Chapitre 2 - Les Bases de lalgèbre linéaire
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Algèbre linéaire
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Rappels dalgèbre linéaire
Une application linéaire f sur E est une application de E dans E telle que : AT = ?A. Les coefficients d'une matrice symétrique sont tous nuls.
Rappelsd'algèbrelinéaire
sonscelaenquatreparties: -Espacesvectoriels-Bases, -Applicationslinéaires-Matrices, -Déterminant-Trace,0.1Espacesvectoriels-Bases
0.1.1Espacesvectoriels
x=0 B B B B B B @x 1 x 2 xn1 C C C C C CAouencore:x=nX
i=1x iei,avecei=ij=1sii=j,0sinon.Lesxisontlescomposantesduvecteurx.
basedel'espacevectoriellRn.Définition0.1.1:(Espacevectoriel)
conditionssuivantessontvérifiées: -8x;y2E=)x+y2E, 1 -8x2E;82lR(oulC)=)x2E, (x+y)=x+y (+)x=x+x distributivité ()x=(x)=(x)associativité0:x=0élément"zéro"
1:x=xélémentneutre
Remarque
Eetstableparcombinaisonlinéaire:
-F6=; -8x;y2F=)x+y2F, -8x2F;82lR(oulC)=)x2F.Exercice
espace(unedroite)vectorieldelRn.0.1.2Bases
-génératriceet -libre(indépendancelinéaire).Remarque
si kX i=1 ixi=0alorsi=0;i=1;k:Exercice
Etenfin...dansunespacededimensionn:
-toutefamillelibreaauplusnvecteurs, 20.2Applicationslinéaires-Matrices
0.2.1Applicationslinéaires
SoitEunespacevectoriel.
8x;y2E;f(x+y)=f(x)+f(y);
8x2E;82lR(oulC);f(x)=f(x):
Lenoyaud'uneapplicationlinéairefest:
Kerf=fx2E=f(x)=0g:
L'imaged'uneapplicationlinéairefest:
Imf=fy2E=9x2E;f(x)=yg:
Exercice
festinjectivesietseulementsi: sif(x)=f(x0)alorsx=x0Exercice
:MontrerquesifestinjectivealorsKerf=f0g. festsurjectivesietseulementsi:8y2E;9x2E;f(x)=y;
ouautrementditsietseulementsiImf=E. finjective()Kerf=f0g ()Imf=Ef()surjective ()fbijectiveSoitfe1;e2;:::;engunebasedelRn.
38i=1;n:f(ei)=nX
j=1 j(ei)ej nX j=1a jiejavecaji=j(ei)(notation)Exercice
:Enpartantdey=f(x)avecx=nX i=1x ieiety=nX i=1y iei,faitesapparaitrela matricereliantyàx: n X j=1y jej=y=f(x)=f(nX i=1x iei) nX i=1x if(ei) nX i=1x in X j=1a jiejAinsipourchaqueej,nousavons:
y j=nX i=1x iajiécritplushabituellement:
y i=nX j=1a ijxjNousavonsainsilamatriceAsuivante:
A=0 B B B B B B @a11a12:::a1n
a21a22:::a2n
a n1an2:::ann1 C C C C C C ARemarque
aussidelabasedanslaquelleonl'écrit!Changementdebasesurunematrice:
4SoientdeuxbasesdelRn:
fe1;e2;:::;engetn e0 1;e02;:::;e0
n:oChaquevecteure0
e 0 i=nX j=1S j(e0 i)ej i)): S=0 B B B B B B @S11S12:::S1n
S21S22:::S2n
S n1Sn2:::Snn1 C C C C C C ARemarque
:Laièmecolonnedonnelescomposantesdee0 idanslabasefe1;e2;:::;eng.DoncImSestengendréparlesvecteurse0
ImS=E()surjective()bijective
Sestdoncinversible,d'où:
8i=1;n;e0
i=Sei8i=1;n;ei=S1e0
iRemarque
e0 1;e02;:::;e0
n:oExercices
1.Soitx2lRnt.q.x=nX
i=1x iei=nX i=1x0 ie0 i.Développerlarelationentrexietx0 i. A0danslabasen
e0 1;e02;:::;e0
n:o suivante:Y=AXdanslabasedesei:
Y0=A0X0danslabasedese0
i: 5LeproduitdedeuxmatricesC=AB(Cij=nX
k=1A ikBkj)necorrespondpasauproduitde y=fog(x)=f(g(x))Y=ABX=A(BX):
Ainsi,toutcommefog6=gof:AB6=BA.
-TransposéedelamatriceA: A T=A=tA=)(AT)ij=aji:
-Asymétrique:A=AT. -Ahermitienne:A=A;(A)ij=8A:A=A+AT
2+AAT2symétriqueantisymétrique
-Adiagonale:aij=0;8i6=j. -Atriangulairesupérieure:aij=0;8i>j. -et: (AT)T=A; (A+B)T=AT+BT; (A)T=AT; (AB)T=BTAT; (A1)T=(AT)1:0.3Déterminant-Trace
Lesinvariants.
60.3.1Déterminant
detA=X2Sn(1)jja1;(1)a2;(2):::an;(n)
-detI=1(Imatriceidentité), -detA=detAT;detA= detA, -detAB=detAdetB=detBA, -det(A1)=1 detAsidetA6=0c.a.d.siA1existe, i=1a ii.Exercices
0.3.2Trace
LetracedelamatricecarréeAd'ordrenest:
TrA=nX
i=1a ii -TrA=TrAT, -TrA=TrA, -TrAB=TrBAetengénéralTrAB6=TrATrB, -TrA=0siAestantisymétrique, -siAetA0sontsemblables:TrA=TrA0.0.4.1Valeursetvecteurspropres
Sil'onapourunematriceAd'ordren:
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