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sur. R. En effet f(2 × 1) = f(2) = 8 mais 2f(1) = 2 = 8. 1. François Liret et Dominique Martinais. Algèbre 1re année - Cours et exercices avec solutions.
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Commencer par trouver une solution particulière P0 avec l'une des méthode toutes les solutions du problème. ... Indication pour l'exercice 10 ?.
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ALGÈBRE. EXERCICES AVEC SOLUTIONS. 1988 200 pages. COURS DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES. Classes Préparatoires. Enseignement supérieur 1er cycle. Volume 1.
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Correction ?. [005278]. Exercice 246 ***. Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiers xi ? 0 de l'équation.
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MÉTHODE DU PIVOT........................................................................ PRODUITS SCALAIRES........................................................................ .....................................6ORTHONORMALISA
TION.........................
....................10 APPLICATIONS LINÉAIRES, MATRICES, INVERSE, PROJECTEURS.................................13
Biostat
istique / exo3cor.doc /Page 1 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/exos/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 Indépendance, générateur, dimension, bases ? Dans un espace vectoriel E, si a, b, c et d sont des vecteurs indépendants, alors a - b, b - c, c - d et d - a sont des vecteurs indépendants. FAUX (a - b) + (b - c) + (c - d) + (d - a) = 0. ? Dans , les vecteurs (2, 14, -34, 7), (1, 4, -5, 2) et (1, 2, 3, 1) engendrent un sous- 4 espace vectoriel de dimension 2. VRAI211115110
14422 0 02 0 0
rgrgrg3453311 55311 0
721100100
abcacbb2cca7cabcc5b 2 Les vecteurs engendrent un sous-espace de dimension 2. Nous avons utilisé ici la triangulation de la matrice dont les colonnes sont les vecteurs a,b,c a,b,c, et le fait qu'on ne change pas un sous-espace vectoriel engendré en :1. Permutant les vecteurs ;
2. Multipliant un vecteur par un scalaire non nul ;
3. Remplaçant un vecteur par une combinaison linéaire des autres vecteurs.
? Dans un espace vectoriel E, si a et b sont des vecteurs indépendants et si a et c sont des vecteurs indépendants, alors a, b et c sont des vecteurs indépendants. FAUX Si on prend par exemple a = (1,0), b = (0,1) et c = (1,-1). Alors a et b sont indépendants, a et c sont indépendants, mais a = b + c donc {a, b, c} est liée. Remarque : comme on a pris a, b et c dans le plan, on sait immédiatement qu'ils sont liés. Biostatistique / exo3cor.doc /Page 2 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1 ? Un espace vectoriel ne peut pas être constitué d'un nombre fini d'éléments. FAUX 0E est un e.v. avec un nombre fini d'éléments. Remarque : C'est le seul exemple parmi les e.v. sur un corps K infini, car si xE et , alors 0x . ,KxE ? Les fonctions de [0,1] dans [0,1] forment un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de dans . FAUXSi on prend par exemple
:0,10,1f définie par 12fx, alors la fonction 3f n'est pas une fonction de [0,1] dans [0,1] : 33fx2.? On note E l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
3. E est un espace vectoriel sur . Dans E, un polynôme et sa dérivée forment toujours
un système libre. FAUX Le polynôme nul ou les polynômes constants ont pour polynôme dérivé le polynôme nul. Un polynôme constant forme donc un système lié avec sa dérivée. ? Les vecteurs colonnes de la matrice2132113
0214115
4239717
23452223
sont indépendants.FAUX : Ce sont 6 vecteurs de .
4 Biostatistique / exo3cor.doc /Page 3 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon1Méthode du pivot
Donner la dimension et une base des sous-espaces engendrés par les vecteurs colonnes des matrices :15102131322132
26345132640214
26433115504239
150110311622345
abcd1510151115191519
263422636226439226439
rgrgrgrg42643221452210022100
1501100010001000
a aa=a a=a bb=b+5cb=b c=4c-b+d-4 cc=c d=4d-5 dd=d+a a=a b=b c=c cd=39d-4cLes quatre vecteurs colonnes forment une base.
213344
513355
brgrg2311111
1031100
a=ca bb=b-3 c c=a-10c-7 c-2 Le sous-espace engendré par les vecteurs colonnes est de dimension 2 ; une base possible est formée des vecteurs 3,3,1,1, et 4,5,1,0.132130131
264260262
crgrgrg3550551550
162100100
21051aa=aa=a bb=b-3cb=b cc=c-ac=c5 b
Les trois vecteurs colonnes forment une base.
Biostatistique / exo3cor.doc /Page 4 sur 27 *** http://pbil.univ-lyon1.fr/R/cours/exo3cor.pdf C. Bajard et S. Charles - Biométrie et Biologie Evolutive - Université Lyon12132131213144131450
021404110419904190
drgrgrgrg4239215221002100
2345100010001000
2 d5a c4ac5b d3a2ddd2b 4 a=aaa=a b=bb=b c=cc b a b c d19d9 a b c cLes quatre vecteurs colonnes forment une base.
? La matrice 2012102112
21210
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