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    On choisit alors l'axe des z de façon à ce qu'il coincide avec cet axe de symétrie. Par exemple, pour le cylindre à base circulaire, d'axe z, il a pour équation cartésienne x2 + y2 = c2.

  • Comment écrire les coordonnées ?

    Les formules suivantes décrivent la relation entre une coordonnée cartésienne et une coordonnée cylindrique :

    1x = · cos , y = · sin , z = z.2est la coordonnées radiale et (– < ) est la coordonnée azimutale.3x = r · sin · cos , y = r · sin · sin , z = r · cos.4r représente la distance entre le P et l'origine.
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Coordonnées

Définition

La position d'un point dans l'espace peut être exprimée sous forme de coordonnées cartésiennes géocentriques

(utilisant un repère tridimensionnel ayant son origine au centre des masses de la Terre, comme intermédiaire lors de

calculs), soit sous forme de coordonnées géographiques (sous la forme : longitude, latitude et hauteur ellipsoïdale), soit

en coordonnées planes (sur une représentation cartographique en projection).

Le tableau ci-dessous résume les éléments nécessaires à la description d'un type de coordonnées :

Cartésiennes

Géographiques Planes Désignation (X, Y, Z) (Ȝ ,ij ,h) (E, N) Unité angulaire Ŷ Unité linéaire Ŷ Ŷ Ŷ

Projection Ŷ

Méridien origine Ŷ Ŷ Ellipsoïde Ŷ Ŷ

Système géodésique

Coordonnées tridimensionnelles cartésiennes géocentriques Les coordonnées cartésiennes géocentriques (X,Y,Z) sont exprimées selon les trois 3 axes d'un repère ayant son origine au centre des masses de la Terre. Ces coordonnées peuvent être utilisées, par exemple, comme intermédiaire lors de calculs de changements de systèmes géodésiques de références. Coordonnées tridimensionnelles géographiques La lettre grecque Ȝ (lambda) désigne la longitude. La lettre grecque ij (phi) désigne la latitude. La lettre h correspond à la hauteur ellipsoïdale

Méridien Origine

Les longitudes sont le plus souvent comptées positivement vers l'est, par rapport à un méridien origine.

Ce méridien origine peut être celui de Greenwich (méridien international) ou propre à la géodésie d'un pays (méridien de

Paris pour le système NTF de la France).

Hauteur ellipsoïdale

Cette valeur, qui correspond à une distance entre le point considéré et le pied de la normale à l'ellipsoïde, peut différer de l'altitude de plusieurs dizaines de mètres. Tous les systèmes de positionnement par satellites fournissent une hauteur ellipsoïdale et non une altitude.

Conversion

des hauteurs ellipsoïdales en altitudes Le développement rapide de l'utilisation du GPS a suscité de nouveaux besoins en matière de systèmes de référence et de conversions de coordonnées, en particulier dans le domaine de l'altimétrie.

Alors qu'en géodésie classique, les déterminations planimétriques et altimétriques sont séparées, le GPS permet

d'intégrer ces opérations. Dès lors, il devient nécessaire de convertir la hauteur ellipsoïdale (h) en altitude H :

H = h - N

N est l'ondulation : elle correspond à la hauteur du géoïde au-dessus de l'ellipsoïde. Elle est soit positive, soir négative.

Il existe des surfaces et des formules de conversion d'une hauteur ellipsoïdale vers une altitude (type nivellement) qui

offrent une précision décimétrique. Par ailleurs, il est possible d'assimiler très localement une " différence de hauteurs

ellipsoïdales » à une » différence d'altitudes ». Cette simplification néglige la pente du géoïde, qui n'est pas parallèle à

l'ellipsoïde du modèle, en particulier en région montagneuse : cette pente se traduit par un écart entre la verticale et la

normale à l'ellipsoïde et, par conséquent, entre la hauteur ellipsoïdale et l'altitude. En faisant cela on néglige la "pente du

géoïde" (correspondant à l'écart).

Coordonnées bidimensionnelles planes

NB : Contrairement à l'usage courant, qui est de désigner ces coordonnées par les lettres X et Y, il est préférable de les

exprimer par les lettres conventionnelles des abscisses et des ordonnées : E, N (Easting, Northing) afin d'éviter toute

confusion avec les coordonnées cartésiennes (X, Y, Z).

Les coordonnées planes sont issues de deux fonctions mathématiques qui, à tout point M (Ȝ, ij, h) de l'espace exprimé

en fonction de l'ellipsoïde, associent un point M' (E, N) du plan. Chacune d'entre elles fait intervenir la latitude Ȝ et la

longitude ij, mais pas la hauteur ellipsoïdale h. La troisième dimension des coordonnées géographiques est ainsi perdue

au cours de la transformation. Ces coordonnées sont donc bidimensionnelles, ce qui permet de les représenter sur un

plan.

Les paramètres des fonctions de transformation confèrent à la représentation plane des caractéristiques (conservation

des angles ou des distances, par exemple) qui peuvent être utiles à différentes applications cartographiques. Ainsi, il

existe de nombreuses représentations planes pour couvrir les différents besoins de chaque utilisateur.

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