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Exercices révision et notions préliminaires - algèbre Calcul diérentiel - Automne 2020 - Yannick Delbecque

Algèbre

Question 1Dans le raisonnement suivant, dire à chacune des étapes quel prin- cipe de base de l"algèbre est utilisé pour résoudre l"équation de départ. x

2+4=4x

x

24x+4=0 (a)

(x2)2=0 (b) x2=0 (c) x=2 (d)

Question 2

Démontrer l"identité algébrique suivante de chacune des deux ma- nières demandées. pApB pA+pB =AB a) En dév eloppantle membre de droite de l"ég alité. b) En substituant dans l"identité algébrique pour une diérence de carré.

Question 3

Résoudre les équations suivantes (donner des solutions exactes). a)

34x+23

=52 b)

34+x+23

=52 c)

11+11+x=

53
d)

12x+3x

=45e)x3=x2 f) p6 x =1p3 g) 3xp15 =5p5 h)x2=p2 i)

8 x3=27Exposants

Question 4

Simplifier et réécrire les expressions suivantes pour que le résultat n"ait aucun exposant fractionnaire ou négatif. a) 2 3 b) 2 1=2 c) 3 1=3 d) 5 2=3 e) 21=23
f) 1100
1=2 g) 2

1=225=2h)

23=22
5=2 i) 21=22
1=3 j) 15 2=3 1=2 k)

21=2+31=22

l) p3 2+42 m) p2 81=2

Question 5

Mettre les expressions suivantes sous la forme

C(xa)b

oùaetbetCsont des nombres réels. a) 1x 3 b) 2x 3 c) 23x5
d)

1(x3)2

e)

7(x+1)6

f) px g)

3px2h)

4 px+25 i) 1px j) 23
px k) 23
5px l)px 3 m)

4p(x3)5

n) 1px 3o) 43
5px 4 p) (2 x3)2 q) (2 x)3 r) (2 x1)3 s) p4x1 t) (x2)2px2 u)

3(x+1)4

3px+1 v)

25px+15

px+1

Polynômes

Question 6

Factoriser complètement les polynômes suivants. a)

4 x33x2+4x3

b)x2+5x+6 c)

9 x2+12x+4

d)

16 x281e)x2+25

f)

3 x3108x

g)

18 x5+32x3

h)x45x2+4

2 Exercices révision et notions préliminaires - algèbre

Question 7

Résoudre les équations polynomiales suivante en factorisant. a)x2+x6=0 b)

3 x2+x2=0

c)x216=0 d)

9 x225=0

e)x4=x3f)x2+7x+12=0 g)

9 4x2=0

h)

3 x2+5x=0

i)x2100=0 Question 8Utiliser la formule quadratique pour résoudre chacune des équa- tions suivantes. a)

3 x2+2x+6=0

b)

6 x217x+12=0c)x2+11=0

d)

9 x26x+1=0

Question 9

Eectuer les divisions polynomiales suivantes.

a) x21x1 b) x21x+1 c) x2+1x1 d) x31x1e) x31x 21
f) x4x32x2+3x1x1 g) x5+x4+2x3+2x2+x+2x+1

Question 10

Factoriser et simplifier les expressions rationnelles suivantes. a) (x+1)4x

2+2x+1

b) x24x2 c) x2+x6x

2+4x+3

d) ( x2)3(2x+1)2+(x2)2(2x+1)3 e) ( x1)9(x2+2)5+(x1)8(x2+2)6 f) (x2)3(x1)4(x2)4(x1)3x

2x2Théorème de factorisation

Question 11

Factoriser les polynômes suivant à l"aide du théorème de factorisa- tion en utilisant le zéro donné. a)P(x)=x3+x22x8,P(2)=0. b)P(x)=x3+4x2+6x+4,P(2)=0. c)P(x)=x34x2+x+6,P(2)=0. d)P(x)=x4+x38x8,P(1)=0.

Question 12

Vrai ou faux?

a) T ousles f acteursd"un polynôme sont de la forme ( xa). b) ( x2)(x2+x6) un produit de polynômes premiers.

Question 13

Le polynômeP(x)=x34x2+8x15peut également s"écrire de la manière suivante.

P(x)=(x3)x2x+5

a)

Peut-on le f actoriserda vantage?Expliquer .

b) Vérifier quex=3est un zéro deP(x)dans les deux formes données dans la question. c) Trouver, s"il y en a, d"autres valeurs dexpour lesquelles

P(x)=0.

Question 14

Soit le polynômeP(x)=x45x38x224.

a) Sans eectuer de division, dire si(x2)est un facteur deP(x). b)

Est-ce que ( x+2) diviseP(x)?

Question 15

Soit le polynômeP(x)=x4+3x2+2.

a)

Ce polynôme a-t-il des zéros ?

b)

Existe-t-il une f actorisationpour de P(x)?

c) Cela contredit-il le théorème de f actorisation?Expliquer .

Question 16

SoitP(x)un polynôme de degré 5. En supposant que tous les zéros sont diérents, déterminer le nombre de zéro que ce polynôme pourrait avoir.Calcul diérentiel - 201-NYA - Automne 2020 Exercices révision et notions préliminaires - algèbre 3

Solutions

Question 1

(a)Appliquer la même fonction (f(A)=A4x) à chaque même de l"égalité. (b)

Transitivité de l"égalité (SiA=

BetA=C, alorsC=B).

(c)

Si le produit (x-2)(x-2) est nul,

alors un des facteurs (x-2) doit

être nul.

(d)

Appliquer la même fonc-

tion (g(A)=A+2) à chaque membre de l"égalité.

Question 2

a) pApB pA+pB pA pA+pB pB pA+pB pA pA+pA pBpB pApB pB =pA pA+pA pBpA pB pB pB pA pA+0pB pB =pA pApB pB =AB b)

L"identité algébrique pour une dif-

férence de carré est A

2B2=(AB)(A+B):

Si on substituepAàAetpBàB,

on obtient pA 2pB

2=pApB

pA+pB

CommepA

2=AetpB

2=B, on a obtient l"identité demandée :

AB=pApB

pA+pB

Question 3

a)x=922 b)x=2611 c)x=72 d)x=358 e)x =1oux=0. (Si vous n"avez pas obtenu la solutionx=0, vous avez probablement divisé parxsans vous assurer quex,0. Il faut traiter ce cas séparément.) f)x =3p2(utilisezp6 p3=p232=3p2) g)x =5p3 3 ou5p3. (Utiliserp15=p3 p5) h)x=qp2=4p2quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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