Equation dune droite
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Linversion 1 Cercle-droite
l'équation complexe d'une droite est : ¯?z + ?¯z = k où ? ? C? et k ? R. 1.2 Équation complexe d'un cercle. Soit C(? r) le cercle de centre ? et de rayon
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Déterminer l'équation d'une droite connaissant deux points de cette droite. ) Il s'agit de calculer les coefficients. (coefficient directeur et ordonnée à
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Tracer la droite d'équation cartésienne 3 + 2 ? 5 = 0. Correction. Pour tracer une droite il suffit de connaître un point appartenant à la droite et un
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Éléments de géométrie
Arnaud Bodin, avril 2012
L"inversion
1 Cercle-droite 1
2 L"inversion 2
3 Les homographies 6
4 Dispositifs mécaniques 8
5 Construction au compas seulement 91 Cercle-droite
1.1 Équation complexe d"une droite
Soit ax+by=c l"équation réelle d"une droiteD:a;b;csont des nombres réels (aetbn"étant pas nuls en même temps) d"inconnues(x;y)2R2.Écrivonsz=x+iy2C, alors
x=z+¯z2 ; y=z-¯z2i doncDa aussi pour équationa(z+¯z) -ib(z-¯z) =2cou encore(a-ib)z+ (a+ib)¯z=2c.Posons!=a+ib2Cetk=2c2Ralors nous obtenonsi
01i 01D l"équation complexed"une droite est :¯!z+!¯z=k
où!2Cetk2R.1.2 Équation complexe d"un cercleSoitC(
;r)le cercle de centre et de rayonr. C"est l"ensemble des pointsMtel que d( ;M) =r. Si l"on note!l"affixe de etzl"affixe deM. Nous obtenons : d( ;M) =r()jz-!j=r()jz-!j2=r2()(z-!)(z-!) =r2 en développant nous trouvons que!C r i 01 1 l"équation complexedu cercle centré en (!)et de rayonrest : z¯z-¯!z-!¯z=r2-j!j2 où!2Cetr2R.1.3 Les cercles-droites Les deux paragraphes précédents conduisent à la définition suivante. Proposition 1.Uncercle-droiteest l"ensemble des pointsMdu plan d"affixeztel que az¯z-¯!z-!¯z=k oùa;k2R,!2Csont donnés.Si a=0un cercle-droite est une droite.
Si a6=0un cercle-droite est un cercle.
Exemple 1.Le cercleCr=C(
(0;r);r)a pour équationz¯z-¯!rz-!r¯z=r2-j!rj2avec r=0+ir. Cette équation s"écrit aussiz¯z+irz-ir¯z=0ou encorez-¯z+z¯zir=0. On faittendrervers l"infini : le rayon tend vers l"infini et le centre s"éloigne indéfiniment. À la
limite l"équation devientz-¯z=0, qui est l"équation d"une droite et plus précisemment del"axe des abscisses. Une droite peut-être vu comme un cercle dont le centre est à l"infini.2 L"inversion
2.1 Définition géométrique
Soit le cercleC=C(
;r). L"inversionest l"application du plan privé de dans lui-même qui à un pointMassocie un pointM0tel que : CrM M0-M02[
M), MM0=r2.
La première condition impose queM0est sur la demi-droite issue de passant parM, la deuxième condition lie les distances deMetM0àLe point
est lecentrede l"inversion, le nombrer2est sapuissance,C( ;r)est lecercle d"inversion. Voici quelques propiétés élémentaires :Proposition 2.Soit:P n f
g!P n f gune inversion de centre et de puissancer2. 21.Chaque point du cerc leC(
;r)est invariant par:M2C( ;r)=)(M) =M. 2. L "inversionest une bijection. C"est même une involution : pour tout pointM2Pnf g, ((M)) =M. Le fait queM7!(M)soit une involution se formule aussi ainsi : siM0=(M)alorsM=(M0).
Exemple 2.Soitl"inverion de centre l"origine et de puissancer2=4. Nous représentons des pointsMiainsi que leur imageM0i=(Mi). Comme l"inversion est involutive, nous avons aussiMi=(M0i). Il est important de noter que l"inversion ne préserventpasles longueurs. Par exemple, comparez les distanceM1M4etM01M04. Voir l"exercice 4 pour une Cr=2M 1M 01M 2M 02M 03M 3M 4M04formule.
Démonstration.1.Soit M2C(
;r)et notonsM0=(M). La relation entre les distances s"écrit MM0=r2. Mais comme
M=ralors nous avons aussi
M0=r. Comme
MetM0sont sur la même demi-droite issue de
alorsM=M0.2.M2P n f
g. NotonsM0=(M)etM00=(M0). CommeM002[ ;M0)etM02[ ;M) alorsM00appartient à la demi-droite[ ;M). Les relations entre les distances sont d"une part MM0=r2et
M0M00=r2. D"où les égalités
M M0= M0 M00, puis
M= M00. CommeMetM00sont sur la même demi-droite issue de alorsM=M00. Le bilan est le suivant(M)=M. L"applicationM7!(M)est donc une involution. En particulier c"est une bijection.2.2 Écriture complexeConsidérons les points et leur affixes
(!),M(z),M0(z0). Nous allons transformer la re- lationM0=(M)en une condition entrezetz0. La première conditionM02[M)s"écrit
z0-!=(z-!)avec2Ret0. La deuxième condition
MM0=r2devient
en écriture complexejz-!jjz0-!j=r2, ce qui donne à l"aide de la première condition jz-!j2=r2donc=r2jz-!j2. Nous exprimons alorsz0comme une fonction dez: z0=!+r2z-!jz-!j2=!+r2z-!:
Ceci nous permet de donner la définition complexe de l"inversion :! Crz z 0i 01 3L"inversionest une application:C[f1g!C[f1g
définie par(z) =!+r2z-!pourz2Cn f!get prolongéepar(!) =1et(1) =!.Exemple 3.L"inversion de cercleC(O;1)a pour écriture complexe(z) =1=¯z(que l"on
prolonge en(0) =1et(1) =0.2.3 Inversion et cercle-droite
Théorème 1.L"image d"un cercle-droite par une inversion est un cercle-droite. Plus précisemment nous allons montrer que siest l"inversion de cercleC( ;r)alors :L "imaged"une droite passant par
est elle-même.L "imaged"une droite ne passant pas par
est un cercle passant parL "imaged"un cerc lepassant par
est une droite ne passant pas parL "imaged"un cerc lene passant pas par
est une cercle ne passant pas par CC 1D1=(C1)D
2=(D2)
C C3(C3)Démonstration.Remarquons tout d"abord que pour une translation l"image d"une droite
est une droite et l"image d"un cercle est un cercle. Il en va de même pour les homothéties. Donc par une translation, nous nous ramenons à démontrer la proposition dans le cas où le centre de l"inversion est situé à l"origine du plan complexe. Par une homothétie nous supposons même que le cercle d"inversion est de rayon1. Après ces deux réductions nous nous sommes ramenés au cas où l"inversion a pour écriture complexe : (z) =1¯z: 4 Soit maintenantCun cercle droite d"équationaz¯z-¯!z-!¯z=k(a;k2R,!2C). Soit M(z)un point du plan (d"affixez) et notonsM0l"image deMpar notre inversion qui sera donc d"affixez0=(z) =1¯z.M(z)2C()az¯z-¯!z-!¯z=k
()a-¯!1¯z-!1z =kz¯zen divisant parz¯z ()a-¯!z0-!¯z0=kz0¯z0 ()kz0¯z0+¯!z0+!¯z0=a Mais la dernière ligne est l"équation d"un autre cercle-droiteC0. BilanM(z)2Csi et seule- ment si(M)2C0. Autrement dit l"image du cercle-droiteCest le cercle-droiteC0. Il suffit de regarder les équations pour obtenir les différents cas. Par exemple si notre cercle-droite passe par l"origine (c"est le cas lorsquek=0) il faut traiter le casz=0à part; il faut se rappeller notre convention(0) =1. Dans ce cas l"équation obtenu pourC0estcelle d"une droite.Remarque.-L "imaged"une droite Dpassant par le centre d"une l"inversionest la droite
elle même :(D) =D. La droite estinvariante globalement. Un point de la droite est envoyé sur un autre point de la droite. Par contre chaque point du cercle d"inversion est conservé par l"inversion : c"est l"invariance point par point. SiCest le cercle d"inver- sion, cela s"écrit :8P2C(P) =P:
La droiteDpassant par l"originen"est pasinvariante point par point. Même si l"image d"un cerc leCde centreOest un cercleC0=(C)cependant(O)n"est pasle centre deC0. Voir la figure. O (O)O 0C C 0C00=(C0)2.4 Inversion et cocyclicité
Proposition 3.Soientun inversion etM;Ndeux points du plans. Les pointsM,N,(M), (N)sont cocycliques (ou alignés). CM M 0NN0C"est un résultat important et utile qui est démontré dans l"exercice 3.
53 Les homographies
3.1 Définition
Unehomographieest une applicationh:C[f1g!C[f1gdéfinie par h(z) =az+bcz+d; h(1) =ac ; h(-d=c) =1; aveca;b;c;d2Ctels quead-bc6=0. Proposition 4.Une homographie est la composée d"une inversionz7!1=¯z, d"une réflexion z7!¯z, de translationsz7!z+et de rotation-homothétiesz7!z(;2C). En particulier une homographie est une application bijective. Démonstration.Tout d"abord par la composition d"une rotation, d"une homothétie et d"une translation nous définissonsh1(z) =cz+d. Puish2(z) =1z est la composée d"une inversion z7!1¯zet d"une réflexionz7!¯z. Nous obtenons donch2h1(z) =1cz+d. Posonsh3(z) =z+ (encore la composition d"une rotation, d"une homothétie et d"une translation) alors h3h2h1(z) =cz+d+=cz+d+cz+d=az+bcz+d
si l"on a choisit=ac et=b-ac d.Corollaire 1.L"image par une homographie d"un cercle-droite est un cercle-droite. Démonstration.L"image d"une droite par une translation est une droite. De même l"image d"une cercle par une translation est un cercle. Il en va de même pour les rotations, pour les homothéties et pour les réflexions. L"image d"un cercle par une inversion est un cer- cle ou une droite, l"image d"une droite par une inversion est un cercle ou une droite. Parcomposition l"image d"une cercle-droite par une homographie est un cercle-droite.3.2 Homographie et angles
Théorème 2.Les homographies préservent les angles orientés. Cela signifie ceci : si deux courbesC1etC2s"intersectent en un pointP. Soitl"angle formé par les deux tangentes àC1etC2enP. Soithnotre homograhieh; notonsC01=h(C1), C02=h(C2), etP0=h(P)qui appartient à l"intersection deC01etC02. Alors les deux tangentes
àC01etC02enPforment le même angle.
PP 0C 1C 2C 01C02Dans la pratique le corollaire suivant est très utile :
6 Corollaire 2.Soithune homographie. Si deux courbesC1etC2sont tangentes en un point M(resp. perpendiculaires enM) alors les courbesh(C1)eth(C2)sont tangentes enh(M) (resp. perpendiculaires enh(M)).Et on prouve en fait en même temps que :
Corollaire 3.Soitune inversion. Si deux courbesC1etC2sont tangentes en un pointM (resp. perpendiculaires enM) alors les courbes(C1)et(C2)sont tangentes enh(M)(resp. perpendiculaires en(M)). [[[dessin]]] Démonstration.-Encore une fois nous allons ramener le problème à l"étude d"une in- version. En effet les homothéties, translations, rotations préservent les angles orientés alors qu"une reflexion préserve les angles mais change l"orientation. Par la proposition 4 il suffit donc de montrer qu"une inversion préserve aussi les angles mais change l"orien- tation. On se donne une courbe Cet un pointM2C, notonsTla tangente àMenC(nous supposons donc qu"il existe une tangente en ce point). SoitNun autre point deC. Soit une inversion. On noteC0=(C),M0=(M),N0=(N)et on appelleT0la tangente àC0 enM0. (AttentionT0n"est pas égal à(T), de toute façon(T)n"est pas nécessairement une droite...) D"après la proposition 3 les points M;N;M0;N0sont cocycliques, donc les angles(~MN;~MN0) et(~M0M;~M0N)sont égaux. F aisonstendre le point Nvers le pointMalors la droite définie par le vecteur~MN et passant parMtend vers la tangenteT. De plusN0tend versM0et la droite de vecteur~M0N0et passant parM0tend versT0. À la limite on obtient l"égalité des an- gles :(T;~MM0) = (T0;~M0M).M NT C En conséquence les tangentes TetT0sont symétriques l"une de l"autre par la réflexion d"axela médiatrice de[MM0]. MM 0 TT 0CC0-Si maintenan tC1etC2sont deux courbes qui s"intersectent enM, l"angle entre les deux
tangentesT1etT2étantalors par la réflexion d"axe, l"angle entre les deux tangentes T01etT02enM0=(M)est-.
7 MM 0 T 1T 01C 1C 01T 2T 02C 2C024 Dispositifs mécaniques
4.1 La courbe de Watt
Le but est de transformer un mouvement circulaire en mouvement rectiligne (ou l"inverse). Une solution simple est d"utiliser une bielle et un piston. Le problème est que le coulissagegénère des frottements au niveau du piston. [[[dessin à améliorer!]]]L"ingénieur James Watt améliora le dispositif en inventant un mécanisme qui permet
d"obtenir une portion presque rectiligne à partir d"un mouvement circulaire. [[[Dessin : essayer animation avec Geogebra]]] 84.2 L"inverseur de Peaucellier
Théorème 3.Soit la configuration suivante avec A=B=RetAMBM0un losange de
côtér. AlorsM0est l"image deMpar l"inversion de centre et de puissanceR2-r2. A BMM 0R rCorollaire 4.SiMparcourt un cercle passant par alorsM0parcourt une droite. [[[Dessin]]] Il existe d"autres dispositifs mécanique qui transforment un cercle en une droite, voir par exemple l"inverseur de Hart dans l"exercice 8.Preuve du théorème.Tout d"abordM;M0;
sont sur la médiatrice du segment[AB]. Donc M 02(M). De plus si l"on supposeR > ralorsM02[
M).Calculons maintenant
MM0. SoitIle centre du losangeAMBM0.
M= I-IMIquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] tableau apa
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