[PDF] Feuille dexercices I : révisions dalgèbre linéaire 1

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Université de Lorraine - Metz Année universitaire 2019 - 2020

Algèbre linéaire 2L2 - MATH

Feuille d"exercices I : révisions d"algèbre linéaire 1

Exercice 1

1.Montrer que les vecteursv1= (0;1;1),v2= (1;0;1),v3= (1;1;0)forment une base deR3.

(a) Trouver les composantes du vecteurw= (1;1;1)dans cette base. (b) Trouver les composantes des vecteurs canoniquese1,e2,e3dans cette base.

2.DansR3, donner un exemple d"une famille libre qui n"est pas génératrice.

3.DansR3, donner un exemple d"une famille génératrice qui n"est pas libre.

Exercice 2

Pour quelles valeurs det2Rles vecteursf(1;0;t);(1;1;t);(t;0;1)gforment-ils une base deR3?

Exercice 3

SoitEun espace vectoriel de dimension3et de baseB= (e1;e2;e3). Les familles de vecteurs suivants de

Esont-elles des familles libres ou liées? Sont-elles des bases? Pour chacune de ces familles, donner son

rang. Pour les familles liées en extraire une famille libre maximale et pour les familles libres les compléter

par des vecteurs deBpour obtenir une base deE. (a)(e1+e2+e3;e1+e2+e3) (b)(e1e3;e1+e2;e2+e3) (c)(e1+e2+e3;2e1e2+ 2e3; e12e2e3).

Exercice 4

1.Est-ce que le sous-ensembleE=f(x;y)2R2jy= 2xg, muni des lois habituelles de l"espace

vectorielR2, est unR-espace vectoriel?

2.Est-ce que le sous-ensembleF=f(x;y;z)2R3jy2= 2x; z= 0g, muni des lois habituelles de

l"espace vectorielR3, est un sous-espace vectoriel deR3?

Exercice 5 (Extrait du partiel d"octobre 2017)

DansE=R4, soitF=f(x;y;z;t)2E:x+y+zt= 0et2y+z+t= 0g.

1.Déterminer une base deF.

2.Déterminer un supplémentaire deFdansE.

Exercice 6

Soienta= (2;3;1),b= (1;1;2),c= (3;7;0),d= (5;0;7). SoientE=< a;b >etF=< c;d >.

Montrer queE=F.

Exercice 7

Les fonctionsx7!cos(x),x7!cos(2x)etx7!cos(3x)sont-elles linéairement indépendantes dans l"espace

vectoriel réelC(R;R)des fonctions continues surR? 1

Exercice 8

SoitE=f(x;y;z)2R3jx+y+z= 0g. Soienta= (1;2;3)etb= (2;1;1). On poseF=< a;b >.

1.Montrer queEest un sous-espace vectoriel deR3.

2.DéterminerE\F.

3.A-t-onR3=EF?

Exercice 9

SoitE=f(x;y;z;t)2R4jxy= 0etzt= 0g.

1.Montrer queEest un sous-espace vectoriel deR4.

2.Déterminer une base deE.

3.Compléter cette base en une base deR4.

Exercice 10 (Extrait du partiel d"octobre 2018)

On muni l"espace vectorielE=R4de sa base canonique. Soit F 1=n (x;y;z;t)2Etels que(

4x2yzt= 0

2xy2z+t= 0o

etF2le sous-espace vectoriel deEengendré par(1;1;2;1)et(1;2;1;1).

1.(a) Montrer queF1est un sous-espace vectoriel deE. Trouver une base deF1.

(b) Quelles sont les dimensions deF1etF2? (c) Montrer queE=F1F2.

2.Pour toutu2E, on noteu12F1etu22F2les vecteurs correspondants à la décomposition

u=u1+u2dansE=F1F2. Déterminer les coordonnées deu2dans la base canonique deEen fonction de celle deuet en déduire les coordonnées deu1.

3.On définit l"application

p:E!E u7!u2 (a) Montrer quepest un endomorphisme deE. (b) Quelles sont les coordonnées dep(u)dans la base canonique deEen fonction de celles deu?

Exercice 11

On considère l"applicationh:R2!R2définie par :h(x;y) = (xy;3x+ 3y).

1.Montrer quehest une application linéaire.

2.Montrer quehn"est ni injective ni surjective.

3.Donner une base de son noyau et une base de son image.

Exercice 12

On considère l"application linéairef:R4!R2définie parf(x;y;z;t) = (x+y+z+t;x+2y+3z+4t).

1.Quelle est la matrice defdans les bases canoniques deR4etR2?

2.Déterminer le noyau def. Est-ce quefest injective?

3.Déterminer l"image def. Est-ce quefest surjective?

2

Exercice 13

SoientEunR-espace vectoriel de dimension3etB=fe1;e2;e3gune base deE. On considèrefl"appli- cation linéaire deEversEtelle que : f(e1) =e1+e2+e3 f(e2) = 2e1e2+ 2e3 f(e3) = 4e1+e2+ 4e3

1.Quelle est la matriceAdefdans la baseB? Siu2Ea pour coordonnées(x;y;z)dans la base

B, quelles sont les coordonnées def(u)dans la baseB?

2.Calculerf(e1+ 2e2).

3.Déterminer le noyau et l"image def.

4.Ces sous-espaces vectoriels sont-ils supplémentaires?

5.Quelle est la matrice def2dans la baseB? En déduiref2(e1),f2(e2)etf2(e3).

Exercice 14

Soitf:R4!R3l"application linéaire dont la matrice dans les bases canoniques deR4etR3est A=0 @1 2 1 3

1 1 2 1

12 5111

A

1.Déterminer une base du noyau def.

2.Déterminer une base de l"image def. Quel est le rang deA?

Exercice 15

Déterminer le rang de la matrice

A=0 B

B@1 1 2 1 1

2 1 1 1 1

1 1 1 2 1

2 1 1 1 11

C CA

Exercice 16

SoitBla base canonique deR3. Soitul"application linéaire qui à un vecteur(x;y;z)2R3associe le vecteuru(x;y;z) = (y2z;2xy+ 4z;xy+ 3z).

1.Déterminer la matriceAdeudans la base canoniqueB.

2.Déterminer une base(a;b)deKer(uId).

3.Donner un vecteurctel queKer(u) =< c >.

4.Montrer queB0=fa;b;cgest une base deR3.

5.Déterminer la matriceDdeudans la baseB0.

6.Montrer que Im(u) =Ker(uId).

7.Montrer que Ker(u)Im(u) =R3.

Exercice 17 (Extrait du partiel d"octobre 2017)

SoientEunk-espace vectoriel de dimension3etfun endomorphisme deE. Déterminer le rang def dans chacun des cas suivants :

1.f6= 0etf2= 0.

2.f26= 0etf3= 0.

3

Exercice 18

On considère la matrice

A=0 @1 0 0 0 0 1 01 01 A

1.CalculerA2etA3. CalculerA3A2+AI.

2.ExprimerA1,en fonction deA2,AetI.

3.ExprimerA4en fonction deA2,AetI.

Exercice 19

SoitBla base canonique deR4. Soitul"application linéaire dont la matrice dansBest 0 B

B@7 6 6 6

0 2 0 0

3 3 2 3

6 3 6 51

C CA

Soienta;b;c;dles quatre vecteurs

a=2e1e2e3e4; b=e2e4; c= 2e1+e3+e4; d= 3e1+e3+ 2e4

1.Montrer queB0=fa;b;c;dgest une base deR4.

2.Calculeru(a);u(b);u(c);u(d)dans la baseB0.

3.En déduire la matriceDdeudans la baseB0.

4.Déterminer la matrice de passagePdeBàB0.

5.CalculerP1etP1AP.

Exercice 20

Soitf:R2[X]!R2[X]définie parf(P) =P(X2)P0.

1.Montrer quefest une application linéaire.

2.Montrer quefest un endomrphisme deR2[X].

3.Déterminer le noyau et l"image def.

4.Déterminer la matrice defdans la baseB=f1;X;X2g.

5.Montrer queB0=f1;X2;(X2)2gest une base deR2[X].

6.Déterminer la matrice de passagePdeBàB0. CalculerP1.

7.Quelle est la matrice defdans la baseB0.

Exercice 21

SoientEun espace vectoriel etu;vdeux endomorphismes deE.

1.Montrer queKer(u)Ker(u2).

2.Montrer queIm(u2)Im(u).

3.Montrer queKer(u)\Im(u) =u(Ker(u2)).

4.Montrer queu(Ker(vu)) = Ker(v)\Im(u).

5.Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) Ker(u)\Im(u) =f0g. (ii) Ker(u) =Ker(u2). 4

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Feuille d'exercices II

Exercice 1

Pour chacune des permutationssuivantes :

1=1 2 3 4 5 6

3 5 4 6 2 1

2=1 2 3 4 5 6 7

3 5 6 7 1 2 4

3=1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 6 9 7 2 5 8 1 3

1. Decomposeren produit de cycles a supports disjoints.

2. Decomposeren produit de transpositions.

3. Donner la signature de.

4. Calculer1001,20012et1003.

Exercice 2

Soitn1 un entier. Determiner la signature de la permutation suivante: =1 2n1n n n12 1

Exercice 3

Soientn2 et 2kndes entiers.

Combien le groupeSnpossede-t-il de cycles de longueurk?

Exercice 4

1. Soientn4 eta;b;c;d2 f1;;ngtous distincts. Caracteriser (ab)(cd)(da) ?

2. Que dire d'une permutation deSnpossedant au moinsn1 points xes ?

3. Une permutationstelle ques2=idest-elle necessairement une transposition ?

4. Enumerer tous les elements deS4.

Exercice 5

Pourn1, on noteAnl'ensemble des elements deSnde signature egale a 1.

1. Demontrer queAnest un sous-groupe deSn. (Anest appele groupe alterne d'indicen.)

2. Enumerer tous les elements deA3etA4.

3. On suppose desormais quen2 et on xeune transposition deSn. Demontrer que l'application

:Sn!Sn; 7! est une bijection. En deduire le cardinal deAn.

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Feuille d'exercices III

Exercice 1Dans chacun des cas suivants dire si l'application'deR3R3R3dansRest multilineaire. (1)'0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
A =x1+y2+z3. (2)'0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
A =x1y3+y2z1+z3x2. (3)'0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
A =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2. (4)'0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
A =x1x2x3+y1y2y3+z1z2z3. (5)'0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
A =x1y1z1+x2y2z2+x3y3z3. (6)'0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
A = (x1y1+x2y2+x3y3)(z1+z3). (7)'0 @x 1 x 2 x 31
A ;0 @y 1 y 2 y 31
A ;0 @z 1 z 2 z 31
A = (x1+ 2x2)(z1+z3).

Exercice 2

(1) Montrer que l'espace des formes bilineaires surR2est un espace vectoriel. En donner une base. (2) Donner toutes les formes trilineaires alternees surR2. Plus generalement que dire des formesm- lineaires alternees sur un espace vectoriel de dimensionnlorsquem > n? 2 Exercice 3DansR3muni de sa base canoniquefe1;e2;e3g, on considere les applications suivantes!et suivantes: !:R3R3!R;0 @x 1 x 2 x 31
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