[PDF] [PDF] FORMES QUADRATIQUES Exercice 1 1 Pour chacune

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Mathématiques (L3) - Quelques exercices supplémentaires

FORMES QUADRATIQUES

§ 1. - Matrices et formes polaires de formes quadratiques . . . . . . 1 § 2. - Méthode des mineurs principaux . . . . . . . . . . . . . . . . 2 § 3. - Réduction des formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . 7

§ 1. -

Matrices et f ormespolair esde f ormesquadratiques Exercice 1.1.Pour chacune des formes quadratiques suivantes, écrire la matriceMcorrespon-dante ainsi que la forme polairef.

1x3

2+3x1x3.(iv)q(x1;x2;x3;m)=m2+x2

1x2m+3x1x3+2x3m.Corrigé de l"exercice 1.1.

(i)Il y a deux variables qui sontuetvdonc la matrice est M= u v u012 v12 0 On en déduit la forme polaire correspondante en écrivant les variables avec des 0au- dessus : M= u0v0 u012 v12 0 doncf(u;v;u0;v0)=12 uv012 u0v: (ii)Il y a trois variables qui sontx,yetzdonc la matrice est M=0 @x y z x112 0 y 12 052
z052 01 A 1 On en déduit la forme polaire correspondante en écrivant les variables avec des 0au- dessus : M=0 @x 0y0z0 x112 0 y 12 052
z052 01 A doncf(x;y;z;x0;y0;z0)=xx0+12 xy0+12 x0y+52 yz0+52 y0z: (iii)Il y a trois variables qui sontx1,x2etx3(mest un paramètre) donc la matrice est M=0 @x 1x2x3 x 1m032 x 201 0
x 332
0 01 A On en déduit la forme polaire correspondante en écrivant les variables avec des 0au- dessus : M=0 @x

01x02x03

x 1m032 x 201 0
x 332
0 01 A doncf(x1;x2;x3;x0 1;x0 2;x0

3)=mx1x0

1+32 x1x0 3x2x0 2+32 x0 1x3: (iv)Il y a quatre variables qui sontx1,x2,x3etmdonc la matrice est M=0 B B@x

1x2x3m

x

11 032

0 x

20 0 012

x 332
0 0 1 m012 1 11 C CA: On en déduit la forme polaire correspondante en écrivant les variables avec des 0au- dessus : M=0 B B@x

01x02x03m0

x

11 032

0 x

20 0 012

x 332
0 0 1 m012 1 11 C CA; donc f(x1;x2;x3;m;x0 1;x0 2;x0

3;m0)=x1x0

1+32 x1x0 312
x2m0+32 x0

1x3+x3m012

x0 2m+x0

3m+mm0:

§ 2. -

Méthode des mineurs principaux

Rappels de coursMéthode des mineurs principauxSoitqune forme quadratique etM= a b cb d ec e f la matrice2 associée. On définit les mineurs principaux nord-ouest :

1=deta=a;2=deta b

b d et3=det0 @a b c b d e c e f1 A

=detM:Ils permettent de déterminer si la forme quadratique est définie positive ou négative en utilisant

le critère suivant.

Critère des mineurs principaux nord-ouest.

-qdéfinie positive()1>0,2>0 et3>0;

-qdéfinie négative()1<0,2>0 et3<0.Si ce critère ne s"applique pas, il faut calculer tous les mineurs principaux (pas seulement

les nord-ouest), qui sont : mineurs d"ordre 1 : det a=a, detb=bet detc=c;-mineurs d"ordre 2 : det a b b d , deta c c f et detd e e f ;-mineurs d"ordre 3 : det 0 @a b c b d e c e f1 A

=detM.Ils permettent de déterminer si la forme quadratique est positive ou négative en utilisant le

critère suivant.

Critère des mineurs principaux quelconques.

-qpositive()mineurs d"ordre 10, mineurs d"ordre 20 et mineurs d"ordre 30; -qnégative()mineurs d"ordre 10, mineurs d"ordre 20 et mineurs d"ordre 30. Dans les autres cas, la forme quadratique change de signe (c"est le cas par exemple si2<0 ou si1>0 et3<0 ou si1<0 et3>0, ou si deux mineurs d"ordre 1 sont de signe

contraire, etc.)Remarque.On a donné uniquement le critère en dimension 3, mais il fonctionne dans toutesles dimensions.

Exercice 2.1.En utilisant la méthode des mineurs principaux, donner, si c"est possible, lesigne des formes quadratiques suivantes.

1x2

3+2x1x32x2x3.(viii)q(;;

)=2 22
2

1x2m+3x1x3+2x3m3

Corrigé de l"exercice 2.1.

(i)La matrice deq(x;y)=x2+2xy+y2estM=1 1 1 1 . On commence par essayer de voir siqest définie positive ou négative en utilisant les mineurs principaux nord-ouest. On a :

1=det1=1;

2=det1 1

1 1 =0: Puisque2=0, le critère des mineurs principaux nord-ouest ne s"applique pas (doncq

n"est ni définie positive ni définie négative). Pour déterminer le signe deq, on doit donc

calculer tous les mineurs principaux : -ordre1 : det1=1 et det1=1; -ordre2 : det1 1 1 1 =0. Tous les mineurs principaux sont0 donc la forme quadratique est positive (sans être définie positive, comme on l"a vu). (ii)La matrice deq(x1;x2)=6x1x28x2

2estM=0 3

38
. On commence par essayer de voir siqest définie positive ou négative en utilisant les mineurs principaux nord-ouest. Puisque

1=det0=0, le critère des mineurs principaux nord-ouest ne s"applique pas (doncq

n"est ni définie positive ni définie négative). Pour déterminer le signe deq, on doit calculer

tous les mineurs principaux : -ordre1 : det0=0 et det8=8; -ordre2 : det0 3 38
=9. Puisque le mineur principal d"ordre 2 est<0, la forme quadratique n"est ni positive ni négative; elle change donc de signe. (iii)La matrice deq(s;t)=6s2+4st+3t2estM=6 2 2 3 . On commence par essayer de voir siqest définie positive ou négative en utilisant les mineurs principaux nord-ouest. On a :

1=det6=6;

2=det6 2

2 3 =184=14: Puisque1>0 et2>0, le critère s"applique et montre que la forme quadratique est définie positive. (iv)La matrice deq(u;v;w)=u2+v2+w2+2uv+2uw+2vwestM=0 @1 1 1 1 1 1

1 1 11

A . On commence par essayer de voir siqest définie positive ou négative en utilisant les mineurs principaux nord-ouest. On a :

1=det1=1;

2=det1 1

1 1 =0: 4 Puisque2=0, le critère des mineurs principaux nord-ouest ne s"applique pas (doncq

n"est ni définie positive ni définie négative). Pour déterminer le signe deq, on doit calculer

tous les mineurs principaux : -ordre1 : det1=1, det1=1 et det1=1; -ordre2 : det1 1 1 1 =0, det1 1 1 1 =0 et det1 1 1 1 =0; -ordre3 : det0 @1 1 1 1 1 1

1 1 11

A =det1 1 1 1 det1 1 1 1 +det1 1 1 1 =0. Tous les mineurs principaux sont0 donc la forme quadratique est positive (mais pas définie positive comme on l"a vu). (v)La matrice deq(a;b;c)=2a2+2c2+4ab+4bcestM=0 @2 2 0 2 0 2

0 2 21

A . On commence par essayer de voir siqest définie positive ou négative en utilisant les mineurs principaux nord-ouest. On a :

1=det2=2;

2=det2 2

2 0 =4: Puisque2<0, le critère des mineurs principaux nord-ouest ne s"applique pas doncq n"est ni définie positive ni définie négative; de même, le fait que2<0 montre qu"il y a un mineur principal d"ordre deux deqqui n"est pas positif doncqn"est ni positive ni négative. Par conséquent, elle change de signe. (vi)La matrice deq(x;y;z)=7x22xy+4xz7y2+4yz10z2estM=0 @71 2 17 2

2 2101

A . On commence par essayer de voir siqest définie positive ou négative en utilisant les mineurs principaux nord-ouest. On a :

1=det7=7;

2=det71

17 =491=48;

3=det0

@71 2 17 2

2 2101

A =(7)det7 2 210
(1)det1 2 210
+2det17 2 2 =766+6+212=6(711+1+22)=6(77+1+4) =6(72)=432: (On a développé3par rapport à la première ligne.) Puisque1<0,2>0 et3<0, le critère des mineurs principaux nord-ouest s"applique et montre queqest définie négative. 5 (vii)La matrice deq(x1;x2;x3)=x2 1x2

3+2x1x32x2x3estM=0

@1 0 1 0 01 1111
A . On commence par essayer de voir siqest définie positive ou négative en utilisant les mineurs principaux nord-ouest. On a :

1=det1=1;

2=det1 0

0 0 =0; 3=0 @1 0 1 0 01 1111
A =(1)(1)1 0 11 =1: (Pour calculer3, on a développé par rapport à la deuxième ligne.) Puisque2=0, le critère des mineurs principaux nord-ouest ne s"applique pas et doncqn"est ni définie positive ni définie négative. Puisque1<0 et3>0, la forme quadratiqueqa un mineur d"ordre 1 qui est<0 et un mineur d"ordre 3 qui est>0. Il n"est donc pas possible qu"elle soit positive ou qu"elle soit négative, ce qui montre qu"elle change de signe. (viii)La matrice deq(;; )=2 22
2 estM=0 @1 01 0 01 1111
A . On commence par essayer de voir siqest définie positive ou négative en utilisant les mineurs principaux nord-ouest. On a :

1=det1=1;

2=det1 0

0 0 =0; 3=1 0 11 =(1)(1)1 0quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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