Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base
C'est comme dans R3 sauf qu'ici les coefficients sont des nombres complexes. Indication pour l'exercice 5 ?. Il suffit de montrer que la famille est libre (
MyPrepa
Montrer que ( tM1
Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Problème : montrer que ? est génératrice. Soit un vecteur quelconque de . La famille ? ? { } à + 1 éléments devient liée vu.
Étudier si une famille est une base
si on sait le faire calculer le déterminant de cette famille de vecteurs. Etudier un syst`eme linéaire. Pour démontrer que la famille est libre dans le cas o`u
Familles libres génératrices
http://math.univ-lille1.fr/~doeraene/svsem4/bases.pdf
Fiche méthode 3 : Montrer quune famille est libre 1 La méthode
Montrer qu'une famille est libre. Dans toute la suite E désigne un espace vectoriel (pas forcément de dimension finie). 1 La méthode générale.
Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et
18-Mar-2015 Montrer que cette famille est une base de K2[X]. Exercice 25 : Pour k ? {0...n}; on pose Pk = (X + 1)k+1 ? Xk ...
1 Montrer quune somme est directe
Pour montrer que les sous-espaces F1···
IV. Applications linéaires
Pour montrer que f est une application linéaire il suffit de vérifier que Soit v un vecteur de E
Les matrices
Comment montrer qu'un ensemble de matrices est un sous espace vectoriel de Comment montrer qu'une famille de vecteurs est une base à l'aide de.
[PDF] Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base - Exo7
1 Pour montrer que la famille {v1v2v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice (a) Montrons que la famille {v1v2
[PDF] Dimension finie - Exo7 - Cours de mathématiques
Le nombre de vecteurs dans une base s'appelle la dimension et nous verrons Montrer qu'une famille de vecteurs contenant une famille génératrice est
[PDF] Étudier si une famille est une base - Annette Paugam
Etudier un syst`eme linéaire Pour démontrer que la famille est libre dans le cas o`u E est de dimension finie n on se ram`ene `a un syst`eme linéaire En
[PDF] 1 Famille libre
(1) Montrer qu'une famille de vecteurs contenant une famille génératrice est encore une famille génératrice de E (2) Montrer que si f : E ? F est une
[PDF] Familles libres génératrices bases
Par exemple la famille {(1 1 1) (1 2 3) (1 2 4)} est une base de R3 En effet nous avons déjà vu que c'était une famille génératrice de R3 ; de plus le
[PDF] Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Ceci montre que est une famille libre est donc une base de ?1 2 Étude des suites (
[PDF] MATHS ESPACES VECTORIELS 1 MyPrepa
Montrer que ( tM1 tMp) est une famille libre de Mn(R) Familles libres génératrices et bases 6 Page 8 Corrigé Notons
[PDF] Fiche méthode 3 : Montrer quune famille est libre - Florian HECHNER
Montrer qu'une famille est libre Dans toute la suite E désigne un espace vectoriel (pas forcément de dimension finie) 1 La méthode générale
[PDF] 4 Espaces vectoriels
3 ) Les nombres complexes 1 et i forment une base du R-espace vectoriel C des nombres complexes Notons qu'une famille réduite `a un vecteur est libre si et
[PDF] Chapitre 4 Base et génératrice
Système lié ou libre Soient v1··· vm un système de vecteurs On se pose la question : Est-ce que le vecteur 0 est une combinaison linéaire des vi ?
Comment justifier qu'une famille est une base ?
Une famille de vecteurs de E est une base de E si c'est une famille à la fois génératrice de E et libre. De façon équivalente, une famille est une base de l'espace vectoriel E quand tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une combinaison linéaire de vecteurs de cette base.Comment montrer que les vecteurs forment une base ?
Si , et sont trois vecteurs non coplanaires, alors ils constituent une base de l'espace. On note cette base . Soit une base de l'espace, alors, pour tout vecteur de l'espace, il existe un unique triplet (x ; y ; z) de réels tels que . Dans ce cas, on dit que l'on a décomposé en fonction de , et .Comment montrer qu'une famille est liée ?
Une famille à deux éléments ou plus est liée si et seulement si un des vecteurs de la famille peut s'exprimer comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.- L'espace vectoriel R 3 a pour dimension 3 . La partie { u , v , w } contient exactement trois vecteurs, aussi, pour démontrer que ( u , v , w ) est une base de R 3 , il suffit de démontrer que la partie { u , v , w } est une partie libre ou bien que la partie { u , v , w } est une partie génératrice de R 3 .
Base raisonn´ee d"exercices de math´ematiques (Braise)Alg`ebre lin´eaireM´ethodes et techniques des exercices
Etudier si une famille est une baseSoitEunK-espace vectoriel.Comment d´ecider si une famille donn´ee de vecteurs deEest une base deE?-La premi`ere question qu"il faut se poser c"est :
Est-ce que la dimension deEest connue et finie?-Si non, on doit revenir `a la d´efinition -Si oui, on commence par regarder le nombre d"´el´ements de la famille : -Si ce nombre est diff´erent de la dimension, cette famille ne peut ˆetre une base;-Si ce nombre est ´egal `a la dimension, il suffit de v´erifier que cette familleest libre ou g´en´eratrice.-Autre possibilit´e : utiliser une application lin´eaire bijective
Nombre de vecteurs ´egal `a la dimension : famille libre ou g´en´eratrice? Pour cela, si les vecteurs sont donn´es par leurs composantes dans une base connue on peut Se ramener `a ´etudier un syst`eme lin´eaire ouEchelonner la famille de vecteurs
ou si on sait le faire, calculer le d´eterminant de cette famille de vecteurs.Etudier un syst`eme lin´eaire
Pour d´emontrer que la famille est libre dans le cas o`uEest de dimension finien, onse ram`ene `a un syst`eme lin´eaire, En effet, soit (e1,...,en) une base deEet une famille finie (u1,...,un) de vecteurs deEdonn´es par leurs coordonn´ees dans la base (e1,...,en) deE.Soientλ1,...,λndes scalaires tels que
juj= 0 Il s"agit de d´emontrer que lesλisont tous nuls. Cette ´equation vectorielle est ´equivalente `a un syst`eme lin´eaire d"inconnuesλ1,...,λn.1Base raisonn´ee d"exercices de math´ematiques (Braise)Alg`ebre lin´eaireDire que(u1,...,up)est une famille libre deE, c"est dire que
la seule solution du syst`eme est pour touti,λi= 0. Exemple.La famille (u,v,w) o`uu= (1,2,1),v= (2,1,2) etw= (1,-1,2) est-elle une base deR3? Le nombre d´el´ements de la famille est bien ´egal `a la dimension. D´emontrons que cette famille est libre. Soientλ1, λ2, λ3tels queλ1u1+λ2u2+λ3u3= 0. On aboutit `a la r´esolution du syst`eme lin´eaire :??1+ 2λ2+λ3= 0
2λ1+λ2-λ3= 0
1+ 2λ2+ 2λ3= 0
La m´ethode du pivot de Gauss conduit au syst`eme ´equivalent suivant :1+ 2λ2+λ3= 0
-3λ2-3λ3= 0 3= 0 Ce syst`eme triangulaire a pour unique solutionλ1=λ2=λ3= 0. Donc (u,v,w) est une famille libre donc une base deR3.Retour au d´ebut
Une autre m´ethode : ´echelonner la famille de vecteurs On peut ´echelonner la famille de vecteurs, dans le cas o`uEest de dimension finie ´egale `anet la famille (u1,...,un) est donn´ee par les coordonn´ees de chacun de ses vecteurs dans une base deE. En ´echelonnant la famille (u1,...,un), on obtient une famille de vecteurs plus simple `a manipuler, engendrant aussi Vect(u1,...,un). Si cette nouvelle famille est ´echelonn´ee sans apparition de vecteurs nuls au cours de l"´echelonnement, on peut conclure que la famille initiale est une base. (Exemple 1) Si cette nouvelle famille ne comporte pas assez de vecteurs, on peut conclure que la famille initiale n"est pas g´en´eratrice et ainsi ne peut ˆetre une base deE. (Exemple 2)2Base raisonn´ee d"exercices de math´ematiques (Braise)Alg`ebre lin´eaireExemple 1La famille (u,v,w) o`uu= (1,2,1),v= (2,1,2) etw= (1,-1,2)
est-elle une base deR3? On a u v w( (1 2 1) (2 1 2) (1 -1 2) La m´ethode d"´echelonnement conduit `a consid´erer les deux vecteurs :v?=v-2u etw?=w-u. u v ?w?( (1 2 1) (0 -3 0) (0 -3 1) A l"´etape suivante, on termine l"´echelonnement en calculantw" =w?-v?. u v ?w"( (1 2 1) (0 -3 0) (0 0 1) Comme Vect(u,v,w) = Vect(u,v?,w") et la famille (u,v?,w") est ´echelonn´ee sans vecteurs nuls. C"est donc une famille libre de 3 vecteurs et de l`a une base deR3. Ainsi (u,v,w) est une famille g´en´eratrice et, de l`a, une base deR3.Retour au d´ebut
Exemple 2La famille (u,v,w) o`uu= (1,2,1),v= (2,1,2) etw= (1,-1,1) est-elle une base deR3? On a u v w( (1 2 1) (2 1 2) (1 -1 1) La m´ethode d"´echelonnement conduit `a consid´erer les deux vecteurs :v?=v-2u etw?=w-u. u v ?w?( (1 2 1) (0 -3 0) (0 -3 0) )3Base raisonn´ee d"exercices de math´ematiques (Braise)Alg`ebre lin´eaireComme on constate quew?=v?, on a Vect(u,v,w) = Vect(u,v?,w?) = Vect(u,v?).
Puisque la famille (u,v?) ne comporte que deux vecteurs, elle ne peut pas engendrer R3qui est de dimension 3. Donc (u,v,w) n"est pas une base deR3.
Retour au d´ebutRevenir `a la d´efinitionquand la dimension et la famille sont infinis.On doit alors v´erifier que la famille est-libre : il faut s"assurer que pour toute combinaison lin´eaire (finie, bien sˆur!)
nulle d"´el´ements de la famille, tous les coefficients sont nuls.-g´en´eratrice : tout ´el´ement deEest combinaison lin´eaire (finie, bien sˆur!)
d"´el´ements de la famille.Retour au d´ebut4
Base raisonn´ee d"exercices de math´ematiques (Braise)Alg`ebre lin´eaireUtiliser une application lin´eaire bijective
Si on connaˆıt une application lin´eairef:V→Ebijective, c"est-`a-dire un isomor- phisme, et si, pouri?I,ui=f(vi), o`u (vi)i?Iest une base deV(finie ou non), on en d´eduit que (ui)i?Iest une base deE.Retour au d´ebut5
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