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Les nombres complexes

Le point de vue géométrique

Table des matières

1 Forme trigonométrique2

1.1 Angle orienté et mesure principale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Forme trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Relations de symétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Relations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Opérations sur les modules et arguments. . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Forme exponentielle4

2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Formule de Moivre et formules d"Euler. . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Ensemble des complexes de module 15

3.1 Propriété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Racinesn-ième de l"unité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Complexes et vecteurs7

4.1 Affixe d"un vecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Ensemble de points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.3 Somme de deux vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4 Angle orienté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.5 Alignement, parallélisme et orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . 8

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS EXPERTES

1 FORME TRIGONOMÉTRIQUE

1 Forme trigonométrique

1.1 Angle orienté et mesure principale

Définition 1 :Un angle orienté est défini par deux vecteurs?uet?v, noté(?u,?v).

L"angle est alors orienté de

?uvers?v. On dit que les mesures (en radian)θ1etθ2d"un même angle orienté(?u,?v)sont égales modulo 2π, s"il existe un entier relatifktel que :

2=θ1+k×2πon note alorsθ1=θ2[2π]

On appelle mesure principale d"un angle(?u,?v), la mesureθavecθ?]-π,π]. ?u? v θ1 2+ Remarque :On veillera à donner un angle orienté avec sa mesure principale : par exemple-5π

3=π3[2π].

1.2 Forme trigonométrique

Définition 2 :Soitz=a+ibun complexe non nul.

La forme trigonométrique dez, est l"écriture de la forme :z=r(cosθ+isinθ)

•r=⎷a2+b2=|z|module dez

•θ= (?u,--→OM) =arg(z) [2π]argument dez OM(z) ab |z| ?u? v

θ=arg(z)

Remarque :z=r(cosθ+isinθ)estàrelierauxcoordonnéespolairesdeM(r;θ).

Exemples :

Trouver la forme trigonométrique dez=1-i

|z|=?

12+ (-1)2=⎷2

cosθ=1 ⎷2=⎷ 2

2et sinθ=-⎷

2

2?θ=-π4[2π]:

?-π4 z=⎷2? cos? -π4? +isin? -π4??

Trouver la forme algébrique dez=⎷

3? cosπ3+isinπ3?

On az=⎷

3?

12+i⎷

3 2? 3 2+32i π3

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1.3 RELATIONS DE SYMÉTRIE

1.3 Relations de symétrie

Propriété 1 :Pour tout complexeznon nul, on a les relations suivantes : | -z|=|z|et arg(-z) =arg(z) +π[2π] z|=|z|et arg(z) =-arg(z) [2π] ??OM(z)

M"(-z)M"(

z)|z| ?u? v

1.4 Relations trigonométriques

Théorème 1 :Formules d"addition

Pour tous réelsaetb, on a les relations

①cos(a+b) =cosacosb-sinasinb ②cos(a-b) =cosacosb+sinasinb③sin(a+b) =sinacosb+cosasinb ④sin(a-b) =sinacosb-cosasinb Démonstration :Formule②. Soit les points A et B sur le cercle unité :

Calculons le produit scalaire

--→OA·-→OB de deux façons : --→OA·-→OB=OA×OB×cos(a-b) =cos(a-b)

OA·-→OB=?cosa

sina?

·?cosb

sinb? =cosacosb+sinasinb Des deux égalités, on déduit la formule②: cos(a-b) =cosacosb+sinasinb OA B cosbcosasina sinb b aa-b 11 Pour trouver la formule①, on remplace dans②bpar-b, on a alors : cos(a+b) =cos[a-(-b)]②=cosacos(-b)+sinasin(-b) =cosacosb-sinasinb Pour trouver les formules③et④avec le sinus, on utilise les relations : cos?π

2-α?

=sinαet sin?π2-α? =cosα Remarque :Pour se souvenir des formules d"addition, on peut remarquer : •Avec le cosinus on " ne panache pas » tandis qu"avec le sinus on " panache ». •Avec le cosinus dea+b, on met un "moins » entre les deux termes.

Théorème 2 :Formules de duplication

Pour tout réela, on a les relations :

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sin2a=2sinacosa Démonstration :On utilise les formules d"addition en faisantb=a.

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2 FORME EXPONENTIELLE

1.5 Opérations sur les modules et arguments

Théorème 3 :Pourtouscomplexeszetz?nonnuls,onalesrelationssuivantes: |z z?|=|z| |z?|et arg(z z?) =arg(z) +arg(z?) [2π] |zn|=|z|net arg(zn) =narg(z) [2π] ?z z???? =|z||z?|et arg?zz?? =arg(z)-arg(z?) [2π] Démonstration :Soitz=r(cosθ+isinθ)etz?=r?(cosθ?+isinθ?): zz =rr?[cosθcosθ?-sinθsinθ?? sin(θ+θ?))] =rr?(cos(θ+θ?) +isin(θ+θ?)) Paridentification,ona:|zz?|=rr?=|z||z?|et arg(zz?) =arg(z)+arg(z?) [2π] •On démontre|zn|=|z|net arg(zn)=narg(z)par récurrence. •Pour le quotient, on poseZ=zz?, on a doncz=Z z?. Du produit : |z|=|Z||z?| ? |Z|=|z| |z?| arg(z) =arg(Z) +arg(z?) [2π]?arg(Z) =arg(z)-arg(z?) [2π]

2 Forme exponentielle

2.1 Introduction

Soit la fonctionfdéfinie deRdansCpar :f(θ) =cosθ+isinθ. f(θ)f(θ?) = (cosθ+isinθ)(cosθ?+isinθ?) = (cosθcosθ?+icosθsinθ?+isinθcosθ?-sinθsinθ?) = (cosθcosθ?-sinθsinθ?+i(cosθsinθ?+sinθcosθ?) = [cos(θ+θ?) +isin(θ+θ?)] =f(θ+θ?)

Doncf(θ+θ?) =f(θ)f(θ?).

Les seules fonctions dérivables non nulles (f(0) =1) surRqui transforment une somme en produit sont du typef(x) =ekx. En étendant la fonction exponentielle àC, on posef(θ) =ekθaveck?Cetθ?R Dérivons la fonctionfpour déterminerk:f?(θ) =kekθet f ?(θ) =-sinθ+icosθ=i2sinθ+icosθ=i(cosθ+isinθ) =if(θ)

Par identification, on obtient alorsk=i.

En étendant la fonction exponentielle àC, on décide de posereiθ=cosθ+isinθ.

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2.2 DÉFINITION

2.2 Définition

Définition 3 :La forme exponentielle d"un nombre complexe non nul est : z=reiθavecr=|z|etθ=arg(z) [2π] Remarque :On peut maintenant admirer l"expression d"Euler :eiπ+1=0. Cette expression contient tous les nombres qui ont marqué l"histoiredes mathé- matiques : 0 et 1 pour l"arithmétique,πpour la géométrie,ipour les nombres complexes etepour l"analyse.

Exemple :Soitz=1+i⎷

3, on a :|z|=2 et arg(z) =π3doncz=2eiπ

3

2.3 Formule de Moivre et formules d"Euler

Théorème 4 :Soitθ?Retn?N, on a alors :

•Formule de Moivre : cosnθ+isinnθ=einθ= (cosθ+isinθ)n •Formules d"Euler : cosθ=eiθ+e-iθ2et sinθ=eiθ-e-iθ2i Remarque :Bien remarquer que pour sinθ, on divise par 2i.

Démonstration :

•La formule de Moivre est l"application directe de la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle :ena= (ea)n •Pour les formules d"Euler, on développe la forme exponentielle : e iθ+e-iθ e iθ-e-iθ

3 Ensemble des complexes de module 1

3.1 Propriété

Théorème 5 :SoitU, l"ensemble des complexes de module 1.

•z?U?z=eiθ=cosθ+isinθ.

•L"ensembleUest stable par rapport au produit et à l"inverse : z,z??U?zz??Uet1 z?U Démonstration :Propriété des modules pour le produit et l"inverse.

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3 ENSEMBLE DES COMPLEXES DE MODULE 1

3.2 Racinesn-ième de l"unité

Théorème 6 :Soitn?N?.

•Les racinesn-ième de l"unité sont les solutions de l"équationzn=1.

•Unest l"ensemble desnracines de l"unité :

U n=? z k=ei2kπ n,k?[[0,n-1]]?

•Leur somme est nulle :n-1∑

k=0z k=1+z1+z2+···+zn-1=0 •Leurs images Mkdans le plan complexe sont les sommets d"un polygone ré- gulier dencôtés inscrit dans le cercle unité.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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