puisa1leplus petit ´el´ement deA\ {a0}, puisa2le plus petit ´el´ement deA\ {a0,a1}, etc... Par r´ecurrence
surn, on construit un ´el´ementandeA, len-`eme par ordre croissant, tel que les ´el´ements deAqui
sont inf´erieurs `aansont exactementa0< ... < an-1. CommeAest infini, le proc´ed´e ne s"arrˆete
jamais.Montrons qu"il ´epuise tous les ´el´ements deA. Six?A, l"ensemble des ´el´ements deAqui sont
inf´erieurs ou ´egaux `axest fini. Soitnle nombre de ses ´el´ements. Alorsx=an. L"application
N→A,n?→anest donc une bijection.
Soit maintenantEun ensemble d´enombrable infini. Par d´efinition, il existe un sous-ensemble AdeNet une bijectionf:A→E.Aest infini, donc il existe une bijectiong:N→A. Alorsf◦g est une bijection deNsurE. Exemple 5L"applicationfpair:n?→2nest une bijection deNsur l"ensemble des entiers naturels pairs.2.2 Exemples
Exercice 6Montrer queN×Nest d´enombrable. En d´eduire que le produit d"un nombre fini d"ensembles d´enombrables est d´enombrable.Fin du cours n08
Solution de l"exercice 6. N×Nest d´enombrable. On se prom`ene dans un quadrant diagonale par diagonale. On poseg(0) = (0,0),g(1) = (1,0), on poseg(n(n+1)2+k) = (n,k). On num´erote ainsi tous les couples d"entiers naturels.
On d´efinith:N×N→N×N×Npar la formuleh(n,m) = (n,g(m)). On obtient ainsi une bijection deN2=N×NsurN3. Par r´ecurrence surk, on montre ainsi queNkest d´enombrable. SoientE1,...,Ekdes ensembles d´enombrables. Soitfi=Ei→Nune bijection sur un sous-ensemble deN. AlorsE1× ··· ×Ek→Nk, (x1,...,xk)?→(f1(x1),...,fk(xk)) est injective, donc
c"est une bijection sur son image, un sous-ensemble deNk, qui est d´enombrable, doncE1×···×Ek
est d´enombrable.Exercice 7Montrer queQest d´enombrable.
Solution de l"exercice 7. Qest d´enombrable.
Tout rationnel s"´ecrit de fa¸con unique comme fraction r´eduitex=p/qo`uq≥1 etp?q= 1. L"applicationf:Q?→Z×N,f(x) = (p,q) est injective, c"est une bijection sur son image, un sous-ensemble deZ×N. CommeZ×Nest d´enombrable (exercice 6),Qest d´enombrable. 2 Exercice 8Soit(En)n?Nune famille d´enombrable de sous-ensembles d´enombrablesd"un ensembleE. Montrer que la r´eunion?
n?NEnest d´enombrable. Solution de l"exercice 8.Unions d´enombrables de d´enombrables.NotonsFn=En\(E1? ··· ?En-1). Alors?
n?NEn=? n?NFn, et lesFnsont deux `a deux disjoints. Soitfn:En→Nune injection. Pourx?Fn, posonsf(x) = (n,fn(x)). En juxtaposant lesfn, on obtient une injection de? n?NFndansN×N. Par cons´equent,? n?NEnest d´enombrable.Exercice 9Montrer que l"ensemble des polynˆomes `a coefficients entiers est d´enombrable. Montrer
que l"ensemble des sous-ensembles finis deNest d´enombrable. Solution de l"exercice 9.Polynˆomes `a coefficients entiers. Zd+1, qui est d´enombrable. Comme l"ensemble des polynˆomes `a coefficients entiers est la r´eunion?
d?NPd, il est d´enombrable, d"apr`es l"exercice 8. SoitFnl"ensemble des sous-ensembles `an´el´ements deN. A un tel sous-ensemble, on associela suite de ses ´el´ements, rang´es par ordre croissant. On obtient ainsi une injection deFndansNn.
D"apr`es l"exercice 6,Fnest d´enombrable. L"ensemble des sous-ensembles finis deNest la r´eunion?
n?NFn, donc il est d´enombrable, d"apr`es l"exercice 8. On peut aussi plonger cet ensemble dans l"ensemble des polynˆomes `a coefficients entiers, en associant `a chaque sous-ensemble finiAdeN le polynˆome? i?Ati. Exercice 10SoitA=Q∩[0,1]etB=Q∩]0,1[. Existe-t"il une bijection deAsurB? Solution de l"exercice 10. Q∩[0,1]n"est pas plus grand queQ∩]0,1[. AetBsont des sous-ensembles deQ, donc ils sont d´enombrables. Ils sont tous les deux infinis. D"apr`es la proposition 4, il existe une bijectionf:N→Aet une bijectiong:N→B. Alors g◦f-1est une bijection deAsurB. Voici un proc´ed´e pour construire explicitement une bijection deAsurB. SoitC?Bl"ensemble des nombres de la forme 2 -n,n≥1, etD=C? {0,1}. Pour construire une bijection deDsur C, il suffit de poserf(0) = 1/2,f(1) = 1/4 et, pourn≥1,f(2-n) = 2-n-2. On prolongefpar l"identit´e surA\D=B\C.3 Ensembles non d´enombrables
3.1 La droite r´eelle
Th´eor`eme 1(Cantor).Rn"est pas d´enombrable. Preuve.Il suffit de trouver un sous-ensembleAdeRqui n"est pas d´enombrable. SoitAl"ensemble des r´eels compris entre 0 et 1 et dont le d´eveloppement d´ecimal ne comporte, apr`es la
virgule, que des 1 et des 8, comme 0.88118188881111818881181888881.... On raisonne par l"absurde. Supposons qu"il existe une bijectionf:N→A. Pour chaquen?N, notons f(n) = 0.an,1an,2an,3...an,k... o`uan,kvaut 1 ou 8. Soitxle r´eel dont le d´eveloppement d´ecimal est x= 0.a1,1a2,2a3,3...ak,k... ety= 1-x. Alorsy?A, car le d´eveloppement d´ecimal deypr´esente un 1 (resp. un 8) l`a o`u celui dexpr´esente un 8 (resp. un 1). Il existe doncn?Ntel quef(n) =y. Or le n-`eme chiffre 3 deyvaut 9-an,n, alors que celui def(n) vautan,n, contradiction. On conclut queAn"est pas d´enombrable, donc queRn"est pas d´enombrable.Fin du cours n09
Corollaire 11L"ensemble des nombres irrationnels n"est pas d´enombrable. Preuve.Par l"absurde. CommeQest d´enombrable, siR\Q´etait d´enombrable, la r´eunionR serait d´enombrable, contradiction.D´efinition 12Un nombre r´eel ou complexexestalg´ebriques"il existe un polynˆomePnon nul,
`a coefficients entiers, tel queP(x) = 0. Un nombre qui n"est pas alg´ebrique est dittranscendant.
Exemple 13
2,⎷2 +⎷3sont alg´ebriques.
En effet,
2 est racine deP(x) =x2-2,⎷2+⎷3 est racine deQ(x) =x4-10x2+1. Il est moins
facile de donner un exemple de nombre transcendant. Proposition 14Il existe des nombres r´eels transcendants. Preuve.Montrons que l"ensemble des nombres alg´ebriques est d´enombrable. D"apr`es l"exer-cice 9, l"ensemble des polynˆomes non nuls, `a coefficients entiers, est d´enombrable. On peut donc
num´eroter ses ´el´ementsP0,P1,...,Pk,.... Pour chaque entierk, notonsZkl"ensemble fini des racines dePk. Alors l"ensemble des nombres alg´ebriques est? k?NZk. D"apr`es l"exercice 8, il est d´enombrable. A fortiori, l"ensemble des nombres r´eels alg´ebriques est d´enombrable. CommeRn"est pasd´enombrable (th´eor`eme 1), il existe des nombres r´eels non alg´ebriques, i.e. transcendants.
3.2 Equipotence
Les exemples qui pr´ec`edent donnent envie de poser des questions plus g´en´erales. D´efinition 15SoientEetFdeux ensembles. On dit queEetFsont´equipotentss"il existe une bijection deEsurF. Exemple 16Deux ensembles finis sont ´equipotents si et seulement si ilsont le mˆeme nombre d"´el´ements. Deux ensembles d´enombrables infinis sont toujours ´equipotents (proposition 4).Rn"est pas ´equipotent `aQ(th´eor`eme 1).
Deux intervalles deR, non r´eduits `a un point, sont ´equipotents (voir exercice17 et la feuille
d"exercices). Exercice 17Soit[a,b[un intervalle semi-ouvert. Montrer que[a,b[est ´equipotent `aR. Solution de l"exercice 17.Les intervalles sont ´equipotents. SoitC?]a,b[ l"ensemble des nombres de la formea+ 2-n(b-a),n≥1, etD=C? {a}. Pour construire une bijection deDsurC, il suffit de poserf(a) = (a+b)/2 et, pourn≥1, f(a+ 2-n(b-a)) =a+ 2-n-1(b-a). On prolongefpar l"identit´e sur [a,b[\D=]a,b[\C. On obtient une bijection de [a,b[ sur ]a,b[, lequel est ´equipotent `aR. Voici un th´eor`eme qui va aider `a prouver que deux ensembles sont ´equipotents. Th´eor`eme 2Cantor-Bernstein).SiEest ´equipotent `a un sous-ensemble deFetFest ´equipotent `a un sous-ensemble deE, alorsEetFsont ´equipotents. 4 Preuve.On traite d"abord le cas particulier o`uFest un sous-ensemble deEcontenant unsous-ensembleA´equipotent `aE. On a d´ej`a fait ce travail `a plusieurs reprises, dans le cas o`uFest
le compl´ementaire d"un ou deux points dansE(exercices 10 et 17). Soitg:E→Aune bijection. SoitC0=E\F. AlorsC1=g(C0) est disjoint deC0puisqu"il est contenu dansF. De mˆeme,C2=f(C1) est disjoint deC0et deC1. En effet, il est contenu dansg(g(E))?g(A)?g(F)?Falors queC0est disjoint deFetC1disjoint deg(F). Posant C i+1=g(Ci), on construit ainsi une suite d"ensembles deux `a deux disjoints. On poseC=? i?NCi etD=? i≥1Ci. Alorsginduit une bijection deCsurD. On compl`ete avec l"identit´e deE\C= F\D. Le cas g´en´eral se ram`ene au cas particulier.3.3 Davantage d"ensembles ´equipotents `a R
Exercice 18Montrer que l"ensembleNNdes suites d"entiers est ´equipotent `aR.Solution de l"exercice 18. N
Nest ´equipotent `aR.
On code un r´eel par son signe (0 ou 1), le nombre de chiffres avant la virgule, puis la suite des
chiffres du d´eveloppement d´ecimal (lorsqu"il y en a deux, on choisit celui qui ne se termine pas par
une suite de 9). Cela donne une bijection deRsur un ensemble de suites d"entiers. Inversement, ´etant donn´ee une suite d"entiers (un), on convertit chaqueunen en une suite, v n,i= 0 sinon. On code donc les suites d"entiers par des suites doubles de 0 et de 1, i.e. des suites index´ees parN×Net `a valeurs dans{0,1}. En utilisant une bijectionf:N→N×N(exercice6), une suite double devient une suite simple (vf(n))n?N. On code enfin cette suite en un r´eel,
celui dont le d´eveloppement d´ecimal est 0.vf(0)vf(1)...vf(n).... Comme les r´eels construits n"ont
pas de 9 dans leur d´eveloppement d´ecimal, il n"ont qu"un seul d´eveloppement d´ecimal, donc deux
suites distinctes donnent deux r´eels distincts. On obtient ainsi une bijection entre l"ensembleNN
des suites d"entiers et un sous-ensemble deR. En appliquant le th´eor`eme 2, on conclut queNNetRsont ´equipotents.3.4 Des ensembles tr`es grands
Th´eor`eme 3(Cantor).SoitEun ensemble. AlorsEn"est pas ´equipotent `a l"ensembleP(E)des sous-ensembles deE. Preuve.Par l"absurde. Supposons qu"il existe une bijectionf:E→P(E). SoitF={x? E|x /?f(x)}. AlorsFest un sous-ensemble deE, donc il existee?Etel queF=f(e). Supposons quee?F. Alorse?f(e), donc, par d´efinition deF,e /?F, contradiction. Par cons´equent,e /?F. Mais alorse /?f(e), donc, par d´efinition deF,e?F, contradiction `a nouveau. On conclut queE etP(E) ne sont pas ´equipotents. Corollaire 19L"ensemble des parties deRn"est ni d´enombrable, ni ´equipotent `aR. Exercice 20Montrer que l"ensembleRRdes fonctions deRdansRn"est ni d´enombrable, ni´equipotent `aR.
Solution de l"exercice 20. R
Rest plus grand queR.
On code chaque sous-ensembleAdeRpar sa fonction caract´eristique, d´efinie parA(x) = 1 six?A, χA(x) = 0 sinon.
On obtient une bijection de l"ensemble des parties deRsur un sous-ensemble de l"ensemble desfonctionsRR. SiRR´etait ´equipotent `a un sous-ensemble deR, il en serait de mˆeme de l"ensemble
des parties deR, d"apr`es le th´eor`eme 2, or ce n"est pas vrai, th´eor`eme 3. On conclut queRRn"est
pas ´equipotent `aRou `a un sous-ensemble deR.53.5 L"hypoth`ese du continu
Un sous-ensemble deNqui n"est pas fini est ´equipotent `aN(proposition 4). Un sous-ensemble deRqui n"est pas d´enombrable est-il ´equipotent `aR? Ce n"est pas certain.On appelle cet ´enonc´ehypoth`ese du continu. La question de savoir si l"hypoth`ese du continu est
vraie ou non d´epend des axiomes sur lesquels on s"accorde pour fonder la th´eorie des ensembles.
Cohen a d´emontr´e en 1963 qu"il est impossible de d´emontrer l"hypoth`ese du continu, et qu"il est
impossible de d´emontrer son contraire, `a partir de l"axiomatique diteZFC(pour Zermelo-Frenkel +axiome du choix), qui est le cadre admis par la plupart des math´ematiciens. Il n"en est sans doute
pas de mˆeme si on admet les axiomes suppl´ementaires sur lesquels s"accordent les sp´ecialistes de
th´eorie des ensembles.Fin du cours n010
4 Familles sommables
On a appris `a sommer des s´eries, i.e. `a additionner tous les termes d"une suite infinie de r´eels. On
va voir quepour les s´eries `a termes positifs, l"ordre dans lequel on somme n"a pas d"importance.
En fait, on peut consid´erer des familles de nombres num´erot´es par un ensemble d´enombrable
quelconque.D´efinition 21SoitEun ensemble d´enombrable. Soit(ue)e?Eune famille de r´eelspositifs ou nuls
index´ee parE, i.e. une applicatione?→uedeEdansR+. On dit que la famille(ue)e?Eest sommablesi l"ensemble des sommes finies de la forme? e?Fo`uFest un sous-ensemble fini deE, est major´e. Si c"est le cas, on pose
e?Eu e= sup{? e?Fu e|F?E, Ffini}. Exemple 22Soit(un)n?Nune suite de r´eels positifs ou nuls. Alors(un)est une famille sommablesi et seulement si la s´erie de terme g´en´eral(un)est convergente, et les deux d´efinitions de la somme
co¨ıncident.Ce que la d´efinition 21 fait apparaˆıtre, c"est que l"ordre dans lequel on prend les termes ne joue
aucun rˆole. Exemple 23Soit(um,n)((m,n)?N×Nla suite double de r´eels positifs ou nuls d´efinie parum,n= 2 -m-n. Alors(um,n)est sommable et sa somme vaut 4. (m,n)?Fu m,n N? m=0(N? n=02 -m-n) N? m=02 -m(N? n=02 -n) N? n=02Les sommes partielles sont born´ees, donc la famille (um,n) est sommable. Elles sont inf´erieures `a 4,
N}, pour lesquelles la somme est arbitrairement proche de 4, donc la somme vaut 4. On termine par une proposition qui autorise `a sommer par paquets. 6 Proposition 24SoitEun ensemble d´enombrable, etE=? a?AEaune partition deEen sous- ensembles deux `a deux disjoints. Soit(ue)e?Eune famille sommable index´ee parE. Alors les sous-familles(ue)e?Easont sommables, la famille(sa)a?Ad´efinie parsa=? e?Eau eest sommable, et e?Eue=? a?Asa. Preuve.Soita?A. SiFest un sous-ensemble fini deEa, alors? e?Eue. Les sommes partielles de la famille (ue)e?Easont born´ees, donc cette famille est sommable, de somme s a. Soienta,a??A. SiFest un sous-ensemble fini deEa?Ea?, alors e?Fu e=? e?F∩Eau e+? e?F∩Ea?u e donc la famille (ue)e?Ea?Ea?est sommable, et? etF??Ea?sont des ensembles finis, e?Fu e+? e?F?u e=? e?F?F?u e e?Ea?Ea?u e, donc, en prenant la borne sup´erieure sur tous lesFpuis sur tous lesF?, s a+sa?=? e?Ea?Ea?u e?Eu e. Cette propri´et´e s"´etend par r´ecurrence `a tout sous-ensemble finiB={a1,...,an}deA, a?Bs e?Eu e. Cela prouve que la famille (sa)a?Aest sommable, avec? e?Eue. SoitFun sous-ensemble fini deE. AlorsFn"intersecte qu"un nombre fini desEa, lesEatels quea?B. Alors e?Fu e=? a?B? e?F∩Eau a?Bs a?As a.Par cons´equent,
e?Eu e= supF?E,Ffini?
e?Fu a?As a.On conclut que
e?Eue=? a?Asa. 7quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] nombre négatif ordre croissant
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