[PDF] Chapitre 2 - Les Bases de lalgèbre linéaire

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Chapitre2

LesBasesde l'algèbre linéai re

2.1Espaces vectoriels

C'estGiusepp ePeano,verslafindu19èmes iècle,quidégagelep remier lesnotions d'espacesv ectorielsetd'applicationslinéairesabstraitesquen ous

étudionsdanscecours.

Lesélémen tsd'unespacevectorielss ontappelésve cteurs.Commelesvec - teursdeR 2 ouR 3 nombre.Cesopérationsv érifien tquelquespropriétésquenousall onsisolerdans ladé finitionsuivante. Definition1.UnR-espacevectorielestu ntriplet(E,+,.)forméd'unensem ble Edontlesé lémentsson tappelésvecteurs,d'uneloid'addi tion,notée +,qui estuneapplic ationE!E"Equiàdeuxv ect eursuetvdeEassocieun vecteuru+v#E,qu 'onappellerasomm edesdeuxvecteurs,etd'un eloide multiplicationparunscalairenotée·quiestune applicationR!E"Equi associeàunnombreréel !etunve cteuruleve cteur!uqu'onappellera produit duve cteuruparleré el!.

Axiomesdelasomme:

3.Neutreilexis teunélémentdeEnoté0telque,pou rtoutudeE,

u+0=u.

4.OpposéPourtoutudeE,ilexistev#Etelque u+v=0.

Axiomesdecompatibili tépou rlamultiplication:

4.UnitéPourtoutudeE,1u=u.

Conséquencesimmédiates

- L'associativitépermetd'éviterde mettredesparenthès esdanslessommes deve cteurs. 7

8CHAPITRE2.LESBASES DEL'A LGÈBRELINÉ AIRE

- Lacomm utativitépermetd'échangerle stermesd'unesomme. - Ona0+u=upourtoutu#E. - L'opposédeuestnoté $uetu+($v)estnoté u$vdesor tequ'ona, pourtoutu,u$u=0. - Siu+v=u+w,alorsv=w. - 0u=0. - !0=0. - ($1)u=$u. - 2u=u+u.

2.1.1Exemp lesd'espacesvec toriels

R n munidelas ommede vecteur setduproduitpa runrée l. L'ensembledesfonctionsd'unen sembleIdansR,munidelasommedefonctions etdel amul tiplicati onparunréel.

L'ensembledessuitesàvaleursré elles.

L'espaceR[X]despo lynômesàcoe!cientsréels,qu'o nidentifieraauxfoncti ons dela formeP(x)= n k=0 a k x k L'ensembledesfonctionsd'unens embleXàvaleursdansunespacevectorielE. Exercice:vérifierquecesensemb lesvérifien tbienlesa xiomesdéfinissantles espacesvect oriels.

2.1.2Esp acesvectorielssurdescorps plusgénéraux

Nousnouslimite ronsdanscecou rs,àderarese xceptionsprès ,auxesp aces loisson tassociativese tcommutatives,ilexistedeséléments 0et1quisontd es élémentsneutrespourl' additionetlamult iplicati on,toutréelaunopposépour l'additionettoutrée lnonnul aunin versepourlam ultiplication. Ilex isted'autresensemb lesvérifiantcespropriété s,commel'ensembledes nombrescomplexesoul 'ensembledesnombresra tionnels.D edekinddonneàde telsense mbleslenomdecorps.Lesrésultatsque nous allonsénoncer pourles espacesvect orielssurRrestentvalablessiRestrempl acéparunautrecorps K.

2.1.3Sou s-espacesvectoriels

Definition2.SoitEunespac evectorieletFunsous- ensembledeE.SiFest nonvidee tvérifie

1.PourtousuetvdeFettout!#R,u+!v#F.

AlorsFestunespac evector ielappelésous-esp acevectorieldeE.

Exercice:VérifierqueFestunespace vector iel.

Proposition3.L'intersectiond'unefamilledesous-espacevect orielsestun sous-espacevectoriel.

Preuve:Exercice.

2.1.ESPACESV ECTORIELS9

2.1.4Exemp lesdesous-esp acesvectoriels

Sous-espacesdel'ensembledesfoncti onsdeIdansR.

- L'ensembledesfonctionscontinue sdeIdansR. - L'ensembledesfonctionsdeclasse C k deIdansR. - L'ensembledesfonctionsfdecla sseC k deIdansRtellesque a k f (k) +...+a 1 f +a 0 f=0. - L'ensembledesfonctionsbornéesd eIdansR.

Sous-espacesdel'ensembledessuites .

- L'espacedessuitesconv ergentes. - L'espacedessuitesborné es. - L'espacedessuitestelles que n!0 |u n

Sous-espacesdel'ensembledespolyn ômes.

- L'espaceR n [X]despo lynômesdedegréinférieuràn.

Sous-espacesdel'ensembledeR

n - L'ensembledesvecteursx= x 1 x n 'vérifiantunsystèmed'équ ation sli- néaires: a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 +...+a 1,n x n =0 a p,1 x 1 +a p,2 x 2 +...+a p,n x n =0 L'ensembleL(E,F)desappl icationslinéairesdeEdansF.

2.1.5Esp aceengendré

Definition4.SoitEunespac evectorieletAunsous- ensembledeE.On appelleespaceengen dréparAl'ensembledescombinaisonslinéaires d'éléme nts deA,c' estàdirel'ensem ble desvecteur svdela forme v= n i=0 a i u i oùle sa i sontréels etlesu i desélém entsdeA.On notecet ensembleV ect(A). Parexe mple,unedroiteestunespac eengendr éparunvecteurnonnul. Proposition5.L'espaceengendréparAestl'int ersectiondessous-espaces vectorielsdeEcontenantA.

Vect(A)=&

F"A F.

Enparti culierdonc,Vect(A)estunesp acevect oriel.

Preuve:Exercice.

10CHAPITRE2.LESBASES DEL'A LGÈBRELINÉ AIRE

2.1.6Sommes desous-es paces

Definition6.SoitF,Gdessous- espacesvectorielsdeE.On appelle F+G l'ensembledesvecteursv#Edela formev=u F +u G ,oùu F #Fetu G #G.

Proposition7.F+Gestunsous -espace vectorieldeE.

Preuve:Exercice.

2.2Basesetdi mension

L'algèbrelinéaires'e stdéveloppé audébutdu20èmes ièclepourétudierdes problèmesd'analysefonction nelle.Cesproblèmesfontinter venirdesespacesde dimensioninfinie.Plusrécemmen t,desproblèmesdest atisti quesetd'informa- tiquesontmotivéle développ ementde nouv eauxrésultatsd'algèbrelinéaireen dimensionfinie.Unedesclésde cetessorestle conceptdeba se.Muni d'une base,lesélémen tsd'unespa cevectorieldedimension finiesont"enco dables" dansdesvecteur squ' onpeutmanipuleralgo rithmiquementetsurlesq uelson peutfaired escalculs.Dansc ettesect ion,onrappellelesélément spermettant dedéfinir cesnoti onsa insiquelespremièrespropriétésfonda mentalesdeces objets.

2.2.1Fa millegénératrice

SoitEunespace vectoriel .

Definition8.Unecollect ionGdeve cteursdeEtelque Vect(G)=Eest appeléefamillegéné ratricedeE. Definition9.Onditqu el'esp aceEestdedimen sion finies'ilexisteunefami lle génératricedeEdecar dinalfini. - Toutefamillec ontenantunefamillegé nératriceestgénératrice. - L'espacevectorielR n [X]despo lynômesdedegréinférieurànestun espacededi mensionfini e.(donnerunefamille génératri ce!)

2.2.2Fa millelibre

Definition10.Unecollect ionGdeve cteursdeEestappelée famillelibresi toutvecte urdeVect(G)s'écritdemanièreunique comm ecombinaisonlinéaire d'élémentsdeG.SiGn'estpaslibreondit qu'ell eestliée.SiG=(u 1 ,...,u p estunefami llelibre, onditaussiquelesvec teursu i sontlinéair ementindépen- dants. - Unefamillecon tenantlev ecteurnuln'estjamaislibre. - Lafamille videes tlibre. - Unefamillee xtraited'unef amillelibreest libre.

Proposition11.SoitG=(u

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