[PDF] Problems and Exercises of Geodesy

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Ecole Supérieure Privée d"Aéronautique et des

Technologies de Tunis

TRAVAUX PRATIQUES - EXERCICES ET

PROBLEMES DE GEODESIE

Collectés Par

Abdelmajid BEN HADJ SALEMarXiv:1612.09452v1 [math.HO] 30 Dec 2016 2

Table des matières

Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

ITravaux Pratiques de Géodésie7

1 Courbes et Surfaces - Ellipse et Ellipsoide de révolution 9

1.1Courbes et Surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Courbes Gauches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Surfaces paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2L"Ellipse et l"ellipsoide de révolution. . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3Calcul d"un arc d"ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Intégrales de Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Calcul d"un arc d"ellipse méridienne . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Passage des coordonnées cartésiennes en ellipsoidiques 13

2.1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Les Algorithmes Itératifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2 Les Algorithmes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Méthode des Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IIExercices et Problèmes21

3 Exercices et Problèmes 23

3.1Trigonométrie Sphérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2Astronomie de Position. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3Courbes et Surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

4TABLE DES MATIÈRES

3.4La Géométrie de l"Ellipse et de l"Ellipsoide. . . . . . . . . . . . 34

3.5Les Systèmes Géodésiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6Les Réductions des Distances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7Les Représentations Planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8La Représentation Lambert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.9La Représentation UTM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.10Les Transformations de passage entre les Systèmes Géodé-

siques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.11Notions sur le Mouvement d"un Satellite Artificiel de la

Terre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IIIThéorie des Erreurs55

4 Exercices et Problèmes 57

4.1Exercices et Problèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Préface

Le présent document est une collection de travaux pratiques, d"exercices et de pro- blèmes de géodésie pour les étudiants en géodésie cycle des ingénieurs. 5

6TABLE DES MATIÈRES

Première partie

Travaux Pratiques de Géodésie

7 Chapitre1Courbes et Surfaces - Ellipse et Ellipsoide de révolution

1.1Courbes et Surfaces

1.1.1 Courbes Gauches

* Le trièdre de Frenêt. * Définition de la courbure. * Calcul dans le cas d"une courbe plane.

1.1.2 Surfaces paramétrées

* Plan tangent, vecteur unitaire normal. * 1ère forme quadratique fondamentale, courbes orthogonales symétriques. * Courbe tracée sur une surface, trièdre de Darboux. * Théorème de Meusnier. * Directions et courbures principales, courbure d"une section normale. * Courbures principales d"une surface de révolution.

1.2L"Ellipse et l"ellipsoide de révolution

* Définition. * Définitions concernant l"aplatissement, les excentricités. * Définitions des latitudes : - paramétrique : , 9

10CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES - ELLIPSE ET ELLIPSOIDE DE RÉVOLUTION

- géographique :', - géocentrique :!,

1.2.1 Exercices

1. Calculer les composantes du vecteur normal extérieur à l"ellipsoide, en déduire les

relations (dans les deux sens) entre les lignes trigonométriques de'et celles de .

2. Donner les équations paramétriques de l"ellipse et de l"ellipsoide en fonction, re-

pectivement, de'et deet'.

3. Etablir une relation différentielle entre et'.

4. Calculer la différentielledde l"arc d"ellipse en fonction de', puis la première

forme quadratique de l"ellipsoide.

5. Calculer les courbures principales de l"ellipsoide de révolution.

6. Trouver la coordonnée curviligne de l"ellipsoide de révolution qui forme avec la

longitude un couple de coordonnées symétriques et qui s"annulle le long de l"équateur.

1.3Calcul d"un arc d"ellipse

1.3.1 Intégrales de Wallis

Soit à calculer :

W 2p=Z 0 sin2p!d!

On pose :

I p2( ) =Z 0 sinp2!cos2!d!

1. Etablir les formules suivantes :

W p=Wp2Ip2(1.3.1) (p1)Ip2=sinp1 cos +Wp(1.3.2) W p=p1p Wp21p sinp1 cos (1.3.3)

2. Préciser la valeur deW0, et proposer un programme (en Matlab) de calcul deW2p.

1.3.2 Calcul d"un arc d"ellipse méridienne

On a :

(') =Z 0 d'

1.3.CALCUL D"UN ARC D"ELLIPSE11

avec : =a(1e2)w

3; w2= 1e2sin2'

1. Développerw3suivant les puissances croissantes deesin'.

2. Calculer(')en fonction desW2p(').

3. Majorer l"erreur de calcul, lorsqu"on arrête le développement au termee2n. Calculer

nsi l"on recherche la précision du millimètre sur, quelle que soit la latitude'entre 2 et2

4. Proposer un organigramme de calcul.

5. Envisager la solution du problème inverse : calcul de'connaissant.

12CHAPITRE 1. COURBES ET SURFACES - ELLIPSE ET ELLIPSOIDE DE RÉVOLUTION

Chapitre2Passage des coordonnées cartésiennes en ellipsoidiques

2.1Introduction

On considère un référentiel géodésique(O;OX;OY;OZ)avec un ellipsoide de ré- férenceEde paramètresa;e2où respectivementale demi-grand axe et le carré de la première excentricité. Les coordonnées cartésiennes(X;Y;Z)d"un pointM(';;h)sont données par : M8 >:X= (N+h)cos'cos

Y= (N+h)cos'sin

Z= (N(1e2) +h)sin'(2.1.1)

On veut étudier le passage de(X;Y;Z)à(';;h).

1. Montrer en considérant queZ0,hvérifie :

h (N(1e2)(2.1.2)

Le calcul deest facile, et on a :

tg() =YX (2.1.3) Le calcul de';hest plus complexe. Sa résolution peut se faire par les trois méthodes suivantes : a - les algorithmes itératifs, b - les algorithmes finis, c - les développements limités. 13

14CHAPITRE 2. PASSAGE DES COORDONNÉES CARTÉSIENNES EN ELLIPSOIDIQUES

2.1.1 Les Algorithmes Itératifs

Les algorithmes itératifs conduisent à résoudre une équation de la forme : x=f(x)(2.1.4) oùxest une inconnue auxiliaire. Soitxune solution de (2.1.4). Partant d"une solution approchéex0dex, on calcule successivement : x

1=f(x0)

x

2=f(x1)

x i=f(xi1) La méthode converge si, pour un ensemble de voisinagesVide la solutionx: V i=f(Vi1)Vi1(2.1.5) On dit quefest une fonction contractante au voisinage dex. Sifest continue et dérivable au voisinage dex, la condition de convergence est :

9un voisinageVdex

9k2[0;1]9

>;tels quex2V=)f0(x)k(2.1.6) En d"autres termes, la méthode itérative converge sijf0(x)jest majorée par un coefficient kinférieur à 1 au voisinage de la solution. La divergence de la méthode n"implique pas l"inexistance de la solution.

Etude de la précision de la Méthode

de : x

1=f(x0)

x

2=f(x1)

x i=f(xi1)

2.1.INTRODUCTION15

on tire :xx1=f(x)f(x0) = (xx0)f0(1)xx2=f(x)f(x1) = (xx1)f0(2) ... (2.1.7)xxi1=f(x)f(xi2) = (xxi2)f0(i1)xxi=f(x)f(xi1) = (xxi1)f0(i) avec, à chaque foisi2[xi;x]. On en déduit lesi+ 1inégalités : jxx0j jxx0j jxx1j< kjxx0j jxxi1j< kjxxi2j jxxij< kjxxi1j

Soit par multiplication membre à membre :

jxxij< kijxx0j(2.1.8) Comme la fonction est contractante, on peut, dans cette équation, remplacerjxx0jpar jx00x0j,x00étant une valeur approchée dexformant, avecx0un encadrement dex:x2x0;x00 L"erreur de la méthode est alors majorée par : jxxij< kijx00x0j(2.1.9) Le nombreid"itérations nécessaires pour calculerxavec une précisionxdonnée à l"avance est obtenu par :kijx00x0j< xsoit, en se souvenant quek <1i >

Logxjx00x0jLogk(2.1.10)

Etapes de l"Analyse et la programmation d"une Méthode itérative : L"Analyse et la programmation d"une Méthode itérative peuvent comporter les élé- ments suivants : - Démonstration de l"équation employée :x=f(x).

16CHAPITRE 2. PASSAGE DES COORDONNÉES CARTÉSIENNES EN ELLIPSOIDIQUES

- Calcul et majoration def0, eventuellement étude des cas oùjf0(x)j>1. - Calcul dei, nombre d"itérations nécessaires. Ce nombre peut être fixé une fois pour toutes, ou calculé par le programme. - Calcul de'et dehpar une formule peu sensible aux erreurs surx. - Rédaction d"un organigramme et d"un programme en Matlab, accompagnés d"une notice d"emploi sur les limites d"emploi, le temps d"éxecution et l"encombrement en machines. - Un jeu d"essai au moins.

Les Méthodes itératives proposées :

1.'=ArctgZp

+Ne2sin'p avecp=pX 2+Y2.

2.'=Arctg"

Zp

1Ne2cos'p

1# avecp=pX 2+Y2.

3.'= +ArcsinNe2sin2'2r, avec =ArctgZpX

2+Y2; r=pp

2+Z2.

2.1.2 Les Algorithmes finis

Les algorithmes finis conduisent à la résolution d"une équation du 4ème degré : x

4+a1x3+a2x2+a3x+a4= 0(2.1.11)

oùxest une variable auxiliaire. On donne ci-dessous quelques indications pour la réso- lution de l"équation (2.1.11). On élimine le terme du troisième degré par la transformation linéaire : y=x+a14 (2.1.12)

L"équation (2.1.11) devient :

y

4+a02y2+a03y+a04= 0(2.1.13)

On abaisse ensuite le degré de cette équation en posant :

2y=u+v+w(2.1.14)

Entre les variables indépendantesu;v;w, on peut encore imposer deux relations, par exemple : u

2+v2+w2=2a02(2.1.15)

u:v:w=a03(2.1.16)

2.1.INTRODUCTION17

En utilisant les fonctions symétriques des racines, on montre queu2;v2;w2sont solutions de l"équation : z

3+ 2a02z2+ (a0224a04)za03= 0(2.1.17)

On fait disparaître le terme du second degré par le changement : =z+2a023 (2.1.18) et on résout l"équation par la méthode de Cardan (Chercher dans le Web). L"équation (2.1.17) admet trois solutions dans le corps des nombres complexesC: u

2;v2;w2. Ce-ci fournità priori8 possibilités de calculerypar (2.1.14). Cependant, le

signe du produituvwest imposé par (2.1.16), et l"équation (2.1.11) n"admet bien que quatre solutions parmis lesquelles il faudra choisir. L"Analyse et la Programmation d"une Méthode Finie : L"Analyse et la programmation d"une méthode finie comportera les éléments sui- vants : - Démonstration de l"équation employée. - Le calcul des racines et la discussion. - Le calcul de'et deh. - La rédaction d"un organigramme et d"un programme en Matlab, accompagnés d"une notice d"emploi sur les limites d"emploi, le temps d"éxecution et l"encom- brement en machines. - Un jeu d"essai au moins.

Les Méthodes Finies Proposées :

1. On écrit que, simultanément, le pointmappartient à l"ellipse méridienne et que sa

distance àMest extrémale. C"est un problème d"extrémum lié. On se ramenera à l"équation (2.1.11) dans laquellexest le multiplicateur de Lagrange (Fig.2.1.1).

2. On écrit que la pente demMet celle demIvalenttg'=a2b

2tguoùuest la latitude

géocentrique du pointm. Il vient :

ZZ0RR0=a2b

2:Z0R

0(2.1.19)

On élimineZ0à l"aide de l"équation de l"ellipse et on obtient une équation du 4ème degré enR0(Fig. 2.1.2).

18CHAPITRE 2. PASSAGE DES COORDONNÉES CARTÉSIENNES EN ELLIPSOIDIQUESFigure2.1.1 - La Méthode Finie 1.Figure2.1.2 - La Méthode Finie 2.

2.1.INTRODUCTION19

2.1.3 Méthode des Développements limités

xétant une inconnue auxiliaire, ettun paramètre facilement calculable en fonction des données, on cherche lesaitels que : x=i=nX i=0a itn(2.1.20) Lesaisont des coefficiens fonctions des donnéesX;Y;Z;aete2; ils sont connus jusqu"à un certain rang, ou calculables par un programme. Il peut être difficile de majorer l"erreur de la méthode, suivant les cas. Le développe- ment peut aussi diverger pour certaines valeurs det.

L"Analyse et la Programmation :

L"Analyse et la programmation d"une méthode par développement limité peut com- porter :

1. La démonstration des formules employées.

2. Une étude analytique de précision ou, si impossible, une comparaison avec d"autres

méthodes.

3. La rédaction d"un organigramme et d"un programme en Matlab, accompagnés

d"une notice d"emploi sur les limites d"emploi, le temps d"éxecution et l"encom- brement en machines.

4. Un jeu d"essai au moins.

Le Développement proposé :

On pose :

R= (N+h)cos'(2.1.21)

Z= (N(1e2) +h)sin'(2.1.22)

x=RZ tg'(2.1.23)

2= (1e2)Z2(2.1.24)

t=e2pR

2+2(2.1.25)

=pR

2+x22(2.1.26)

c=R2R

2+2(2.1.27)

20CHAPITRE 2. PASSAGE DES COORDONNÉES CARTÉSIENNES EN ELLIPSOIDIQUES

1. Montrer que :

x1 =e2ax (2.1.28)

2. Montrer quexvérifie l"équation :

(x1)2(R2+2x2) =e4a2x2(2.1.29)

On pose alors :

x=x=i=nX i=0a itn(2.1.30)

3. Trouver lesaipour0i2par identification des deux membres de l"équation enx.

On admettra ensuite :

a

3=5c23c2

(2.1.31) a

4= 2c9c2+ 8c3(2.1.32)

Deuxième partie

Exercices et Problèmes

21

Chapitre3Exercices et Problèmes

3.1Trigonométrie Sphérique

Exercicen1 :Calculer l"azimut d"une étoile de déclinaison= +5quand sa dis- tance zénithale est de80pour un observateur situé à la latitude'= 56: Exercicen2 :En appliquant au triangle de position les formules de trigonométrie sphérique montrer que l"on peut calculer l"angle horaireAHcdu coucher d"un astre par : cosAH c=tg':tg. Exercicen3 :Soit un triangle sphériqueABC. On donne les éléments suivants : ^A= 80:16433gr, ^B= 55:77351gr, ^C= 64:06261gr, -AC= 20:1357km, -AB= 22:1435km.

1. Calculer=^A+^B+^C.

2. Déterminerl"excès sphérique de ce triangle.

3. Calculer la fermeture du triangleABC, donnée par :

f=200:00000gr Exercicen4 :Soit(S2)une sphère de rayon égal à 1. Soit un carré sphérique ABCDde côtéa(arc de grand cercle). On note=^A=^B=^C=^D. 23

24CHAPITRE 3. EXERCICES ET PROBLÈMESFigure3.1.1 - Les coordonnées de Cassini-Soldner

1. Montrer que :

cosa=cotg22

2. Donner l"expression de la diagonaled=l0arcAC.

Problèmen1 :Soit(S2)une sphère de rayon égal à 1 et de centre le point Un pointMde(S2)a pour coordonnées(';). On appelle les coordonnées de Cassini-quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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