[PDF] 11Nombres Complexes 2 Forme trigonométrique d'un

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11Nombres Complexes 2C H A P T E R

Dans un cas particulier de la formule d"Euler on trouve dans la mˆeme ´egalit´e e, i etπ: eiπ+ 1 = 0. Les lecteurs de The Mathematical Intelligencer l"ont d´esign´ee comme la plus belle formule math´ematique de tous les temps .

Forme trigonom

´etrique d"un nombre complexe non-nul1

11Module d"un nombr ecom plexe

Le module du complexezd"´ecriture alg´ebriquea+ibest le r´eel positif not´e|z|tel que |z|=⎷zz=?a 2+b2 autrement dit|z|2=zz.D ´efinition 1Remarque.Siaest un r´eel,|a|=⎷aa=⎷a

2=|a|donc le module deaest bien la

valeur absolue deaet la notation utilis´ee pour le module est coh´erente. La notion de module dansCg´en´eralise donc celle de valeur absolue dansR.

Propri

´et´es du module•| z|=|z|

| z|= 0 si et seulement siz= 0•| z1×z2|=|z1| × |z2| ????z 1z 2? ???=|z1||z2|avecz2?= 0Propri

´et´e 1Interpr

´etation g´eom´etrique

Dans le plan complexe muni d"un rep`ere orthonorm´e direct (O,-→e1;-→e2), on consid`ere le

pointMd"affixezd"´ecriture alg´ebriquea+ ib

On a|z|=?a

2+b2qui n"est autre que la norme du vecteur--→OMc"est-`a-dire la

distanceOM.

M(a+ib)

e1 e2 a b 0 axe réel axe imaginaire p a

2+b212Argument d"un nombr ecom plexe

Dans le plan complexe d"un rep`ere orthonorm´e direct (O,-→e1;-→e2), soitzun nombre complexe non-nul etMle point du plan d"affixez. On appelle argument dez, not´e argz, toute mesure en radians de l"angle de vecteur (-→e1;--→OM)D

´efinition 2mis `a jour mars 2016

3Chapter 11. Nombres Complexes 2

M(z) e1 e2 rcos rsin 0 r Remarque.Un nombre complexe non-nul a une infinit´e d"argument, siθest un ar- gument dezalorsθ+ 2kπaveck?Zest aussi un argument dez.13F ormetrigonom

´etrique

La donn´ee d"un r´eel positifret d"un angleθpermet de d´efinir un unique pointM d"affixez?= 0 du plan complexe tel queOM=ret (-→e1;--→OM) =θ.

On en d´eduit quez=r(cosθ+ isinθ)Soitzun nombre complexe non-nul. L"´ecriturez=r(cosθ+ isinθ) avecr=|z|

etθ= argzest appel´ee une forme trigonom´etrique dez.D

´efinition 314P assagef ormealg

´ebrique?forme trigonom´etrique

Soitz?Cde forme alg´ebriquea+ibet de forme trigonom´etriquer(cosθ+isinθ) alors on a d"une part :forme alg ´ebrique connaissant la forme trigonom´etrique a=rcosθetb=rsinθ.Propri

´et´e 2et d"autre partr=|z|=?a

2+b2.

Sizestnon nul, son moduler=?a

2+b2sera non nul ´egalement. Ainsi, on peut

´ecrirezsous la forme :

z=?a

2+b2(a⎷a

2+b2+ ib⎷a

2+b2 z=r(a⎷a

2+b2+ ib⎷a

2+b2) z=r(cos(θ) + isin(θ))

On en d´eduitforme trigonom

´etrique en fonction de la forme alg´ebrique cos(θ) =a⎷a

2+b2et sin(θ) =b⎷a

2+b2.Propri

´et´e 3Ainsi, connaissantaetb, on peut obtenir le module et un argument dea+ ib. On obtiendra une mesure exacte deθsi cos(θ) et sin(θ) sont des valeurs connues comme 12 ,⎷2 2 ,⎷3 2 , 1, etc. Sinon, on obtiendra une valeur approch´ee `a l"aide de la calculcatrice. mis `a jour mars 2016 15Op

´eration sur les formes trigonom´etriques

Soitz=r(cosθ+ isinθ) etz?=r?(cosθ?+ isinθ?), alors zz ?=rr?(cosθcosθ?-sinθsinθ?) + i(sinθcosθ?+ cosθsinθ?) On reconnaˆıt les formules d"addition, donc on en d´eduit : zz ?=z=rr?(cos(θ+θ?) + isin(θ+θ)?) on a doncargument d"un produit arg(zz?) = arg(z) + arg(z?)[2π]Propri ´et´e 4On peut d´emontrer les propri´et´es suivantes :

Propri

´et´es alg´ebriques des arguments

•arg(zn) =narg(z)[2π] •arg?1z =-arg(z)[2π]•arg?zz = arg(z)-arg(z?)[2π] •arg(z) =-arg(z)[2π] •arg(-z) =π+ arg(z)[2π]Propri

´et´e 5En particulier, la formule concernantznon peut ´ecrireFormule de Moivre Hors-Programme

(cosθ+ isinθ)n= cos(nθ) + isin(nθ)Th

´eor`eme 1Remarque.

•Les formes trigonom´etriques sont adapt´es aux produits de complexes ; •Les formes alg´ebriques sont adapt´ees aux sommes de complexes.Forme Exponentielle2 Soitfla fonctionf:θ?→cosθ+ isinθavecθun nombre r´eel. Le nombre complexef(θ) est le nombre complexe de module 1 et d"argumentθ. Le nombre complexef(θ+θ?) = cos(θ+θ?) + isin(θ+θ?) a pour module 1 et pour argumentθ+θ?. Or le nombref(θ)×f(θ?) a aussi pour module 1 et pour argumentθ+θ? car, pourz1etz2deux nombres complexes non nuls, on a|z1z2|=|z1||z2|et arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2). On en d´eduit quef(θ+θ?) =f(θ)×f(θ?) de plusf(0) = 1.

La fonctionfainsi d´efinie v´erifie les propri´et´es de la fonction exponentielle, ce qui

m`ene `a la notation suivante : e iθ= cosθ+ isinθ mis `a jour mars 2016

5Chapter 11. Nombres Complexes 2Tout nombre complexe non nul de moduleret d"argumentθpeut s"´ecrire :

z=reiθouz=r(cosθ+ isinθ), et r´eciproquement, tout nombre complexe qui s"´ecrit : z=reiθouz=r(cosθ+ isinθ), avecrun r´eel strictement positif, a pour moduleret pour argumentθ+2kπ(k?

Z).Propri

´et´e 6La forme exponentielle complexe poss`ede des propri´et´es analogues `a la fonction expo-

nentielle r´eelle.Soitretr?des r´eels strictement positifs,θetθ?des r´eels quelconques.

2.

1reiθ=1r

e-iθ, 3. reiθr ?eiθ?=rr ?ei(θ-θ?).Propri ´et´e 7C"est Leonhard Euler (1707-1783) qui donnera cette relation qui `a la remarquable propri´et´e de relier les grandes branches des math´ematiques l"analyse, l"alg`ebre et la g´eom´etrie.Formules d"EULER

Pour tout nombre r´eelθ, on a:

e iθ= cosθ+ isinθ,d"o`u e-iθ= cosθ-isinθ.

En particulier

e iπ=-1Propri

´et´e 8Exemples :ei5π6

= cos?5π6 + isin?5π6 =-⎷3 2 +12 i

On en d´eduit par addition et soustraction des ´egalit´es pr´ec´edentes les r´esultats sui-

vants.cosθ=eiθ+ e-iθ2 sinθ=eiθ-e-iθ2iPropri

´et´e 9Applications en g

´eom´etrie3

Dans le plan complexe d"un rep`ere orthonorm´e direct (O,-→u;-→v), on consid`ere les points

A,B,CetDquatre points deux `a deux distincts d"affixes respectivementzA,zB,zC etzD.

On a les relations suivantes :

mis `a jour mars 2016 1.( -→u;--→AB) = arg(zB-zA) =

2.AB=|zB-zA|

3. --→AB;--→CD) = arg?zD-zCz B-zA? 4. zD-zCz

B-zA=reiθsi et seulement si arg?zD-zCz

B-zA? =θ[2π] etCDAB =rTh

´eor`eme 2D´emonstration.

mis `a jour mars 2016

7Chapter 11. Nombres Complexes 2Cercle trigonom

´etrique et angles remarquables4

0 1 2 1 2 3 2 3 2 3 3 p 3 2 pquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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