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Chapitre6Espaces vectoriels

Remarque

•Attention!Les espaces vectoriels sont séparés en deux parties dans le programme. Une "introduction

aux espaces vectoriels" est d"abord traitée en cours, puis plus tard dans l"année sont ajoutés des "Com-

pléments sur les espaces vectoriels" avec notamment la notion d"espace vectoriel de dimension finie. Par

soucis de cohérence, nous avons souhaité mettre tous ces points dans le même chapitre. Chaque question

ou méthode faisant partie de ces "Compléments sur les espaces vectoriels" abordés plus tard au cours

de la 1ère année est accompagnée du symbole?. Si vous n"avez pas encore étudié ces compléments, ne

vous attardez donc pas sur ces questions et méthodes.

•Dans tout le chapitre,KdésigneRouC.

6.1. Sous-espaces vectoriels

Question 1Comment montrer qu"un espaceFest un sous-espacevectoriel d"un espace vectorielE?

Méthode 1

En montrant les 3 points définissant un sous-espace vectoriel •Kn,K[X],Kn[X],Mn,p(K),F(I,R) (l"ensemble des fonctions deI(I?RouI?N) dans

R) sont des espaces vectoriels.

•Fest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si :

1.Fest inclus dansE

2. 0

E?Fi.e.Fest non vide

3.?α?K,?(u,v)?F2,(αu+v)?F

RAPPEL DE COURS

Cette méthode sera le plus souvent utilisée pour montrer queFest un sous-espace vectoriel deE. C"est un classique.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceExtrait d"ESSEC 2015

SoitE=C0([0,1],R) l"ensemble des fonctions continues sur [0,1] et à valeurs dansR. Soitqune fonction continue sur [0,1] et à valeurs dansR, on noteF(q) l"ensemble défini par :F(q) ={f? C2([0,1],R),?t?[0,1], f??(t) =q(t)f(t)}

Montrer queF(q) est un sous-espace vectoriel deE.

Corrigé•F(q)?E

•Soitf= 0E?t?[0,1],f??(t) = 0 =q(t)f(t)

Doncf?F(q) etF(q)?=∅.

•Soientα?Ret (f,g)?(F(q))2. On poseh=αf+g. On a :?t?[0,1]h??(t) =αf??(t)+g??(t) =αq(t)f(t)+q(t)g(t) =q(t)(αf+g)(t) =q(t)h(t)

D"où?t?[0,1],h??(t) =q(t)h(t)

Donch?F(q) i.e.αf+g?F(q).

AinsiF(q) est un sous-espace vectoriel deE

1 Méthode 2En montrant queF= vect(U)oùUest une famille de vecteurs deE

SoientEunK-espace vectoriel et (u1,u2,...,up)?Ep.

On appelle sous-espace vectoriel engendré par la famille (u1,u2,...,up) et on note vect(u1,u2,...,up) l"ensemble des combinaisons linéaires de la famille (u1,u2,...,up).

On a : vect(u1,...,up) =?

p? i=1λ iui,(λ1,...,λp)?Kp? vect(u1,...,up) est un sous-espace vectoriel deE.

RAPPEL DE COURS

Pour montrer qu"un ensembleFest un sous-espace vectoriel d"un espace vectorielE, on peut

chercher à exprimerFsous forme d"un vect d"éléments deE. L"interêt de cette méthode est

de pouvoir ensuite facilement trouver une base.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceSoitF={P?R4[X], P(-1) =P(0) =P(1) = 0}

Montrer queFest un sous-espace vectoriel deR4[X].

CorrigéF={P?R4[X]/ P(-1) =P(0) =P(1) = 0}

={(X-1)X(X+ 1)(aX+b),(a,b)?R2}={(X3-X)(aX+b),(a,b)?R2} ={a(X4-X2) +b(X3-X),(a,b)?R2}= vect(X4-X2,X3-X)

DoncFest un sous-espace vectoriel deR4[X]

Question 2Comment montrer qu"un espaceFn"est pas un sous-espace vectoriel d"un espace vectorielE?

Méthode

En montrant qu"un des 3 points définissant un sous-espace vectoriel n"estpas vérifié Pour montrer qu"une partieFdeEn"est pas un sous-espace vectoriel deEon peut :

•Montrer que 0En"appartient pas àF

•Trouverλ?Ketu?Ftel queλun"appartient pas àF. •TrouveruetvdansFtel queu+vn"appartient pas àF.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceExtrait d"ESCP 2004On noteEl"ensemble des fonctionsfdeRdansRpour lesquelles il existe une suite réelle

s= (sn)n?N?, dite adaptée àf, telle que :?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+k n? =snf(nx)

1. Montrer que les fonctions constantes appartiennent àE.

2. SoitAla fonction deRdansRqui àxassociex-1

2. Établir queAest un élément de

E.

3.Econstitue-t-il un sous-espace vectoriel deF(R,R)?

Corrigé1. Soitfune fonction constante deRdansR. Alors?c?R,?x?R, f(x) =cet ainsi : ?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+k n? =n-1? k=0c=n×c=n×f(nx) Donc en posant?n?N?, sn=n, on a bien l"existence d"une suite (sn)n?N?telle que :

Sous-espaces vectoriels2

?n?N?,?x?R,n-1? k=0f? x+kn? =sn×f(nx)

Doncf?E.

Donc le fonctions constantes appartiennent àE.

2.?n?N?,?x?R,

n-1? k=0A? x+k n? =n-1? k=0? x+kn-12? =n-1? k=0? x-12? +1nn-1? k=0k =n? x-1 2? +1n×n(n-1)2=nx-n2+n-12=nx-12 = 1×A(nx) Donc en posant?n?N?, sn= 1, on a bien l"existence d"une suite (sn)n?N?telle que : ?n?N?,?x?R,n-1? k=0A? x+x n? =sn×A(nx)

DoncA?E

3. NotonsB→x?→12. Supposons queA+B?E.

Alors il existe un suite (sn)n?N?telle que :?n?N?,?x?R,n-1? k=0? x+k n? =sn×nx

En particulier, pourx= 0 :?n?N,n-1?

k=0? 0 +k n? =sn×n×0 = 0

Donc?n?N?,1

nn-1? k=0k= 0 i.e.1n×(n-1)×n2= 0

D"où?n?N?, n-1 = 0. On a une contradiction.

DoncA+B /?E, orA?EetB?E.

AinsiEn"est pas un sous-espace vectoriel deF ?(R,R) Question 3Comment montrer une égalité d"espaces vectoriels?

Méthode 1

Par double inclusion

Il s"agit d"une méthode à utiliser principalement lorsque les espaces sont définis de manière

abstraite et non totalement explicite. On utilisera alors les méthodes classiques pour montrer une double inclusion.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceSoitn≥2. SoitA? Mn(R). SoitR[A] le sous-espace vectoriel deMn(R) défini par

R[A] ={P(A), P?R[X]}(Par exemple :A3+ 4A?R[A])

Zdésigne un polynôme annulateur non nul deAet de degré minimal, (on notedle degré deZ).

1. Pour tout polynômePdeR[X], montrer qu"il existe un unique couple (Q,R) de poly-

nômes deR[X] tel que :P=ZQ+Ret deg(R)< d.

2. En déduire queR[A] = vect(In,A,...,Ad-1)

Corrigé1. SoitP?R[X]. Par division euclidienne : Il existe un unique couple de polynôme (Q,R) tel queP=ZQ+Ravec deg(R)2.•CommeR[A] est un sous-espace vectoriel deMn(R) contenant les matrices I n=A0,A,...,Ad-1,on a : vect(In,A,...,Ad-1)?R[A] •Réciproquement, soitP(A)?R[A], avecP?R[X]. D"après la question précédente, il existe un unique couple (Q,R)?(R[X])2tel queP=ZQ+Ravec deg(R)< d.

On a alors :P(A) =Z(A)Q(A) +R(A) =R(A)

Sous-espaces vectoriels3

DoncP(A) =R(A) carZ(A) = 0M(R).

De plus, deg(R)< d, doncR(A)?vect(In,A,...,Ad-1)

On a donc :P(A)?vect(In,A,...,Ad-1)

DoncR[A]?vect(In,A1,...,Ad-1)

Ainsi,R[A] = vect(In,A,...,Ad-1)

Méthode 2?Par inclusion et égalité de dimensions SoientAetBdes espaces vectoriels de dimension finie.

SiA?Bet dim(A) = dim(B) alorsA=B.

RAPPEL DE COURS

Cette méthode est très fréquemment utilisée lorsqu"on a déjà démontré (ou alors qu"on est

capable de le faire facilement) que les dimensions des deux espaces sont égales. Il suffit alors de montrer la plus simple des deux inclusions.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

Exercice?On considère les vecteurs deR3suivants :u= (1,-1,1), v= (0,-1,2), w= (1,-2,3)

SoientG={(x,y,z)?R3, x+ 2y+z= 0}etF= vect(u,v,w)

On admet queGest un sous-espace vectoriel deR3.

Montrer queF=G.

Corrigé•On remarque queu+v=w.

On aF= vect(u,v,w) = vect(u,v,u+v) = vect(u,v)

Oruetvne sont pas colinéaires donc : (u,v) est une base deFet dim(F) = 2 •G={(x,y,z)?R3, x=-2y-z}={(-2y-z,y,z) (y,z)?R2} ={y(-2,1,0) +z(-1,0,1),(y,z)?R2}

DoncG= vect((-2,1,0),(-1,0,1))

Or (-2,1,0) et (-1,0,1) ne sont pas colinéaires donc forment une famille libre deG. D"où ((-2,1,0),(-1,0,1)) est une base deG, dim(G) = 2 Si (e1,...,er) est une base deFalors :F?G?? ?i??1,r?, ei?G

RAPPEL DE COURS

F= vect(u,v) et (u,v) est une base deF.

Or?1 + 2×(-1) + 1 = 0 doncu?G

0 + 2×(-1) + 2 = 0 doncv?G

AinsiF?G

Comme dim(F) = dim(G) = 2 etF?G, on aF=G

6.2. Familles libres, génératrices et bases

Question 1Comment montrer qu"une familleUest libre?

Méthode 1

SiUcomprend un unique élémentu, en montrant queu?= 0 SiUest une famille à 1 élément et que cet élément est non nul, alorsUest libre.

RAPPEL DE COURS

Familles libres, génératrices et bases4

Lorsqu"on est en présence d"une famille de cardinal 1, il suffit d"appliquer littéralement lerappel de cours précédent pour justifier la liberté de la famille.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceJustifier que la famille ((2,5)) est une famille libre deR2 Corrigé(2,5)?= (0,0) donc (2,5) est une famille libre deR2. Méthode 2SiUest une famille à 2 élementsuetv, en montrant queuetvsont noncolinéaires SoitU= (u,v) une famille à deux éléments. uetvsont non colinéaires??Uest libre.

RAPPEL DE COURS

Lorsqu"on est en présence d"une famille de cardinal 2, il suffit d"appliquer littéralement le rappel de cours précédent pour justifier la liberté de la famille.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceJustifier que la famille ((1,2,3),(0,1,1)) est libre. Corrigé(1,2,3) et (0,1,1) sont non colinéaires.

Donc la famille ((1,2,3),(0,1,1)) est libre

Méthode 3En utilisant la définition d"une famille libre

SoitEunK-espace vectoriel et (u1,u2,...,up)?Ep.

((u1,u2,...,up) est une famille libre) si et seulement si (?(α1,α2,...,αp)?Kp, α1u1+α2u2+

...+αpup= 0E?α1=α2=...=αp= 0)

RAPPEL DE COURS

Revenir à cette méthode doit vraiment être une constante dans votre raisonnement lorsque

la famille comporte 3 éléments ou plus. On revient à la définition de la liberté et on cherche

à montrer l"implication rappelée ci-dessus pour conclure sur la liberté de la famille.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceSoitu= (1,1,1), v= (1,2,0) etw= (1,1,0) des éléments deR3. Montrer que (u,v,w) est une famille libre.

CorrigéSoit (a,b,c)?R3tel quea u+b v+c w= 0

Alors?

?a+b+c= 0 a+ 2b+c= 0 a= 0??? ?b+c= 0

2b+c= 0

a= 0??a=b=c= 0

Ainsi (u,v,w) est une famille libre

Familles libres, génératrices et bases5

Méthode 4S"il s"agit de polynômes, en montrant que c"est une famille de polynômesnon nuls échelonnés en degré

Toute famille de polynômes non nuls échelonnés en degré est une famille libre.

RAPPEL DE COURS

Lorsqu"on est en présence d"une famille de polynômes non nuls, le réflexe doit être de vérifier

si ces polynômes sont échelonnés en degré. Si c"est le cas, il est important de préciser qu"ils

sont tous non nuls.

Si les polynômes ne sont pas échelonnés en degré, il faut utiliser la méthode précédente.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceExtrait d"HEC 2013

Soitn?N?. Pour toutx?Retk?N, on pose :x=?

?k i=1(x+i-1) sik≥1

1 sik= 0

On associe aux fonctions polynomialesx?→x, les polynômesXdeR[X]. Montrer que (X<0>,X<1>,...,X) est une famille libre.

Corrigé?k??1,n?,deg(X) = deg(k?

i=1(X+i-1)) =k

De plus, deg(X<0>) = 0 carX<0>= 1.

Ainsi, la famille (X<0>,X<1>,...,X) forme une famille de (n+ 1) polynômes non nuls échelonnés en degrés.

Donc (X<0>,X<1>,...,X) est une famille libre

Méthode 5En utilisant le lien entre application injective et familles libres

Remarque

Cette méthode nécessite la connaissance du chapitre sur les applications linéaires. Si vous ne l"avez pas encore abordé, ne vous y attardez pas.

SoientEetFdes espaces vectoriels.

Soit (u1,u2,...,un) une famille libre deE. Soitf? L(E,F). (finjective)?((f(u1),f(u2),...,f(un)) est libre).

RAPPEL DE COURS

On peut penser à utiliser la propriété ci-dessus pour montrer qu"une famille est libre lorsque

l"on peut exploiter une application linéairefinjective.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

Soit (M1,...,Mp) une famille libre deMn(R).

Montrer que (

tM1,...,tMp) est une famille libre deMn(R).

Familles libres, génératrices et bases6

CorrigéNotonsfl"application deMn(R) dansMn(R) qui àMassocietM. D"après le cours,f est linéaire. De plus, soitMune matrice deMn(R) telle quef(M) = 0. Alors tM= 0 doncM= 0. Donc Ker(f)? {0Mn(R)}. Comme 0Mn(R)?Ker(f), on a :

Ker(f) ={0Mn(R)}et doncfest injective.

Or (M1,...,Mp) est libre. Donc (f(M1),...,f(Mp)) est libre.

Donc (

tM1,...,tMp) est une famille libre deMn(R) Question 2Comment montrer qu"une familleUest liée i.e. n"estpas libre?

Méthode 1

En montrant que la famille comporte le vecteur nul Si une famille comporte le vecteur nul alors c"est une famille liée, i.e. non libre.

RAPPEL DE COURS

Si on parvient à identifier un vecteur nul alors on peut être assuré que toute famille contenant

ce vecteur est liée.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceSoitfune fonction continue et positive sur [0,1] telle que? 1 0 f(t)dt= 0. Montrer que (x?→x, x?→ex+ 1, f) est une famille liée. Corrigéfest continue et à valeurs positives sur [0,1].

Comme,?

1 0 f(t)dt= 0, par théorème?t?[0,1],f(t) = 0 Donc (x?→x, x?→ex+ 1, f) est une famille liée Méthode 2SiUest une famille à 2 élémentsuetv, en montrant queuetvsontcolinéaires Lorsque la famille est de cardinal 2, il suffit de montrer que les vecteurs sont colinéaires pour justifier qu"elle est liée.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceJustifier que la famille ((1,2,3),(4,8,12)) est liée. Corrigé(4,8,12) = 4(1,2,3) donc la famille est liée

Familles libres, génératrices et bases7

Méthode 3En montrant qu"un des vecteurs de la famille s"exprime comme combi-naison linéaire des autres

Une famille à deux éléments ou plus est liée si et seulement si un des vecteurs de la famille

peut s"exprimer comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.

RAPPEL DE COURS

Si on parvient à exprimer un des vecteurs d"une famille comme combinaison linéaire des autres vecteurs de cette famille alors cette famille est liée.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceMontrer que la famille ((X,2X-5,5X-5)) est liée.

CorrigéOn a : 5X-5 = 2X-5 + 3×X

Donc ((X,2X-5,5X-5)) est une famille liée deR[X]

Méthode 4?En montrant que la famille comprend un nombre d"éléments stric-tement supérieur à la dimension de l"espace vectoriel auquel ils appar-tiennent

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn?N?.

Soit (u1,u2,...,up) une famille d"éléments deE.

RAPPEL DE COURS

Si la famille d"un espace vectorielEde dimension finie comprend un nombre d"éléments strictement supérieur à la dimension deE, alors on peut conclure que la famille est liée.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

Exercice?SoitA? Mn(R). Montrer que la famille (Ak)k??0,n2?est liée. Corrigé(Ak)k??0,n2?est une famille den2+ 1 vecteurs deMn(R). Comme dim(Mn(R)) =n2< n2+ 1, cette famille n"est pas libre, i.e. (Ak)k??0,n2?est une famille liée Question 3Comment montrer qu"une familleUest génératrice d"unespace vectoriel?

Méthode 1

En utilisant la définition d"une famille génératrice

SoitEunK-espace vectoriel.

Une famille (u1,u2,...,up) d"éléments deEest une famille génératrice deE?? ?x?

E,?(λ1,...,λp)?Kp,x=p?

i=1λ iui SiE= vect(u1,u2,...,up), alors (u1,u2,...,up) est une famille génératrice deE.

RAPPEL DE COURS

Familles libres, génératrices et bases8

Pour montrer queUest une famille génératrice deE, on prend unxquelconque dansEet on cherche à l"exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. Si on a montré précédemment queEest égal à vect(U), on peut directement conclure que

Uest génératrice deE.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceSoitP1=X2+ 2X+ 1, P2=X2+X+ 1 etP3=X2+X.

(P1,P2,P3) est-elle une famille génératrice deR2[X]? CorrigéSoitP?R2[X].?!(a0,a1,a2)?R3, P=a0+a1X+a2X2 Supposons qu"il existe (α,β,γ)?R3tel que : P=αP1+βP2+γP3=α(X2+ 2X+ 1) +β(X2+X+ 1) +γ(X2+X) =αX2+ 2αX+α+βX2+βX+β+γX2+γX Par identification des coefficients, on a alors :?a0=α+β a

1= 2α+β+γ

a

2=α+β+γ???

β=a0-α

-a1+ 2α+β+γ+a2-α-β-γ= 0 a

2-α-β-γ= 0

β=a0-α

α=a1-a2γ=a2-α-β???

β=a0-a1+a2α=a1-a2γ=-a0+a2

Ainsi,?(α,β,γ)?R3, P=αP1+βP2+γP3 D"où, (P1,P2,P3) est une famille génératrice deR2[X]. Méthode 2En utilisant le lien entre application surjective et famille génératrice

Remarque

Cette méthode nécessite la connaissance du chapitre sur les applications linéaires. Si vous ne l"avez pas encore abordé, ne vous y attardez pas.

SoientEetFdes espaces vectoriels. Soitf? L(E,F).

Soit (u1,u2,...,un) une famille génératrice deE. fsurjective?((f(u1),f(u2),...,f(un)) est génératrice deF

RAPPEL DE COURS

On peut penser à utiliser la propriété ci-dessus lorsque l"on connaît une famille génératrice

et qu"on peut faire entrer en jeu une application surjective pour transformer cette famille en une autre famille génératrice.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceSoit (n,p)?(N?)2avecn≥p. Soit (P1,...,Pn) une famille génératrice deRp[X]. Montrer

que (P?1,...,P?n) est une famille génératrice deRp-1[X] CorrigéNotonsfl"application deRp[X] dansRp-1[X] qui àPassocief(P) =P?. fest linéaire par linéarité de la dérivation.

SoitQ?Rp-1[X].

NotonsQ=p-1?

k=0a kXk. Posons alorsP=p? k=1a k-1 kXk

On af(P) =P?=p?

k=1a k-1 k×kXk-1=p? k=1a k-1Xk-1=p-1? k=0a kXk=Q

DoncQadmet un antécédent parf.

Familles libres, génératrices et bases9

Doncfest une application linéaire surjective.

Or (P1,...,Pn) une famille génératrice deRp[X]. Donc (f(P1),...,f(Pn)) une famille génératrice deRp-1[X]. Ainsi (P?1,...,P?n) est une famille génératrice deRp-1[X] Question 4Comment montrer qu"une familleUn"est pas généra-trice d"un espace vectorielE?

Méthode 1

En trouvant un vecteur deEqui ne puisse pas être exprimé commecombinaison linéaire des vecteurs de cette famille

Il faut trouver un contre-exemple à la définition d"une famille génératrice, c"est-à-dire un

vecteur de l"espace vectoriel qui ne puisse être exprimé comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. La méthode du contre-exemple doit toujours être rapide, si on ne trouve pas le contre- exemple rapidement, il ne faut pas hésiter à sauter la question.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

Exercice((2,1),(6,3)) est-elle une famille génératrice deR2? CorrigéCherchons (α,β)?R2tel que (4,3) =α(2,1) +β(6,3)?4 = 2α+ 6β

3 =α+ 3β=??α= 3-3β

4 = 6-6β+ 6β?α= 3-3β

4 = 6On a une contradiction.

(4,3) ne peut donc pas s"exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. D"où ((2,1),(6,3)) n"est pas une famille génératrice deR2

Méthode 2?En montrant que la famille a un nombre d"éléments strictement infé-rieur à la dimension de l"espace vectoriel

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn?N?.

Soit (u1,u2,...,up) une famille d"éléments deE. (u1,u2,...,up) est génératrice deE?p≥n.

RAPPEL DE COURS

Si la famille d"un espace vectorielEcomprend un nombre d"éléments strictement inférieur à la dimension deE, alors on peut conclure que la famille n"est pas génératrice deE.

POINT MÉTHODOLOGIQUE

Exercice?Justifier queU= ((1,1,1),(1,2,3)) n"est pas une famille génératrice deR3. CorrigéUest une famille à 2 éléments deR3, or dim(R3) = 3.

DoncUn"est pas génératrice deR3.

Familles libres, génératrices et bases10

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