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Formes bilinéaires, formes quadratiques

Exercice 1.Déterminer, parmi les applications suivantes, quelles sont les applications bilinéaires

sur l"espace vectorielEspécifié.

1.E=R2,?((x1,x2),(y1,y2)) =x1y1+x2y2;

2.E=R2,?((x1,x2),(y1,y2)) =x21+x1y2;

3.E=R2,?((x1,x2),(y1,y2)) = (x2+x1)y2;

4.E=Mn(R),?(A,B) =Tr(AB)pour toutA,B?Mn(R).

5.E=C0([0,1],R)l"espace des fonctions continues sur[0,1]à valeurs réelles,

?(f,g) =? 1 0 f(t)g(t)dtpour toutf,g?C0([0,1],R).

6.E=R2,

?((x1,x2),(y1,y2)) = det?x1y1 x 2y2? Solution.Les résultas sont résumés dans le tableau suivant :1 2 3 4 5 6 bilinéaireoui non oui oui oui oui symétriqueoui - oui oui oui non Exercice 2.SoitE=R2. On notex= (x1,x2)ety= (y1,y2). Pour les formes bilinéaires suivantes, écrire leur matrice dans la base canoniqueB= (e1,e2), calculer leur rang et leur noyau et déterminer si elles sont symetriques.

1.?1(x,y) =x1y1+x2y2;

2.?2(x,y) =x1y2;

3.?3(x,y) =x1y2+x2y1;

4.?4(x,y) =x1y1-x2y2;

5.?5(x,y) =x1y2-x2y1;

6.?6(x,y) =x1y1;

7.?7(x,y) = (x1+x2)(y1+y2);

8.?8(x,y) =x1y1-32

x1y2-32 x2y1+ 6x2y2.

Étant donnée une forme symétrique?parmi les précédentes, déterminer l"ensemble{x?R2|

?(x,x) = 0}et le comparer avec le noyau.

Solution.Noyau et cône isotrope n"ont été définis que pour des formes bilinéaires symétriques.

Les résultats sont résumés dans le tableau suivant : 1

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matrice symétrique rang noyau cône isotrope 1(

1 00 1)oui 2 0 0

2(

0 10 0)non 1 - -

3(

0 11 0)oui 2 0Vect?1

0??Vect?0

1? 4?

1 00-1?oui 2 0Vect?1

1??Vect?1

-1? 5?

0 1-1 0?non 2 - -

6(

1 00 0)oui 1Vect?0

1?Vect?0

1? 7(

1 11 1)oui 1Vect?1

-1?Vect?1 -1? 8? 1-3/2 -3/2 6? oui 2 0 0 Pour le calcul du cône isotrope deφ8on remarque :

8(x,x) =x21-3x1x2+ 6x22=?x1-32

x2? 2+154 x22. Comme la somme de termes positifs est positive,φ8(x,x) = 0si et seulement six1-32 x2= 0et x

2= 0, ce qui revient à direx1=x2= 0.Exercice 3.On considère les formes quadratiques suivantes surR3:

Q

0(x,y,z) =x2+y2+xz, Q1(x,y,z) = 2x2+6xy-2xz+y2+4yz-3z2, Q2(x,y,z) =xy+3xz.

1. Pour chacune d"elles, écrire la matrice dans la base canonique de la forme bilinéaire sy-

métrique associée et déterminer son rang et son noyau.

2. DécomposerQ0,Q1etQ2en somme de carrés de formes linéaires indépendantes, et

déterminer pour chacune la signature et le rang.

3. Donner une base orthogonale pour chacune de ces formes quadratiques.

Solution.Les résultats sont résumés dans le tableau suivant :matrice rang noyau décomposition en somme de carréssignatureQ 0?

1 0 00 1 1/2

0 1/2 0?

3 0(x+12

z)2+y2-14 z2(2, 1) Q 1?

2 3-13 1 2-1 2-3?

2Vect?1-11?

(y+ 3x+ 2z)2-7(x+z)2(1,1) Q 2?

0 1/2 3/2

1/2 0 0

3/2 0 0?

2Vect?03-1?

14 (x+y+ 3z)2-14 (x-y-3z)2(1,1) On détaille les décomposition en sommes de carrés : Q

0(x,y,z) = (x+12

z)2-14 z2+y2, Q

1(x,y,z) = (y+ 3x+ 2z)2-7(x2+z2+xz) = (y+ 3x+ 2z)2-7(x+z)2,

Q

2(x,y,z) =x(y+ 3z) =14

(x+y+ 3z)2-14 (x-y-3z)2. Pour la deuxième forme on a commencé par la variableyplutôt que la variablexpour ne pas devoir diviser par2.2

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Exercice 4.Soient?1,?2,?3les formes bilinéaires symétriques surR3dont les matrices dans la base canoniqueB= (e1,e2,e3)sont les suivantes : J 1=( (2 1 1 1 2 1

1 1 2)

, J2=( (2-1-1 -1 2-1 -1-1 2) , J3=( (2-1 0 -1 2-1

0-1 2)

Pour chacune d"elles, écrire la forme quadratique associéeqi(x1,x2,x3)puis écrireqicomme

somme de carrés de formes linéaires indépendantes et déterminer la signature et le rang deqi.

Démonstration.On a :

q

1(x,y,z) = 2(x2+y2+z2+xy+xz+yz),

q

2(x,y,z) = 2(x2+y2+z2-xy-xz-yz),

q

3(x,y,z) = 2(x2+y2+z2-xy-yz).

En appliquant l"algorithme de Gauss pour l"écriture d"un forme quadratique comme somme de carrés de formes linéaires, on obtient : 12 q1(x,y,z) =x2+y2+z2+xy+xz+yz=? x+y2 +z2 2+34 y

2+z2+23

yz? x+y2 +z2 2+34 y+z3 2+23 z2, 12 q2(x,y,z) =? x-y2 -z2 2+34 ?y2+z2-2yz?=? x-y2 -z2 2+34 (y-z)2, 12 q3(x,y,z) =? x-y2 2+34 y2-yz=? x-y2 2+34 y-23 z? 2 +23
z2. Les formes quadratiquesq1,q2etq3sont respectivement de signature(3,0),(2,0)et(3,0). Dans le premier on peut aussi remarque l"idéntité suivante : q

1(x,y,z) = (x+y)2+ (x+z)2+ (y+z)2,

d"où on a à nouveau queq1est de signature(3,0)(il est important de remarquer que les formes

linéairesx+y,x+z,y+zsont linéairement indépendantes).Exercice 5.On considère la forme quadratique surR3définie par

Q(x,y,z) =x2+ 5y2+z2+ 4xy+ 2xz+ 6yz.

1. DécomposerQcomme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.

2. Donner la signature deQet son rang.

3. Donner une base deR3orthogonale pour la forme quadratiqueQ.

Solution.(1) En appliquant l"algorithme de Gauss (en commençant parx2) on trouve Q(x,y,z) = (x+ 2y+z)2+y2+ 2yz= (x+ 2y+z)2+ (y+z)2-z2. (2) La signature deQest(2,1). Son rang est3. 3

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(3) Comme la forme quadratiqueQest de rang maximale, une base orthogonale pourQest

donnée par les colonnes de l"inverse de la matrice ayant pour lignes les formes linéaires trouvées

dans la décomposition en somme de carrés. Il s"agit de calculer l"inverse de la matrice : (1 2 1 0 1 1

0 0 1)

En faisant les opérations sur les lignesL1-2L2+L3→L1,L2-L3→L2on obtient que l"inverse est (1-2 1 0 1-1

0 0 1)

Une base orthogonale pour la forme quadratiqueQest donc v 1=( (1 0 0) , v2=( (-2 1 0) , v3=( (1 -1 1) .Exercice 6.On considère la forme quadratique surR4définie par

Q(x,y,z,t) =xy+xz-xt+yz+yt.

1. DécomposerQcomme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes.

2. À quoi est égal le noyau deQ?

3. Donner un exemple de vecteurv?R4non nul tel queQ(v) = 0. Comment s"appelle un

tel vecteur?

Solution.(1) En appliquant l"algorithme on trouve

Q(x,y,z,t) = (x+z+t)(y+z-t)-z2+t2.

On posant

1(x,y,z,t) +?2(x,y,z,t) =x+z+t,

1(x,y,z,t)-?2(x,y,z,t) =y+z-t,

on trouve

Q(x,y,z,t) =?1(x,y,z,t)2-?2(x,y,z,t)2+z2+t2.

(2) Le noyau est nul car la forme a rang4.

(3) Le carré d"aucune des variables apparaît dans l"écriture deQ. Il suit que tout vecteur de

la base canoniquee1,e2,e3,e4estisotrope, c"est-à-dire annulé parQ.Exercice 7.SoitEun espace vectoriel etl1,l2deux formes linéaires non nulles et non propor-

tionnelles définies surE. On pose pour toutx?E,

Q(x) =l1(x)l2(x).

1. Montrer queQest une forme quadratique surEen explicitant la forme bilinéaire associée.

4

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2. En déduire le noyau et le rang deQ.

3. On se place surE=R3et on considère les formes linéairesl1etl2données par

l

1(x1,x2,x3) =x1+x3, l2(x1,x2,x3) =x1-x2.

Donner les coordonnées del1etl2dans la base canonique du dual deR3sous forme de vecteurs lignes et calculer la matrice deQdans la base canonique deR3. Solution.(1) La forme bilinéaire symétriqueφ(v,w) :=12 l1(v)l2(w)+12 l1(w)l2(v)satisfaitQ(v) = φ(v,v)pour toutv?E. Doncφest la forme polaire deQ. (2) On commence en démontrant l"égalitékerQ= ker(l1)∩ker(l2), en montrant les deux inclusions : (?)Soientv?ker(l1)∩ker(l2)etw?E. Alorsφ(v,w) =12 l1(v)l2(w) +12 l1(w)l2(v) = 0, doncv?kerQ. (?)Soitv?kerQ. Soientλ1=l1(v)etλ2=l2(v). Pour toutw?E, on a

1l2(w) +λ2l1(w) =φ(v,w) = 0,

carvappartient au noyau deQ. Ceci signifie que la forme linéaireλ1l2+λ2l1est nulle. D"autre part,l1etl2sont linéairement indépendantes par hypothèse, doncλ1= 0et

2= 0. Autrement dit,v?kerl1∩kerl2.

SupposonsEde dimension finien. Pour calculer le rang, on se ramène à calculer la dimension

deker(l1)∩ker(l2). Pouri= 1,2, comme la forme linéaireliest non nulle, le théorème du rang

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