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Équations de droite.

Système d"équationsTable des matières

1 Équations de droite

2

1.1 Vecteur directeur d"une droite

2

1.2 Équation cartésienne d"une droite

2

1.3 Équation réduite d"une droite

3

1.4 Droites particulières

4

1.5 Parallélisme de deux droites

5

2 Système d"équations linéaires

5

2.1 Définition

5

2.2 Existence de solution

5

2.3 Méthode par addition

6

2.4 Résolution par substitution

6

2.5 Méthode dites par comparaison

7

2.6 Systèmes particuliers

8

2.6.1 Deux droites strictement parallèles

8

2.6.2 Deux droites confondues

8

2.7 Système non linéaire se ramenant à un système linéaire

9 PAUL MILAN17 mai 2011 SECONDE

1 ÉQUATIONS DE DROITE

1

Équations de droite

1.1

V ecteurdirecteur d"une droite Définition 1 :Soit une droiteddéfinie par deux pointsAetB. Un vecteur

directeur

~ude la droitedest le vecteur!AB.Remarque :Le vecteur~un"est pas unique, car 2 points quelconques de la

droite définissent un vecteur directeur. Si ~uet~vsont deux vecteurs directeurs de la droited, alors les vecteurs~uet~vsont colinéaires. On a donc det(~u,~v) =0.

Exemple :Soit la droite(AB)définie par :

A(3;5)etB(2;3)

Le vecteur

!u=!ABest un vecteur directeur de la droite(AB), on alors :

u= (23; 3(5)) = (1;8)Théorème 1 :Une droite est entièrement définie si l"on connaît un pointA

et une vecteur directeur ~u.Démonstration :La démonstration est immédiate car à partir du pointAet du vecteur directeur ~u, on peut déterminer un autre pointBtel que :~u=!AB 1.2

Équation cartésienne d"une droite Théorème 2 :Soit une droiteddu plan déterminée par un pointA(xA;yA)

et un vecteur directeur ~u(b;a), avecaetbnon tous les deux nuls. Un équa- tion cartésienne de la droitedest du type : d:ax+by+c=0Démonstration :Soit un pointM(x;y)un point quelconque de la droited. On a alors!AMet~ucolinéaires. Donc leur déterminant est nul.

On a :!AM= (xxA;yyA), donc :

det(!AM,~u) =0 xxAb yyAa =0 a(xxA) +b(yyA) =0 ax+by(axA+byA) =0PAUL MILAN17 mai 2011 SECONDE

1.3 ÉQUATION RÉDUITE D"UNE DROITEOn posec=(xA+yA), on a donc :

ax+by+c=0 Exemple :Soit la droiteddéfinie par les pointA(2;3)et~u(2;1). Déterminer une équation cartésienne de la droited.

En posantM(x;y), on a :

det(!AM,~u) =0 x22 y3 1 =0 (x2) +2(y3) =0 x+2y26=0 x+2y8=0 Remarque :L"équation cartésienne d"une droite n"est pas unique. On peut toujours multiplier les coefficients par un facteurknon nul. Par exemple, on peut trouver pour la droite de l"exemple :2x4y+16=0 en multipliant par (2). 1.3

Équation réduite d"une droite Définition 2 :Soit une droite définie par un pointAet un vecteur di-

recteur ~u(b;a), avecb6=0 (droite non verticale). On peut alors mettre une équation cartésienne de la droitedsous la forme : d:y=mx+p oùmreprésente le coefficient directeur de la droitedetpl"ordonnée à l"ori- gine. Cette équation est appelée "équation réduite» de la droited. Un vecteur directeur est alors ~v(1;m).Démonstration :Une équation cartésienne de la droitedest donc du type : ax+by+c=0 Commeb6=0, on peut diviser cette équation parb, on obtient alors : ab x+y+ca =0 y=ab xcb

En posantm=ab

etp=ca , on obtient : y=mx+pPAUL MILAN17 mai 2011 SECONDE

1 ÉQUATIONS DE DROITE

On peut choisir comme vecteur directeur

~vcolinéaire à~uen divisant les coor- données de celui-ci parb. On obtient alors : v= 1;ab commem=ab , on a :~v= (1;m) Remarque :lorsque l"on peut trouver l"équation réduite de la droited, celle-ci

est alors la représentation d"une fonction linéaire.Théorème 3 :SoitA(xA;yA)etB(xB;yB)deux points d"une droitedtels

quexBxA6=0, on peut alors trouver les coefficients de l"équation réduite ded. On a alors : m=yByAx BxAetp=yAmxADémonstration :Je vous renvoie au chapitre sur les fonctions affines où ces relations ont été démontrées.

Exemple :Soit la droite(AB)définie par :

A(1;4)etB(2;6)

Déterminer l"équation réduite de la droited.

On a alors :

m=642(1)=23 etp=423 (1) =4+23 =143 On a alors l"équation réduite de la droite(AB): y=23 x+143 1.4

Droites particulières Définition 3 :Undroite horizontale(parallèle à l"axe des abscisses) a

comme équation : y=a Undroite verticale(parallèle à l"axe des ordonnées) a comme équation : x=bPAUL MILAN17 mai 2011 SECONDE

1.5 PARALLÉLISME DE DEUX DROITES1.5Parallélisme de deux droites

Théorème 4 :Deux droites de vecteurs directeurs~uet~vou de coefficients directeursmetm0sont paralléles si, et seulement si : êLeurs vecteurs directeurs sont colinéaires. On a donc : det(~u,~v) =0 êLeurs coefficients directeurs sont égaux. On a alors : m=m02Système d"équations linéaires 2.1 Définition Définition 4 :Onappellesystèmed"équationslinéairesdedeuxéquations à deux inconnues, le système défini par : S (ax+by=c a

0x+b0y=c0Exemple :Soit le système défini par :

S (3x7y=1

5x+2y=29

(S)est donc un système linéaire de deux équations à deux inconnues. 2.2

Existence de solution

Chaque équation d"un système linéaire à deux inconnue(S)est assimilable à une équation cartésienne d"une droite. On peut donc assimiler le système linéaire

de deux équations à l"intersection de deux droites.Théorème 5 :L"existence de solution d"un système linéaire de deux équa-

vérifiant chacune l"une des équations du système. Trois cas peut alors se pro- duire : êLes droites(D1)et(D2)sont sécantes. Il existe alors une unique solutionquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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