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Universit

e de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre

17-18semestre 1

4 Espaces vectoriels

Dans cette section,Kdesignera un corps, par exempleQ,RouC.

4.1 Introduction

UnK-espace vectoriel est un ensembleEmuni d'une loi d'addition qui permet d'ajouter deux elements de

E(appeles vecteurs) et d'une multiplication qui permet de multiplier un element deEpar un element deK

(appele scalaire). Autrement dit, un espace vectoriel est un espace dans lequel on peut faire des combinaisons

lineaires : siu1;:::;up2Eet1;:::;p2K, le vecteur1u1+2u2++pupa un sens et appele une combinaison lineaire deu1;u2;:::;up.

SoitEunK-espace vectoriel. Une familleu1;:::;upde vecteurs deEest dite libre, si la seule combinaison

lineaire nulle deu1;:::;upest la combinaison 0u1++0up. Elle est dite generatrice, si tout vecteur deEest

combinaison lineaire deu1;:::;up. La familleu1;:::;upest une base, si c'est une famille libre et generatrice.

Dans ce cas, tout vecteurudeEs'ecrit de facon unique comme combinaison lineaire de la famille (u1;:::;up).

Les coecients ce cette combinaison sont alors appeles les coordonnees du vecteurudans la base (u1;:::;up).

Supposons qu'un espace vectorielEpossede une base denelements. Fort de notre savoir sur la resolution

des systemes lineaires homogenes, nous montrons qu'une famille libre anou moins denvecteurs. Il en resulte

que toute base deEa le m^eme nombre d'elements appele la dimension deE.

Objectif

Conna^tre les denitions de base de la theorie :K-espace vectoriel , sous-espace vectoriel, combinaisons

lineaires, vecteur nul, famille libre, famille liee, famille generatrice, base, coordonnees d'un vecteur dans

une base, matrice de passage ... 1 SoitEest unK-espace vectoriel muni d'une base, considerons une famille de vecteurs donnes par leurs coordonnees dans cette base : Savoir decider si cette famille est libre ou si c'est une base deE. SoitEest unK-espace vectoriel muni de deux basesBetB0, on suppose que les vecteurs de la baseB0 sont donnes par leurs coordonnees dans la baseB: savoir determiner les coordonnees d'un vecteur dans

une base a l'aide de ses cordonnees dans l'autre base, savoir determiner les coordonnees des vecteurs de

la baseBdans la baseB0, savoir donner la matrice de passage de la baseBa la baseB0, savoir donner la matrice de passage de la baseB0a la baseB.

4.2 Denition, exemples

Denition 4.2.1UnK-espace vectorielEest la donnee d'un ensembleEmuni de deux lois : une loi interne dite d'addition et notee+, c'est a dire de l'application :

EE!E ;(u;v)7!u+v

une loi externe dite de multiplication par un scalaire et notee multiplicativement, c'est a dire de l'application :

KE!E ;(;u)7!u

asujetties aux conditions a, b, c suivantes : a) L'addition est une loi de groupe commutatif : i) Associativite :8u;v;w2E ;(u+v) +w=u+ (v+w):Cet element est alors noteu+v+w.

ii) Existence d'un element neutre : il existe un element note02E(ou~0, ou encore0E) tel que pour tout

u2E:u+ 0 = 0 +u=u : iii) Existence d'un oppose : pour tout elementu2E, il existe un element noteu2E, appele oppose de u, tel queu+ (u) = (u) +u= 0: 2 iv) Commutativite :8u;v2E ; u+v=v+u : b) La loi externe verie pour toutu2Eet;2K:(u) = ()uet1u=uou1est le neutre de la multiplication deK. c) Les deux lois verient entre elles pour toutu;v2Eet;2K: (+)u=u+uet(u+v) =u+v : Les elements d'unK-espace vectorielEsont appeles vecteurs deEet les elements du corpsKsont appeles scalaires.

Exemples

1) Le corpsKlui m^eme muni de son addition et de sa multiplication est unK-espace vectoriel.

2) L'ensembleKndesn-uplets d'elements deKest unK-espace vectoriel pour ses operations d'addition et

de multiplication par un element deK: (x1;:::;xn) + (y1;:::;yn) = (x1+y1;:::;xn+yn) et(x1;:::;xn) = (x1;:::;xn):

3) L'ensembleMn;pdes matrices anlignes etpcolonnes a coecients dans le corpsKest unK-espace

vectoriel pour ses operations d'addition et de multiplication par un element deK: (ai;j) + (bi;j) = (ai;j+bi;j) et(ai;j) = (ai;j):

4) Le corpsCdes nombres complexes est unR-espace vectoriel muni de son addition et de la mutliplication

naturelle par les nombres reels.

5) L'ensemble des applications d'un ensembleXvers unK-espace vectorielEou sif:X!Eetg:X!E

sont des applications deXversEet2K, les applicationsf+getfsont : f+g:X!E ; x7!(f+g)(x) =f(x) +g(x); f:X!E ; x7!(f)(x) =f(x): 3

4.3 Sous-espaces vectoriels

Dans cette sous-section,Edesignera unK-espace vectoriel. Denition 4.3.1Une sous-ensemble non videFdeEest appele sous-espace vectoriel deEsiFest stable pour l'addition et pour la multiplication par un scalaire, c'est a dire si :

8u;v2F ;82K:u+v2Fetu2F :

Ainsi, siFest un sous-espace vectoriel deE, les deux applications suivantes :

FF!F ;(u;v)7!u+vetKF!F ;(;u)7!u

sont bien denies. Le lecteur veriera qu'elles munissentFd'une structure deK-espace vectoriel qui sauf

precision sera la structure deK-espace vectoriel consideree surF. L'addition dansFest en particulier une

loi de groupe commutatif. Il resulte de la denition??que tout sous-espace vectorielFdeEcontient 0Eet que 0Ereste le neutre pour l'addition deF. On notera egalement que siu2F, ouFest un sous-espace vectorielFdeE, l'oppose u= (1)udeudansEappartient aFet est aussi son oppose dansF.

Premiers exemples

1)Eet l'ensemblef0Egreduit au zero deEsont des sous-espaces vectoriels deE.

2) L'ensemble des nombres reels est un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel des nombres complexes.

Proposition 4.3.2L'intersection de sous-espaces vectoriels d'un espace vectorielEest un sous-espace vec-

toriel deE.

Preuve :Montrons par exemple que l'intersection de deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectorielE

est un sous-espace vectoriel deE. SoitF1etF2deux sous-espaces vectoriels deE. Tout d'abord 0E2F1, car

F

1est un sous-espace vectoriel deE. De m^eme, 0E2F2. Ainsi, 0E2F1\F2etF1\F2est donc non vide.

Soitu;v2F1\F2et2K. En particulier,uetvsont deux elements deF1. CommeF1est un sous-espace vectoriel deE:u+v2F1etu2F1. De m^eme, on montre queu+v2F2etu2F2. Ainsi,u+v2F1\F2 etu2F1\F2. Cela montre queF1\F2est un sous-espace vectoriel deE. 4 Proposition 4.3.3Les solutions d'un systeme depequations lineaires homogenes (c.a.d. sans seconds membres) anvariables a coecients dans un corpsKforment un sous-espace vectoriel deKn. Preuve :Commencons par montrer que les solutions d'une seule equation lineaire homogene anvariables a coecients dans un corpsKforment un sous-espace vectoriel deKn. Soita1;:::;an2K, designons parF le sous-ensemble deKnconstitue des solutions de l'equation lineaire : a

1x1+a2x2++anxn= 0:

Montrons queFest un sous-espace vectoriel deKn. Tout d'abord,Fest non vide puisqu'il contient 0 = (0;0;:::;0) le neutre de l'addition deKn. Soitx= (x1;x2;:::;xn),y= (y1;x2;:::;yn) deux elements deF et2K. Ainsi : ()a1x1+a2x2++anxn= 0 eta1y1+a2x2++anyn= 0:

Rappelons que :

(x1;:::;xn) + (y1;:::;yn) = (x1+y1;:::;xn+yn) et(x1;:::;xn) = (x1;:::;xn):

Il resulte deque :

a

1(x1+y1) +a2(x2+y2) ++an(xn+yn) = (a1x1+a1y1) + (a2x2+a2y2) ++ (anxn+anyn)

= (a1x1+a2x2++anxn) + (a1y1+a2y2++anyn) = 0 + 0 = 0:

D'autre part :

a

1(x1) +a2(x2) ++an(xn) =(a1x1+a2x2++anxn)

=0 = 0: On a ainsi montre quex+yetxsont des elements deF. Donc,Fun un sous-espace vectoriel deKn. Traitons maintenant le cas d'un systeme d'equations lineaires. L'ensemble des solutions d'un systeme

d'equations lineaires est l'intersection des solutions de chaque equation de ce systeme, la proposition se

deduit alors de la proposition??. 5 Denition 4.3.4Soitu1;:::;up2Eet1;:::;p2K. Le vecteur1u1+2u2++pupest appele une

combinaison lineaire deu1;u2;:::;up. On noteV ect(u1;u2;:::;up)l'ensemble des combinaisons lineaires de

u

1;u2;:::;up.

Proposition 4.3.5Soitu1;:::;up2E, alorsV ect(u1;u2;:::;up)est un sous-espace vectoriel deEappele le sous-espace vectoriel engendre paru1;:::;up. Preuve :On a 0E= 0u1+ 0u2++ 0up. Donc, 0E2V ect(u1;u2;:::;up) qui est donc non vide. Soit v=1u1++pupetw=1u1++pupoui;i2Kdeux combinaisons lineaires deu1;:::;upet soit 2K: v+w= (1u1++pup) + (1u1++pup) = (1+1)u1++ (p+p)up v=(1u1++pup) = (1)u1++ (p)up: Ainsi,v+wetvsont des combinaisons lineaires deu1;u2;:::;up. On a ainsi montre queV ect(u1;u2;:::;up)

est non vide et stable par addition et multiplication par un scalaire. C'est donc un sous-espace vectoriel de

E. Remarque 4.3.6On notera en particulier que siu1;:::;upappartiennent a un sous-espace vectorielFde E, toute combinaison lineaire deu1;:::;upest un vecteur deF. Ainsi,vect(u1;:::;up)est un sous-espace

vectoriel deF. Plus generalement, on peut noter qu'un sous-espace vectoriel d'un sous-espace vectorielFde

Eest un sous-espace vectoriel deE.

4.4 Famille libre, famille generatrice et base

Dans cette sous-section,Edesignera unK-espace vectoriel.

Denition 4.4.1Soitv1;v2;:::;vp2E.

a) On dit que la famille(v1;v2;:::;vp)est une famille generatrice deE, si tout vecteur deEest combinaison

lineaire dev1;v2;:::;vp. Autrement dit, siE=V ect(v1;v2;:::;vp)ou encore si pour toutv2E, il existe

1;:::;p2Ktel que :

v=1v1+2v2++pvp: 6 b) On dit que la famille(v1;v2;:::;vp)est libre, si pour tout1;:::;p2K:

1v1+2++pvp= 0 =)1=2=:::=p= 0:

Une famille non libre est dite liee.

c) On dit que la famille(v1;v2;:::;vp)est une base deE, si cette famille est libre et generatrice.

On notera que dire que la famille (v1;v2;:::;vp) est liee, c'est dire qu'il existe une "relation non triviale"

entre lesvi, c'est a dire des elements1;:::;p2Knon tous nuls tels que :

1v1+2++pvp= 0:

Exemples

1) Les vecteurse1= (1;0;:::;0),e2= (0;1;0;:::;0), ...,en= (0;0;:::;0;1) deKnforment une base du

K-espace vectorielKnappelee base canonique deKn.

2 ) Soit 0kn, 0lmetEk;lla matrice deMn;m(K) dont le seul terme non nul vaut 1 place a la

k-ieme ligne etl-ieme colonne. Autrement dit, siai;jest le terme general deEk;l,ai;j= 1 si (i;j) = (k;l) et

0 sinon. Alors, la famille (Ek;l)0kn;0lmforme une base deMn;m(K). on peut noter que cette base anm

elements.

3 ) Les nombres complexes 1 etiforment une base duR-espace vectorielCdes nombres complexes.

Notons qu'une famille reduite a un vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul. ExerciceConsiderons les vecteursv1= (2;1;0;0;0),v2= (3;4;1;0;0)v3= (1;3;7;2;17) deR5. Mon- trer que la famille (v1;v2;v3) est une famille libre deR5.

SolutionSoita;b;c2R, on remarque que :

av

1+bv2+cv3= (2a+ 3b+c;a+ 4b+ 3c;b+ 7c;2c;17c):

7 Ainsi, siav1+bv2+cv3= 0R5, les reelsa;b;csont solutions du systeme : 8>>>< >>:2a+ 3b+c= 0 a+ 4b+ 3c= 0 b+ 7c= 0

17c= 0:

On en deduitc= 0, puisb= 0 et enna= 0. Cela montre que (v1;v2;v3) est une famille libre deR5. ExerciceConsiderons les vecteursv1= (1;2),v2= (2;1)v3= (1;1) deR2. Montrer que la famille (v1;v2;v3) est une famille liee deR5. SolutionNous devons montrer qu'il existe trois reelsa;b;cnon tous nuls tels que : (E)av1+bv2+cv3= 0R3: Allons y et cherchons tous les triplets de reels (a;b;c) tels que : av

1+bv2+cv3= 0R3:

En remplacant lesvipar leurs valeurs, on trouve :

av

1+bv2+cv3= (a2b+c;2a+b+c):

Ainsi, l'equationEest equivalente au systeme d'equations lineaires : (E0)"a2b+c= 0 (E1)

2a+b+c= 0 (E2):

Resolvons ce systeme en appliquant avec soin l'algorithme de resolution. Le systemeEa m^eme solution que

le systeme triangule : (E00)"a2b+c= 0 (E1)

5bc= 0 (E22E1):

8

La variablecest la seule variable libre de ce systeme triangule. En remontant les equations, on trouve que

l'ensembleSdes triplets cherches est :

S=fc(35

;15 ;1) tel quec2Rg:

Ce syteme a une innite de solutions. Il a donc au moins une solution (a;b;c) aveca;b;cnon tous nuls (dite

solution non triviale). Donc, la famille (v1;v2;v3) est liee. Par exemple, en prenantc= 1, on obtient la

solution non triviale : (35 ;15 ;1). Ansi : 35
v1+15 v2+v3= 0:

Proposition 4.4.2L'algorithme de resolution d'un systeme d'equations lineaires homogenes denvariables

a coecients dansKfournit une base de l'espace vectoriel de ses solutions. Preuve :Un systeme d'equations lineaires homogenes a au moins (0;:::;0) comme solution. Partant d'un

systeme d'equations lineaires homogenesE, l'algorithme de trianguation de Gauss fournit donc un systeme

d'equations lineaires homogenes trianguleE0ayant les m^emes solutions queE. Soitx1;:::;xnles variables

de ce syteme, suivant la proposition 3.7.3 du chap^tre 3, l'algorithme de resolution exprime l'espace vectoriel

Fdes solutions deEcomme l'ensemble des combinaisons lineaires de vecteurs (vi)i2IouIest l'ensemble des

indices des variables libres du systeme trianguleE0. On constate que pour toutxi2Keti2I, lai-eme coordonnee deX i2Ix iviestxi. Ainsi, l'identite : X i2Ix ivi= 0

implique que tous les coecientsxisonts nuls. La famille (vi)i2Iest donc libre. Elle engendre l'espace des

solutions deE. C'est donc une base du sous-espace vectoriel deKnforme des solutions deE. 9

ExerciceDeterminer une base de l'espace vectoriel des solutions du systeme d'equations lineaires homogenes

a coecients reels : (E)(x

1+x2+x3+x4= 0 (E1)

x

1+x2+ 2x3+ 18x4= 0 (E2):

SolutionLes variables sontx1;x2;x3;x4ordonnees naturellement. Les deux equations de (E) sont d'ordre

1. Le systeme (E) est donc ordonne. Faisons tourner l'algorithme de triangulation. Le systeme (E) a m^emes

solutions que le systeme : (E0)(x

1+x2+x3+x4= 0 (E1)

x

3+ 17x4= 0 (E02=E2E1):

Ce systeme est triangule car 1 =v(E1)< v(E02) = 3. Les variables libres de (E0) sont doncx2etx4. Resolvons (E0). La derniere equation donne :x3=17x4. En remplacant dans la premiere, on obtient : x

1=x2+ 16x4. Ainsi, nous obtenons l'ensembleFdes solutions de (E) :

F=f(x2+ 16x4;x2;17x4;x4) tels quex2;x42Rg

=fx2(1;1;0;0) +x4(16;0;17;1) tels quex2;x42Rg: Ainsi,F= vect((1;1;0;0);(16;0;17;1)). La famille ((1;1;0;0);(16;0;17;1)) est libre. En eet, si x

2(1;1;0;0) +x4(16;0;17;1) = (x2+ 16x4;x2;17x4;x4) = 0;

c'est quex2=x4= 0. La famille (1;1;0;0);(16;0;17;1) generatrice deFet libre est donc une base deF.

4.5 Coordonnees d'un vecteur dans une base

Dans cette sous-section,Edesignera unK-espace-vectoriel muni d'une baseB= (e1;e2;:::;en). Soitu2E, par denition d'une base deE, il existe des scalaires1;:::ntels queu=1e1++nen.

Montrons que cette famille de scalaires1;:::nest unique. Pour ce faire, soit01;:::0nune deuxieme famille

de scalaires telle queu=01e1++0nen. Par dierence, on obtient : (101)e1++ (n0n)ep= 0: 10 Comme la famille (e1;e2;:::;en) est libre, il en resulte :1=01, ...,n=0n. D'ou l'unicite de la decomposition deucomme combinaison lineaire de (e1;e2;:::;en). On peut donc donner la denition : Denition 4.5.1(coordonnees d'un vecteur dans une base) SoitB= (e1;e2;:::;en)une base d'unK-espace- vectorielE. Tout vecteurudeEs'ecrit de facon uniqueu=x1e1++xnenoux1;:::;xn2K. Les scalaires x

1;:::;xns'appellent les coordonnees deudans la baseB. Le scalairexiest appele lai-eme coordonnee deu

dans la baseB. SiEpossede une baseBdenelements, notons que deux vecteurs deEsont egaux si et seulement si leurs ncoordonnees dansBsont egales : "une identite vectorielle equivaut anegalites scalaires". Proposition 4.5.2Soitu;v2E,(x1;:::;xn)les coordonnees deudans la baseB,(y1;:::;yn)les coor- donnees devdans la baseBet soit2K. Alorsu+va pour coordonnees(x1+y1;:::;xn+yn)dans la baseBetua pour coordonnees(x1;:::;xn)dans la baseB. Preuve :Par denition desxietyi:u=x1e1++xnen; v=y1e1++ynen. Il en resulte queu+v= (x1+y1)e1++(xn+yn)en. Ainsiu+va bien pour cordonnees (x1+y1;:::;xn+yn) dans la baseB. De m^eme,u= (x1)e1++(xn)en. Etua bien pour coordonnees (x1;:::;xn) dans la baseB. ExemplesSoit (x1;:::;xn)2Kn. SiB= (e1;:::;en) est la base canonique deKn, on observe que : (x1;:::;xn) =x1e1+x2e2++xnen

Ainsi, (x1;:::;xn) sont les coordonnees de (x1;:::;xn) dans la base canonique deKn. C'est le seul exemple

ou un vecteur ne diere pas de ses coordonnees ...

4.6 Dimension d'un K-espace vectoriel

Proposition 4.6.1SoitEunK-espace-vectoriel qui possede une base denvecteurs, alors toute famille de plus den+ 1vecteurs deEest liee. 11

Preuve :SoitB= (e1;e2;:::;en) la base deEdont on suppose l'existence. Pour demontrer la proposition, il

sut de montrer que toute famille (u1;:::;un+1) den+1 vecteurs deEest liee. Designons par (a1;j;:::;an;j)

les coordonnees deujdans la baseB. Nous devons montrer qu'il existea1;:::;an+12Knon tous nuls tels que : ()a1u1++ajuj++an+1un+1= 0: Suivant la proposition??, les coordonnees dea1u1+a2u2++an+1un+1dans la baseBecrites en colonnes sont : a 10 B B@a

1;1...

a n;11 C

CA++aj0

B B@a

1;j...

a n;i1 C

CA++an+10

B B@a

1;n+1...

a n;n+11 C CA:

Ainsi, l'egaliteequivaut a l'egalite :

()2 6 4a

1;1a1++a1;jaj++a1;n+1an+1= 0

a n;1a1++an;jaj++an;n+1an+1= 0: Ainsi, nous devons montrer que le systeme denequations homogenes den+ 1 variables : ( )2 6 4a

1;1x1++a1;jxj++a1;n+1xn+1= 0

a n;1x1++an;jxj++an;n+1xn+1= 0:

admet une solution distincte de (0;:::;0). Suivant l'algorithme de resolution, a m^eme solution q'un

systeme triangule dem < n+ 1 equations lineaires homogenes anvariables. Ce systeme admet donc au

moins une variable libre et donc a plus d'une solution et m^eme une innite puisque les corpsKque nous

considerons ont un nombre inni d'elements. Theoreme 4.6.2(denition de la dimension) SoitEunK-espace-vectoriel qui possede une base den vecteurs, alors toute base deEanelements. Cet entiern, notedimKE, est appele la dimension deE. 12

Preuve :Sinon,Eadmettrait une famille libre ayant un nombre d'elements strictement plus grand que celui

d'une base deE.

Proposition 4.6.3SoitEunK-espace-vectoriel non reduit a zero admettant une famille generatrice. Alors,

on peut extraire de cette famille generatrice une base deE. Preuve :Soit (v1;:::;vp) cette famille generatrice. Casp= 1: Le vecteurv1engendreE. CommeEest non reduit a zero, le vecteurv1n'est pas nul. La famille reduite a l'elementv1est donc libre. C'est donc une base deE.

Casp >1: Si la famille (v1;:::;vp) est libre, puisqu'elle est supposee generatrice, c'est une base deE.

Sinon, il existea1;:::;ap2Knon tous nuls tels que : a

1v1+a2v2++apvp= 0:

Quitte a renumeroter la famille, on peut supposer quea1est non nul. On en deduit : v 1=a2a 1v

2 apa

1v p:

Par hypothese, tout vecteurudeEs'ecrit :

u=1v1++pvp; ou1;:::;p2K. D'ou : u= (21a 2a

1)v2++ (p1a

pa 1)vp:

Ainsi, la famille (v2;:::;vp) est generatrice. En iterant ce procede, on obtient une base deEextraite de la

famille (v1;:::;vp).

Proposition 4.6.4SoitEunK-espace-vectoriel de dimensionn. Alors toute famille libre peut ^etre completee

en une base. 13 Preuve :Soit (v1;:::;vp) une famille libre de vecteurs deE. On sait alors quepn(proposition??). Siquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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