Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
x et y dans la base E) est bien une forme bilinéaire symétrique. Exemple : (. 3. 1. 1 ?2. ) est la matrice (dans la base canonique) de la forme.
Université Claude Bernard Lyon 1 Licence Sciences
DEFINITION 3 : FORME BILINEAIRE SYMETRIQUE ANTISYMETRIQUE ET ALTERNEE b forme bilinéaire sur E. On dit que b est : ? Symétrique : Si ( ) ( ). ?
Math-IV-algèbre Formes (bi)linéaires
Soit E un K?espace vectoriel. Soit Q : E × E ? K une forme bilinéaire symétrique. Exemple : le produit scalaire usuel sur R3 × R3.
Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques
Ceci nous permet de donner un autre exemple fondamental de forme bilinéaire. Soit E un espace vectoriel sur K et E? = L(E; K) le dual de E. Alors on a une
Formes quadratiques réelles. Exemples et applications
2 nov. 2014 On appelle forme quadratique sur E toute application q de la forme q : E ?? R x ?? ? ?(x x) o`u ? est une forme bilinéaire symétrique sur.
Formes bilinéaires et quadratiques - Formes sesquilinéaires et
d'une forme quadratique) `a un sous-espace vectoriel F de E est toujours une forme bilinéaire (resp. une forme quadratique) sur F. Exemple 8.1.1.
ALGÈBRE BILINÉAIRE Table des matières 1. Formes quadratiques
13 déc. 2019 Exo : trouver un exemple de forme quadratique où on a deux inclusions strictes. {0} ? kerq ? cône isotrope. 1.4. Bases orthogonales ...
1. Formes bilinéaires. Formes quadratiques. . 1.1. Définitions. Soit E
L'endomorphisme f est symétrique si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est symétrique. 7. Page 8. Exemple. Une projection orthogonale est
UNE BREVE HISTOIRE DES FORMES BILINEAIRES 1
les formes quadratiques avant les formes bilinéaires c'est l'approche
ALG`EBRE BILINÉAIRE (MAT241) Notes de cours. Texte non
ALG`EBRE BILINÉAIRE (MAT241). Exemple 1. Les application ? : E × E ? K suivantes sont des formes bilinéaires sur le K-espace vectoriel E :.
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On peut vérifier que toutes les formes bilinéaires symétriques données en exemple apr`es la définition 2 1 sont non dégénérées En dimension finie une forme
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3 6 Formes bilinéaires symétriques et formes bilinéaires alternées 24 Exemple : Soient P1P2 deux plans distincts de l'espace R3 qui passent
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2- Forme bilinéaire symétrique et forme quadratique Hypothèse : 2 ? 0 c'est-à-dire caractéristique de ( ( )) ? 2 2 1- Soit ? ( )
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Toute forme linéaire est représen- tée par un vecteur de E via b Exemple 9 5 1 On consid`ere l'espace vectoriel C de dimension 1 sur C et la forme hermitienne
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Formes bilinéaires symétriques Dans tout ce chapitre K est un corps commutatif de caractéristique 0 et E est un K-espace vectoriel Definition 1 1
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Soit ? une forme bilinéaire symétrique sur E Q la forme quadratique associée On a pour tous Eyx Préambule : exemples de formes quadratiques :
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Ceci nous permet de donner un autre exemple fondamental de forme bilinéaire Soit E un espace vectoriel sur K et E? = L(E; K) le dual de E Alors on a une
Comment trouver la forme bilinéaire ?
Soit b une forme bilinéaire symétrique sur E × E. b(x, y) = tX ME(b)Y . Dans l'autre sens, si M est une matrice symétrique dans Mn(K), alors (x, y) ?? tXMY (o`u X et Y sont les vecteurs colonnes des coordonnées de x et y dans la base E) est bien une forme bilinéaire symétrique.Comment montrer qu'une application est une forme bilinéaire ?
Une application : f : E × F ?? G est dite K–bilinéaire (ou plus simplement bilinéaire), si ?x ? E, ?y ? F les applications partielles : y ?? f(x, y) et x ?? f(x, y) sont K–linéaires. Dans le cas o`u G est identique `a K, on dit que f est une forme bilinéaire.Comment montrer qu'une forme quadratique est définie positive ?
La forme quadratique est non dégénérée si et seulement si p + s = n . On dit que est positive (ou que est positive) si : ? x ? E , q ( x ) ? 0 .- Cette base est extrêmement utile pour déterminer simplement la forme polaire associée à une forme quadratique donnée (dans l'autre sens si on connaît la forme bilinéaire symétrique, trouver la forme quadratique associée est immédiat, il suffit d'écrire q ( x ) = f ( x , x ) ).
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Chapitre 2
Formes bilin´eaires sym´etriques,
formes quadratiques2.1 Formes bilin´eaires sym´etriques
Dans ce qui suit,Eest un espace vectoriel sur un corpsK.2.1.1 D´efinition
D´efinition 2.1
Une application
b:E×E-→K est appel´ee uneforme bilin´eairequand ?x1,x2,y?E?λ?Kb(x1+λx2,y) =b(x1,y) +λb(x2,y) ?x,y1,y2?E?λ?Kb(x,y1+λy2) =b(x,y1) +λb(x,y2) (bilin´earit´e = lin´earit´e `a gauche + lin´earit´e `a droite).On dit quebestsym´etriquequand
?x,y?E b(x,y) =b(y,x). Remarquer que la sym´etrie permet de ne v´erifier la lin´earit´e que d"un seul cˆot´e.Exemples:
1. E=K. La multiplication (x,y)?→xyest une forme bilin´eaire sym´etrique surK×K. 56CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
2.E=R2. Le produit scalaire usuel
µµx1
x 2 ,µy1 y2
?→x1y1+x2y2 est une forme bilin´eaire sym´etrique surR2×R2. 3.E=C([-1,1],R). L"application
C0([-1,1],R)× C0([-1,1],R)-→R
(f,g)?-→Z 1 -1f(t)g(t)dt est une forme bilin´eaire sym´etrique. 4.E=Mn(K). L"application
M n(K)×Mn(K)-→K (A,B)?-→trace(AB) est une forme bilin´eaire sym´etrique (v´erifier la sym´etrie).2.1.2 Matrice d"une forme bilin´eaire sym´etrique
On suppose
Ede dimension finien. SoitE= (e1,...,en) une base deE. Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique surE×E.D´efinition 2.2
La matriceME(b)debdans la baseEest la matrice sym´etrique n×nqui a pour coefficientsb(ei,ej)(i num´ero de ligne entre 1 etn,jnum´ero de colonne entre 1 etn). Sixetysont des ´el´ements deEdont les vecteurs colonnes de coordonn´ees dans la baseEsontXetYrespectivement, on a b(x,y) =tX ME(b)Y . Dans l"autre sens, siMest une matrice sym´etrique dansMn(K), alors (x,y)?→tX M Y(o`uXetYsont les vecteurs colonnes des coordonn´ees de xetydans la baseE) est bien une forme bilin´eaire sym´etrique.Exemple:µ3 1
1-2
est la matrice (dans la base canonique) de la forme bilin´eaire sym´etriqueµµx1
x 2 ,µy1 y2
?-→3x1y1-2x2y2+x1y2+x2y1. SoitE?une autre base deEetPla matrice de changement de base deE `aE?.2.1. FORMES BILIN
´EAIRES SYM´ETRIQUES7
Rappel : Changement de base.
D´efinition 2.3
La matrice de changement de base deE`aE?= (e?1,...,e?n)est la matrice inversibleP dont laj-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees dee?jdans la baseE.Proposition 2.4
Soitxun ´el´ement deE,X(respX?) le vecteur colonne de ses coodonn´ees dansE (resp.E?). AlorsX=P X?. Soituun endomorphisme deE,M(resp.M?) sa matrice dans la baseE (resp.E?). AlorsM?=P-1AP. Proposition 2.5 (Changement de base pour les f.b.s.)La matrice de
la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle baseE?est ME?(b) =tP ME(b)P .
2.1.3 Forme bilin´eaire et dualit´e
Soitb:E×E→Kune forme bilin´eaire sym´etrique. Pour toutx?E, l"application b(·,x) :E-→K y?-→b(y,x) est une forme lin´eaire surK, c"est `a dire un ´el´ement du dualE?.Proposition 2.6
L"application
b:E-→E? x?-→b(·,x) est lin´eaire. On appelle?bl"application lin´eaire deEdans son dual associ´ee `a la forme bilin´eaire sym´etriqueb. SiEest de dimension finie etEest une base deE, alors la matrice debdansEest ´egale `a la matrice de?b:E→E?o`uEest muni de la baseEetE?de la base dualeE?.D´efinition 2.7
Lenoyaude la forme bilin´eaire sym´etriqueb, not´eker(b) est le noyau de?b, c.-`a-d. : ker(b) ={x?E| ?y?E b(y,x) = 0}. La forme bilin´eaire sym´etriquebest ditenon d´eg´en´er´eequand son noyau est r´eduit `a{0}. SiEest de dimension finie, lerangdebest le rang de l"application?b, c.-`a-d. aussi le rang de la matrice debdans une base deE.8CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
On peut v´erifier que toutes les formes bilin´eaires sym´etriques donn´ees en exemple apr`es la d´efinition 2.1 sont non d´eg´en´er´ees. En dimension finie, une forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Eest donc non d´eg´en´er´ee si et seulement si sa matrice dans une base deEest inversible.Proposition 2.8
Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee sur E×E, o`uEest de dimension finie. Alors, pour toute forme lin´eaire??E?, il existe un uniquex?Etel que ?y?E ?(y) =b(y,x).2.1.4 Orthogonalit´e
Dans ce paragraphe,best une forme bilinaire sym´etrique surE×E.D´efinition 2.9
SoitFun sous-espace vectoriel deE. L"orthogonal deF pourbest le sous-espace deEd´efini par F ?={x?E| ?y?F b(y,x) = 0} Par exemple, pour le produit scalaire dansR3, l"orthogonal d"une droite vectorielleDest bien le plan vectoriel orthogonal (au sens usuel) `aD. Le lien avec l"orthogonal pour la dualit´e se fait grˆace `a l"application lin´eaire?b:E→E?associ´ee `ab.Proposition 2.10
F ?= (?b(F))◦.Th´eor`eme 2.11
On supposeEde dimension finien.
Sibest non d´eg´en´er´ee, alorsdim(F?) =n-dim(F). En g´en´eraldim(F?) =n-dim(F) + dim(F∩ker(b)).Proposition 2.12
On a toujoursF?(F?)?. SiEest de dimension finie
etbnon d´eg´en´er´ee, on aF= (F?)?.2.2 Formes quadratiques
A partir de maintenant et pour tout le reste du chapitre, le corpsKest suppos´e de caract´eristique diff´erente de 2, ce qui veut dire que 2?= 0 dansK (par exemple,Z/2Zest exclu). On d´esigne toujours parEun espace vectorielquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] medias et culture
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