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Matrices et applications lineairesChapitre 22

1 Matrice d'une application lineaire 2

1.1 Matrice d'un vecteur, d'une famille de vecteurs

2

1.2 Matrice d'une application lineaire . . . . . . .

3

1.3 Compatibilite avec les operations . . . . . . .

4

1.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Noyau, image et rang d'une matrice 10

2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2 Calcul du rang . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Mathieu Mansuy - Professeur de Mathematiques en superieures PCSI au Lycee Saint Louis (Paris) mansuy.mathieu@hotmail.fr

PCSI5Lycee Saint Louis

1 Matrice d'une application lineaire

Dans tout le chapitreKdesigneraRouC,EunK-espace vectoriel de dimension nie.

1.1 Matrice d'un vecteur, d'une famille de vecteurs

Denition.SoientEunK-espace vectoriel etB= (e1;:::;en) une base deE. Soitx=x1e1++xnenun vecteur deE. On appellematrice dexdans la baseBla matrice colonne notee MatB(x) de ces coecients dans la baseB: Mat

B(x) =0

B @x 1... x n1 C ARemarques.En pratique, on identiera souvent une matrice colonne0 B @x 1... x n1 C

A2 Mn;1(K) aun-uplet

(x1;:::;xn) de ses elements dansKn.SoientEunK-espace vectoriel de dimension nienetB= (e1;:::;en) une base deE.

Alors, l'application :

B:E! Mn;1(K) (ouKn)

x7!MatB(x) est un isomorphisme deKespace vectoriel.Propriete 1 Preuve.L'application Best lineaire car les applications coordonnees dans une base le sont. Elle est de plus bijective car la donnee d'un vecteur colonneX=0 B 1... n1 C

Adetermine un et un seul vecteur de

E, a savoir le vecteurx=1e1+:::+nen.

Denition.SoientEunK-espace vectoriel etB= (e1;:::;en) une base deE. SoitF= (u1;:::;up)2Ep, une famille de vecteurs deE. On appellematrice de la famille(u1;:::;up)dans la baseBet on note MatB(F) = MatB(u1;:::;up) la matrice deMn;pdont laj-eme colonne est MatB(uj) : Mat

B(F) =0

B

BBBBB@m

1;1::: m1;j::: m1;p.........

m i;1::: mi;j::: mi;p......... m n;1::: mn;j::: mn;p1 C

CCCCCAouuj=nX

k=1m i;jeipour tout 1jp:Exemples. ?SiB= (e1;:::;en) est une base deE, MatBB=In. 2

PCSI5Lycee Saint Louis

?ConsideronsE=K3,Bsa base canonique etx1= (1;2;3),x2= (2;0;1) vecteurs deE. Mat

B(x1;x2) =0

@1 2 2 0 3 11 A

Exercice.

Ecrire la matrice des polyn^omesPi(X) = (X+a)ipour tout 0indans la base canonique (1;X;:::;Xn) deKn[X].

1.2 Matrice d'une application lineaire

Rappel.Une application lineaireu2 L(E;F) est completement determinee par l'image d'une base deE. Denition.SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimension niepetn,B= (e1;:::;ep) une base deE,

C= (f1;:::;fn) une base deFetu2 L(E;F).

On appellematrice deudans les basesBetC, notee MatB;C(u) la matrice MatC(u(e1);:::;u(ep)) de la famille (u(e1);:::;u(ep)) dans la baseC. Mat

B;C;(u) =0

B

BBBBB@m

1;1::: m1;j::: m1;p.........

m i;1::: mi;j::: mi;p......... m n;1::: mn;j::: mn;p1 C

CCCCCAouu(ej) =nX

k=1m

i;jfipour tout 1jp:Remarque.dim(E) = nombre de colonnes de la matrice, dim(F) = nombre de lignes de la matrice.

Exemple.SoientB= (e1;e2;e3) est une base deE,C= (f1;f2) est une base deF, etu2 L(E;F) denie par : u(e1) = 5f1+ 6f2;u(e2) =2f1+ 3f2;u(e3) = 10f2:

Alors on a Mat

B;C(u) =52 0

6 3 10

Exemple.Consideronsu:R2!R3;(x;y)7!(x+ 2y;2x+y;2y), etBla base canonique deR2, B

0= ((1;2);(1;1)),Cla base canonique deR3. On a :

Mat

B;C(u) =0

@1 2 2 1 0 21 A et MatB0;C(u) =0 @5 1 41
421
A Remarque.La matrice d'une application lineaire depend des bases choisies au depart et a l'arrivee ! Cas d'un endomorphisme.E=F, on prend alors la m^eme base au depart et a l'arriveeB=C, et pour toutu2 L(E), on note plus simplement MatB(u) = MatB;B(u), matrice deudans la baseB.

Exemple.MatB(IdE) =In.

Exemple.SoientFetGdeux sous-espaces supplementaires deE,BF= (e1;:::;er),BG= (er+1;:::;en) des bases respectives deFetG. NotonsB1= (BF;BG), base deEadaptee aE=FG. 3

PCSI5Lycee Saint Louis

?Soitple projecteur surFdans la direction deG. Alors : Mat

B1(p) =Ir0r;nr

0 nr;r0nr;nr ?Soitsla symetrie par rapport aFdans la direction deG. Alors : Mat

B1(s) =Ir0r;nr

0 nr;rInr Dans la baseB2= (BG;BF), ces endomorphismes ont pour matrices : Mat

B2(p) =0nr;nr0nr;r

0 r;nrIr ; Mat

B2(s) =Inr;nr0nr;r

0 r;nrIr Cas d'une forme lineaire.Soit'2 L(E;K) une forme lineaire,B= (e1;:::;en) une base deE. On prend (1) pour base deK. En notantaj='(ej) pour toutj, on a donc : Mat

B(') = (a1;:::;an)2 M1;n(K):SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimension nie rapportes a des basesBetC, et

u2 L(E;F). SoitXla matrice des coordonnees dex2Edans la baseB,Yla matrice des coordonnees dey=u(x) dansCetA= MatB;C(u). On a :

Y=AX:Propriete 2

Preuve.NotonsB= (e1;:::;ep),C= (f1;:::;fn),A= (ai;j) = MatB;C(u) et (x1;:::;xp) (resp. (y1;:::;yn)) les coordonnees dex(resp.y) dansB(resp.C). On a

8>>>>><

>>>>:y=u(x) =u(pP j=1x jej) =pP j=1x ju(ej) =pX j=1x j nX i=1a i;jfi! =nX i=10 @pX j=1a i;jxj1 A fi y=nX i=1y ifi: Par unicite des coordonnees d'un vecteur dans une base, on en deduit que pour touti2[j1;nj], y i=pX j=1a i;jxj. Exemple.Consideronsu:R2!R3;(x;y)7!(x+ 2y;2x+y;2y). On a : u(1;1) =0 @1 2 2 1 0 21 A 1 1 =0 @3 3 21
A

1.3 Compatibilite avec les operationsSoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimension nies, munis respectivement des bases

BetC. Pour tout (u;v)2 L(E;F)2et (;)2K2,

Mat

B;C(u+v) =MatB;C(u) +MatB;C(v):Propriete 3

4

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Preuve.NotonsB= (e1;:::;ep) etC= (f1;:::;fn), MatB;C(u) =A= (ai;j), MatB;C(v) =B= (bi;j) et Mat

B;C(u+v) =C= (ci;j). Pour toutj2[j1;pj], on a :

(u+muv)(ej) = nX i=1a i;jfi! nX i=1b i;jfi! =nX i=1(ai;j+bi;j)fi

Or, (u+muv)(ej) =nX

i=1c i;jfi. Par unicite des coordonnees d'un vecteur dans une base, on en deduit que pour touti2[j1;nj],ci;j=pX

j=1(ai;j+bi;j), d'ou le resultat.SoitEetFdeuxK-espaces de dimensions nies (respectivementpetn), munis respec-

tivement des basesB,C. Alors l'application :B;CL(E;F)! Mn;p(K) u7!MatB;C(u)est un isomorphisme deK-espaces vectoriels.Propriete 4 Preuve.Notons toujoursB= (e1;:::;ep) etC= (f1;:::;fn). La linearite de B;Cdecoule de la proposition precedente. Elle est de plus bijective, car pour toute matriceA= (ai;j)2 Mn;p(K), on sait

1qu'il existe une unique application lineairef2 L(E;F) telle que :

81jp; f(ej) =nX

i=1a i;jfi: Consequence.SiEetFsont de dimension nie, alorsL(E;F) est de dimension nie, et : dim(L(E;F)) = dim(E)dim(F): Preuve.On avait deja obtenu ce resultat dans un precedent chapitre, on le retrouve ici puisque

L(E;F)' Mn;p(K) et que dim(Mn;p(K)) =np= dim(E)dim(F).SoientE,FetGtroisK-espaces vectoriels de dimension nies munis respectivement des

basesB,B0,B00. Soitu2 L(E;F) etv2 L(F;G). Alors : Mat

B;B00(vu) = MatB0;B00(v)MatB;B0(u):Propriete 5

Preuve.NotonsB= (e1;:::;ep),B0= (e01;:::;e0q) etB00= (e001;:::;e00n),A= (ak;j)1kq;1jp= Mat B;B0(u),B= (bi;k)1in;1kq= MatB0;B00(v) etC= (ci;j)1in;1jp= MatB;B00(vu). Pour tout j2[j1;pj], on a (vu)(ej) =nX i=1c i;je00i. D'autre part : vu(ej) =v qX k=1aquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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