[PDF] Chapitre 5 - Familles sommables de nombres complexes

View - Download Chapitre 5 - Familles sommables de nombres complexes

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 5

Familles sommables de nombres complexes

Pré-requis : réviser le cours de première année sur les séries numériques.

5.1 Ensembles dénombrables

Définition 5.1Un ensemble est dit dénombrable s"il est en bijection avecN Un ensemble fini ou dénombrable sera parfois dit " au plus dénombrable ». Proposition 5.1Un ensemble est fini ou dénombrable s"il est en bijection avec une partie deN.

Un ensemble dénombrable est donc infini, mais il existe des ensembles infinis qui ne sont pas dénombrables. Montrons par

exemple queP(N)n"est pas dénombrable. Soit en effet'une application deNversP(N). Soit

A=fn2N;n62'(n)g:

Aest une partie deN. SoitndansN. Sin2AalorsA6='(n), par définition. Sin62Aalorsn2'(n), toujours par la

définition deA, doncA6='(n), puisquenappartient à l"un mais pas à l"autre. Donc pour toutnon a'(n)6=A.'n"est

donc pas surjective et par conséquent n"est pas non plus bijective.

Démonstration :

SoitEun ensemble.

- SiEest fini, de cardinaln, il est en bijection avec la partie[0;n[deN. - SiEest dénombrable, il est en bijection avecNqui est une partie deN.

- SiEest en bijection avec une partie finie deNalors il est fini. Soit on considère ceci comme un résultat du cours de

première année, soit on adapte la démonstration qui suit pour montrer queEest en bijection avec une partie[0;n[

deN.

- SiEest en bijection avec une partie infinie deNalors il est dénombrable car toute partie infinie deNest en bijection

avecN. Etablissons ce dernier résultat. SoitPune partie infinie deN. Définissons':N!Ppar récurrence en posant -'(0) = minP(existe carPest infinie donc non vide), - Pourn0'(n+ 1) = min(P f'(k);0kng)(existe carP f'(k);0kngest infini).

'est strictement croissante par construction donc injective. La surjectivité est un peu plus délicate à établir. On

prouve par récurrence surnque :

8n2NP\[0;'(n)] ='([0;n]);

on remarque ensuite que pour toutpdansP, il existentel quep2P\[0;'(n)] ='([0;n])(par exemplen=p) et donckntel quep=(k).

Remarque 5.1On retiendra de la démonstration précédente que toute partie infinie deNest en bijection croissante avecN.

C"est ce qui nous permet, lorsque l"ensemble des indicesnd"une suite(un)n0tels queunvérifie une propriétéPest infini,

d"extraire de cette suite une suite(u(n))n0telle que pour toutn u(n)vérifieP. Corollaire 5.1Toute partie d"un ensemble fini ou dénombrable est finie ou dénombrable.

Proposition 5.2Un ensembleXest fini ou dénombrable si et seulement si il existe une injection deXversN.

1

2CHAPITRE 5. FAMILLES SOMMABLES DE NOMBRES COMPLEXES

En effetest une injection deXdansNsi et seulement siest ue bijection deXsur la partie(N)deN.

En composant les injections adéquates on obtient immédiatement qu"un ensemble est fini ou dénombrable dès qu"il existe

une injection de cet ensemble dans un ensemble fini ou dénombrable.

Exercice 5.1Un ensembleXest fini ou dénombrable si et seulement si il existe une surjection deNversX

Proposition 5.3N2est dénombrable.

Démonstration :

Tout entier non nul se décompose de manière unique comme le produit d"un nombre impair et d"une puissance de2.

L"application

':N2!N (n;p)7!(2p+ 1)2m1 est donc une bijection.

Proposition 5.4Un produit cartésien fini d"ensemble finis ou dénombrables est fini ou dénombrable.

Par associativité du produit cartésien il suffit de démontrer le résultat pour deux ensembles finis ou dénombrables. Or chacun

d"eux est en bijection avec une partie deN, on en déduit - en raisonnant coordonnée par coordonnée - que le produit cartésien

est en bijection avec une partie deN2, donc deN(d"après 5.3). Il est donc fini ou dénombrable d"après la proposition 5.1.

Exercice 5.2Montrer queQ

n2Nf0;1gn"est pas dénombrable. Ceci justifie que dans le résultat précédent on se limite à un

produit fini d"ensembles dénombrables.

Exercice 5.3On numérote les éléments deN2dans l"ordre(0;0),(1;0),(0;1),(2;0),(1;1),(0;2),(3;0)...

1) Faire un dessin pour visualiser le procédé de numérotation.

2) Expliquer sommairement pourquoi on obtient bien ainsi une bijection'deN2versN.

3) Déterminer'(p;q).

4) Expliciter'1(n).

Proposition 5.5Une réunion finie ou dénombrable d"ensemble finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.

Démonstration :

Soit(Ei)i2Ila famille de ces ensembles, une injection deIdansN, et pour chaque une injection ideEidansN. Ces

injections existent d"après la proposition 5.2. Soitune bijection deN2dansN.

SoitxdansE=T

i2I, il existe unitel quexsoit dansEi, donc unktel quexsoit dansE (k). Si on choisit le plus petitk,

on définit une applicationx7!k(x)deEversN, telle que pour toutxdeE x2E (k(x)). PourxdansEil existe un unique

m(x)tel quex= k(x)(m(x)). L"application:x7!(k(x);m(x))est une injection deEdansN2etest une injection deEdansN. Eest fini ou dénombrable d"après la proposition 5.2. Exercice 5.4Vérifier soigneusement queest une injection.

Proposition 5.6L"ensembleZest dénombrable.

En effetZ=N[Z.x7! xest une bijection deNsurZqui est donc dénombrable. On applique alors la proposition 5.5.

Exercice 5.5Exhiber une bijection simple entreNetZ.

Proposition 5.7L"ensembleQest dénombrable.

PourxdeQil existe un unique élément(p;q)deZNtel quex=pq etp^q= 1. On obtient ainsi une injection deQdans ZNqui est dénombrable (comme produit fini d"ensembles dénombrables). DoncQest dénombrable. Proposition 5.8L"ensembleRn"est pas dénombrable. Remarque 5.2La démonstration n"est pas exigible.

5.2. FAMILLES SOMMABLES3

Démonstration :

Vous avez vu en première année que tout nombre réelxadmet un développement décimal propre, c"est-à-dire s"écrit de

manière unique (Il serait bon de vous assurer que vous savez démontrer ce résultat) x=a0++1X n=1a n10 n avec -a02Z, -8n2Nan2 f0;:::;9g, -8p2N9q q > p aq6= 9.

Soit'une application deNversRet pourpentier

'(p) =ap;0++1X n=1a p;n10 n le développement propre de'(p). Définissonsxpar x=+1X n=1b n10 n

oùbn= 1sian;n6= 1,bn= 0sian;n= 1.xest bien donné par un développement propre et par constructionx6='(p)pour

toutpentier. Ceci montre que'n"est pas surjective. En particulier elle n"est pas bijective.

Exercice 5.6

1) Montrer que le sous-ensembleQdeCformé des nombres qui sont racine d"un polynôme non nul à coefficients dansZ

-un tel nombre est dit algébrique- est dénombrable.

Indication : Considérer l"ensembleEpdes racines des polynômes de degré au pluspet dont les coefficients sont envaleur

absolue inférieurs àp(p2N).

2) En déduire qu"il existe des nombres complexes (et même réels) qui ne sont racine d"aucun polynôme non nul à coefficients

dansZ- un tel nombre est dit transcendant,eeten sont des exemples - .

Exercice 5.7Soitf: [a;b]!Rune fonction croissante. Montrer que l"ensemble des points où elle est discontinue est

dénombrable. Indication : ConsidérerEp=fx2]a;b[;f(x+ 0)f(x0)>1p g(p2N).

5.2 Familles sommables

5.2.1 Familles sommables de nombres réels positifs

Dans cette section un certain nombre de résultats vont être énoncés. Dans certains le mot "positifs" apparaîtra en gras.

Ceci veut dire que l"hypothèse de positivité est une hypothèse nécessaire à la proposition ou à la définition. Dans d"autres il

ne sera pas en gras. Ce sont les résultats ou les définitions qui seront généralisés ensuite aux familles de nombres complexes.

On aurait pu enlever le terme "positifs" de l"énoncé si cette positivité n"était pas utile dans la démonstration. Ils seront tous

réénoncés dans le cadre des familles de nombres complexes. Retenez bien que tous les énoncés où "positifs" est en gras ne

peuvent être utilisés qu"une fois vérifiée la positivité des termes de la famille concernée.

Définition 5.2Une famille(ui)i2Ide nombres réelspositifs, indexée par un ensemble dénombrable est sommable si et

seulement si il existe un réelMtel que pour toute partie finieJcontenue dansIon aP j2JujM.

Dans ce cas sa somme est le nombre, notéP

i2Iui, égal à : X i2Iu i= sup J2FX j2Ju j; oùFest l"ensemble des parties finies deI. Si la famille(ui)i2Ide nombres réelspositifsn"est pas sommable, alorssupJ2FP j2Juj= +1, on prendra par convention1 X i2Iu i= +1:1. Cette convention sera très utile en probabilités.

4CHAPITRE 5. FAMILLES SOMMABLES DE NOMBRES COMPLEXES

Remarque 5.3Cette définition de la sommabilité n"est pas très heureuse. Elle ne dit rien de la sommabilité d"une famille

finie. On aurait au moins du autoriserIfini ou dénombrable. Dans ce cas toute famille finie est sommable et sa somme est sa

somme usuelle et la définition devient une extension de la notion de somme finie. De plus dans les démonstrations qui vont

suivre la dénombrabilité deIne sert à rien. La bonne définition est donc la même en enlevant l"hypothèseIdénombrable.

On verra ultérieurement que cette extension possède toutes les propriétés d"associativité et de commutativité auxquelles on

pourrait s"attendre.

Exercice 5.8Montrer que si(ui)i2Iest une famille sommable (au sens étendu) de réels positifs alorsfi;ui6= 0gest fini

ou dénombrable. Ceci montrer que la convention du programme est suffisante pour démontrer tout résultat pour les familles

sommables au sens général. Mais elle crée d"inutiles complications dans la rédaction. Proposition 5.9Une suite(un)n2Nde réelspositifsest sommable si et seulement si la sérieP n0unest convergente. On a alorsX n2Nu n=+1X n=0u n: Proposition 5.10Soit(ui)i2Iet(vi)i2Ideux familles de réelspositifs. On suppose - La famille(vi)i2Iest sommable, -8i2I uivi.

Alors la famille(ui)i2Iest sommable et de plus :X

i2Iu iX i2Iv i:

Cette proposition est particulièrement importante. Vous en avez vu l"équivalent pour les séries à termes positifs en première

année, on en retrouvera l"équivalent dans l"étude des fonctions continues intégrables. Je vous recommande d"en intégrer le

concept et d"en digérer la substantifique moelle!

Proposition 5.11Soit(ui)i2Iet(vi)i2Ideux familles sommables de réels positifs alors(ui+vi)i2Iest sommable et

X i2Iu i+vi=X i2Iu i+X i2Iv i:

Théorème 5.1 (Théorème de sommation par paquets)Si(In)n2Nest une partition deI, et(ui)i2Iune famille de

réelspositifs, alors cette famille est sommable si et seulement si : - Pour tout entiernla famille(ui)i2Inest sommable, - La sérieX n0 X i2Inu i converge.

Dans ce cas on aura :

X i2Iu i=X n0 X i2Inu i

Remarque 5.4La démonstration de ce théorème est hors programme. On en trouvera néanmoins une démonstration dans

un cadre plus général que celui du programme dans le cadre du théorème 5.2.

Remarque 5.5Une nouvelle fois cet énoncé ne me satisfait pas. Il ne contient pas le cas où on désirerait partitionnerI

en un nombre fini de parties, sauf si on autorise certains éléments d"une partition à être vides. Ce n"est pas la définition

usuelle d"une partition mais cette conception est bien utile en probabilités lorsqu"on définit un système complets d"évènements.

C"est un cas particulier du théorème suivant, dont l"énoncé est aussi facile à comprendre, il s"agit de la généralisation de

l"associativité dans un groupe commutatif, et dont la démonstration n"est pas plus compliquée.

Théorème 5.2 (Théorème de sommation par paquets)Si(I)i2est une partition deI, et(ui)i2Iune famille de

réelspositifs, alors cette famille est sommable si et seulement si : - Pour toutdela famille(ui)i2Iest sommable, - La familleX i2Iu i

2est sommable.

Dans ce cas on aura :

X i2Iu i=X 2 X i2Iu i

5.2. FAMILLES SOMMABLES5

Démonstration :

- On suppose(ui)i2Isommable. - Pour toutet toutJfini contenu dansIon a X i2Ju iX i2Iu i;indépendant deJ:

Donc(ui)i2Iest sommable.

- SoitLun sous-ensemble fini de. Pour toute famille(J`)`2Lde sous-ensemble finis desI`,`2Lon aura X `2LX i2J`u iX i2Iu i: En passant à la borne supérieure sur les(J`)`2Lqui sont mutuellement indépendants : X `2LX i2I`u iX i2Iu i:

Ceci prouve que(P

i2Iui)inest sommable et que : X 2X i2Iu iX i2Iu i: - Réciproquement.

SoitJune partie finie contenue dansI, alors il existe une partie finieLcontenue danset une famille(J`)`2Lde

sous ensemble finis des(I`)`2Ltelle queJ=T `2LJ`. Alors X i2Ju i=X `2LX i2J`u iX `2LX i2I`u iX 2X i2Iu i:

Donc(ui)i2Iest sommable etX

i2Iu iX 2X i2Iu i:

Si(ui)i2Isommable alors(P

i2Iui)2est sommable et X 2X i2Iu iX i2Iu i; puis(ui)i2Iest sommable (on le savait déjà) et X i2Iu iX 2X i2Iu i; donc X i2Iu i=X 2X i2Iu i: Le même raisonnement s"applique dans l"autre cas.

5.2.2 Familles sommables de nombres complexes

Définition 5.3Une famille(ui)i2Ide nombres complexes indexée par un ensemble dénombrable est sommable si et seulement

la famille(juij)i2Iest sommable.

Remarque 5.6Comme dans le cas des familles de réels positifs, cette définition s"étend à un ensemble quelconque, en

particulier fini.

On rappelle la définition

Définition 5.4Sixest un réel la partie positive dexestx+= max(x;0)et sa partie négative estx= max(x;0). On a

x=x+xetjxj=x++x.

6CHAPITRE 5. FAMILLES SOMMABLES DE NOMBRES COMPLEXES

Proposition 5.12Une famille(ui)i2Ide nombres réels est sommable si et seulement les familles(u+ i)i2Iet(u i)i2Isont sommables. On définit alors la somme de la famille(ui)i2Ipar : X i2Iu i=X i2Iu iX i2Iu i:

Justification :

- On suppose(ui)i2Isommable, donc(juij)i2Isommable. Pour touti u+ i juij(resp.u i juij). Il résulte de la proposition 5.10 que(u+ i)i2I(resp.(u+ i)i2I) est sommable - Réciproquement si(u+ i)i2Iet(u+ i)i2Isont sommable, alors, puis quejuij=u+ i+u i, la famille(juij)i2Iest sommable d"après la proposition 5.11.

Proposition 5.13Une famille(uj)j2Ide nombres complexes est sommable si et seulement les familles(Re(uj))j2Iet

(Im(uj))j2Isont sommables. On définit alors la somme de la famille(uj)j2Ipar : X j2Iu j=X j2IRe(uj) +iX j2IIm(uj): Remarque 5.7On a du, à regret, abandonner leien indice, pour éviter la confusion aveci=p1.

Proposition 5.14L"ensemble des famille sommables de nombres complexes indexées par l"ensembleIest un sous-espace

vectoriel deCI. On le note`1(I).

L"application

:`1(I)!C (ui)i2I7!P i2Iui est linéaire.

Remarque 5.8On pourrait énoncer un théorème similaire pour les familles de nombres réels.

Théorème 5.3La suite(un)n2Nde nombres réels ou complexes est sommable si et seulement si la sérieP

n0unest absolument convergente. On a alors X n2Nu n=+1X n=0u n:

Théorème 5.4Si la famille(ui)i2Ide nombres réels ou complexes est sommable et si:I!Iest une permutation des

éléments deI, c"est-à-dire une bijection deIsur lui-même, alors la famille(u(i))i2Iest sommable et

X i2Iu i=X i2Iu (i):

Remarque 5.9Démonstration non exigible.

Théorème 5.5 (Théorème de sommation par paquets)Si(I)i2est une partition deI, et(ui)i2Iune famille som-

mable de réels ou de complexes alors : - Pour toutdela famille(ui)i2Iest sommable, - La familleX i2Iu i

2est sommable.

et on a : X i2Iu i=X 2 X i2Iu i

Remarque 5.10Ce théorème est très similaire à celui qui concerne les familles de réels positifs. Dans la pratique, il faudra

appliquer tout d"abord le théorème sur les familles de réels positifs à la famille(juij)i2Ipour obtenir la sommabilité de(ui)i2I,

puis le théorème sur les familles de nombres réels ou complexes pour sommer la famille(ui)i2Ipar paquets. Il sera courant

que les partitions deIutilisées dans les applications de ces théorèmes ne soient pas les mêmes; telle partition étant plus

adaptée pour justifier la sommabilité, et telle autre plus adaptée à la sommation. On en verra un exemple dans la sommabilité

des suites doubles.

5.3. APPLICATION DES FAMILLES SOMMABLES7

5.3 Application des familles sommables

Théorème 5.6Une famille(am;n)(m;n)2N2(on parle aussi de suite double) de réelspositifsest sommable si et seulement

si : - Pour toutnentier la sérieP m0am;nconverge, - la sérieP n0 P+1 m=0am;n converge.

Dans ce cas :

- Pour toutmentier la sérieP n0am;nconverge, - la sérieP m0 P+1 n=0am;n converge. etX (m;n)2N2a m;n=+1X n=0 +1X m=0a m;n! =+1X m=0 +1X n=0a m;n! Théorème 5.7Si la famille(am;n)(m;n)2N2de nombres réels ou complexes est sommable alors : - Pour toutnentier la sérieP m0am;nconverge, - la sérieP n0 P+1 m=0am;n converge. - Pour toutmentier la sérieP n0am;nconverge, - la sérieP m0 P+1 n=0am;n converge. etX (m;n)2N2a m;n=+1X n=0 +1X m=0a m;n! =+1X m=0 +1X n=0a m;n!

Remarque 5.11Encore une fois ce théorème sera utilisé après avoir utilisé celui sur les familles de réels positifs pour

assurer la sommabilité de(jam;nj)(m;n)2N2et donc celle de(am;n)(m;n)2N2.

Remarquons que la famille(am;n)(m;n)2N2est sommable si et seulement si la famille(an;m)(m;n)2N2est sommable, car

: (m;n)7!(n;m)est une permutation deN2. Donc pour assurer la sommabilité de(jam;nj)(m;n)2N2, il peut être intéressant

de permuter les rôles demetn.

Définition 5.5SoitP

n0unetP n0vndeux séries de nombres complexes. On appelle produit de Cauchy de ces deux séries la sérieP n0wnavec w n=nX p=0u pvnp=nX p=0u npvp=nX

0p;qn;p+q=nu

pvq: Théorème 5.8Si les deux séries de nombres complexesP n0unetP n0vnsont absolument convergentes il en est de même de leur produit de Cauchy. Celui-ci est par conséquent convergent et on a : +1X n=0 nX p=0u pvnpquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

[PDF] ensemble de nombres mathématiques

[PDF] nombre négatif ordre croissant

[PDF] famille des nombres n z d q r

[PDF] ajuster les nombres stoechiométriques

[PDF] melange stoechiométrique

[PDF] coefficient stoechiométrique definition

[PDF] stoechiométrie cours

[PDF] stoechiométrie exercices

[PDF] ax2+bx+c forme canonique

[PDF] nomenclature ester exercice corrigé

[PDF] exercice de chimie organique corrigé pdf

[PDF] test nomenclature terminale s

[PDF] nomenclature terminale s fiche

[PDF] nomenclature acide carboxylique

[PDF] nomenclature des composés organiques pdf