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ALGÈBRE BILINÉAIRE

STÉPHANE LAMY

Table des matières

1. Formes quadratiques

1

1.1. Dualité

1

1.2. Formes bilinéaires

2

1.3. Relation de congruence, problème de la classification

3

1.4. Bases orthogonales, diagonalisation

5

1.5. Classification des formes quadratiques

6

1.6. Diagonalisation en base orthonormée

8

2. Groupe orthogonal

9

2.1. Groupe préservant une forme quadratique

9

2.2. Symétries, réflexions, renversements

10

2.3. Plan hyperbolique

11

2.4. Centre du groupe orthogonal

12

2.5. Générateurs

13

2.6. Le cas de la dimension 2

13

3. Isométries d"un espace euclidien

14

3.1. Dimension 2

14

3.2. Dimensionn16

3.3. Dimension 3

17

4. Compléments

18

4.1. Résolution au sens des moindres carrés

18

4.2. Décomposition en valeurs singulières

19

Références

21

Quelques sources :

Per96 ], chapitre V, VI et VIII. CG13 ], chapitres V, XI et XII. RW07 ], modules II.3 et II.4. Szp09 ], chapitre 4.

1.Formes quadratiques

1.1.Dualité.SoitEunk-espace vectoriel de dimension finien. Une application li-

néaireE→kest appelé uneforme linéaire. L"espace vectoriel de toutes les formes linéaires surEest appelé l"espace dual deE, notéE?. Étant donné une base(ei)surE, il existe une base préférée deE?, appeléebase duale de(ei), et notée(e?i).Date: 13 décembre 2019. 1

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Définition abstraite :e?iest l"unique forme linéaire telle quee?i(ei) = 1ete?i(ej) = 0 pour toutj?=i. Définition en terme de coordonnées. Six?Eest un vecteur de coordonnées(x1,...,xn) dans la base(ei),e?iest la forme linéaire qui àxassocie laième coordonnéesxi("pro- jection sur leième axe parallèlement aux autres axes"). Définition en terme de produit matriciel : si on représente les éléments deEcomme des vecteurs colonnes, alors les élements deE?sont des vecteurs lignes, et l"évaluation ?(x)pourx?Eet??E?correspond au produit d"un vecteur ligne par un vecteur colonne, ce qui donne une matrice1×1que l"on identifie à un scalaire. La base(ei) correspond aux vecteurs colonnes ((((1 0... 0) ((((0 0 1) et la base duale(e?i)correspond aux vecteurs lignes (1,0,...,0),...,(0,...,0,1). Remarque.Une matrice rectangulaireApeut-être interprétée comme un ensemble de colonnes (images des vecteurs de base) ou comme une union de vecteurs lignes (forme

linéaire correspondant à laième coordonnée de l"application linéaire associée àA).

Remarque.La notatione?ipourrait faire penser quee?ine dépend que deei: ce n"est pas le cas,e?idépend de la base entière(e1,...,en). Remarque.Si??E?etx?E, on note indifféremment?(x)ou??,x?la valeur de la forme?évaluée en le vecteurx. Pour la deuxième notation on parle de "crochet de dualité". La notation est justifiée par la ressemblance avec le produit scalaire usuel, quand on utilise une base deEet sa base duale.

1.2.Formes bilinéaires.SoitEunk-espace vectoriel. Une applicationb:E×E→k

est appelée uneforme bilinéairesi pour touty?E, chacune des applicationsx?→ b(x,y)etx?→b(y,x)est une forme linéaire. On dit quebest symétrique (resp. antisymétrique) si pour toutx,y?Eon a b(x,y) =b(y,x)(resp.b(x,y) =-b(y,x)). À une forme bilinéairebon associe une application linéaire?:E→E?via l"égalité : ?x,y?E,??(x),y?=b(x,y). On appelle noyau deble noyau de?, on dit quebest non dégénérée si son noyaukerb est réduit à{0}. NB : pour une forme quelconque on aurait en fait des notions de noyaux à droite où à gauche, on se limite en pratique au cas des formes symétriques ou antisymétriques où les deux notions coïncident. Soitbune forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique. On dit quex,y?Esont orthogonaux(sous-entendu : pour la formeb), sib(x,y) = 0. On note alorsx?y. Si A?E, on noteA?le sous-espace des vecteurs orthogonaux à tout éléments deA. Le noyau debse réinterprète comme l"ensemble desx?Equi sont orthogonaux à tout autre vecteury?E: kerb=E?={x?E|x?ypour touty?E}

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Matrice d"une forme bilinéaire : Sibest une forme bilinéaire, et(ei)une base deE, on appelle matrice debdans la base(ei)la matriceM= (b(ei,ej)). Lemme 1.La matriceM= (b(ei,ej))est aussi la transposée de la matrice de?:E→ E ?dans les base(ei)et(e?i). Preuve.Par définition, lajème colonne de la matrice de?:E→E?dans les base(ei) et(e?i)s"obtient en exprimant?(ej)en termes dese?i: si ?(ej) =a1e?1+···+ane?n alors lajème colonne est( ((a 1... a n)

Et par ailleurs, pour16i6n:

a NB : pour éviter d"avoir à dire "la transposée" il aurait fallu définir?comme ?y,?(x)?=b(x,y), pas terrible. Du coup il faut vraiment la transposée, [CG13, A.1.6] l"oublient tranquilement, en laissant la preuve au lecteur... C"est corrigé dans les "nou- velles histoires".

1.3.Relation de congruence, problème de la classification.SiX,Ysont des

vecteurs colonne correspondant à des vecteursx,y?E, on a b(x,y) =XtMY. (vérification en exo, il suffit de le faire pour des couples de vecteurs de base). Si(e?i)est une autre base, et quePest la matrice de passage, de telle sorte que X=PX?,Y=PY?oùX?,Y?sont les vecteurs colonnes correspondant àx,yexprimés dans cette nouvelle base, alors b(x,y) = (PX?)tM(PY?) =X?t(PtMP)Y?. et doncPtMPest la matrice debdans la nouvelle base. On dit que les matricesMet P tMPsontcongruentes.

Action par congruence :GL

n(k)×Mat n(k)→Mat n(k)(P,M)?→PMP test une action (à gauche). Noter que leta changé de côté. Comme le rang d"une matrice est invariant par multiplication à droite et à gauche par des matrices inversibles, on voit que le rang est aussi un invariant pour la relation de congruence. CommedetPMPt= detM·(detP)2, on obtient un autre invariant (disons pour les non dégénérés) : le déterminant deMmodulo un carré dansk?. La classe dedetM dans le groupek?/(k?)2s"appelle lediscriminantdeb. (Pour une forme dégénérée on commence par quotienter par le noyau pour avoir une définition intéressante).

Exemple.

•C?/(C?)2est le groupe trivial (tout complexe est un carré). R?/(R?)2est un groupe à deux éléments (un réel est un carré si et seulement si il est positif).

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F?q/(F?q)2est un groupe à deux éléments (Le morphismeF?q→(F?q)2est surjectif et admet±1pour noyau). Q?/(Q?)2est un groupe infini dont tous les éléments sont d"ordre 2. On peut considérer le problème de la classification à congruence près pour diverses classes de formes bilinéaires : Aucune condition sur la forme bilinéaire : c"est en fait un problème très dur, c"est pour ça qu"on en parle jamais! Formes bilinéaires antisymétriques : c"est intéressant, voir [ CG13 , page 160].

On en redira un mot dans la §

2.3 Formes bilinéaires symétriques : le sujet d"étude standard, on se concentre des- sus maintenant. On dit queq:E→kest uneforme quadratiques"il existebune forme bilinéaire tel queq(x) =b(x,x)pour toutx?E. Noter qu"en remplaçantbparb+b?avecb? antisymétrique on ne change pasq. Comme (en caractéristique?= 2) toute matrice est somme d"une matrice symétrique et d"une matrice antisymétrique, on peut toujours se ramener àbsymétrique. Une telle formebsymétrique définissantqs"appelle laforme polairedeq, et est uniquement déterminée parqvia l"une des deux formules (qui nécessitent caractéristique du corps?= 2) : b(x,y) =14 (q(x+y)-q(x-y)) =12 (q(x+y)-q(x)-q(y)). On applique tout le vocabulaire précédent indiféremment àqou àb: on parle de noyau deq, de discriminant deq, etc... Spoiler alert sur la classification des formes quadratiques (ou formes bilinéaires sy- métriques) : (1) Sur C, le rang détermine complètement la classe de congruence (le discriminant ne sert à rien). (2) Sur R, le rang et le discriminant ne suffisent pas, il faut introduire la signature. (3) Sur un corps fini Fq, le rang et le discriminant (qui peut prendre deux valeurs) déterminent complètement la classe de congruence. fin cours no 1

Un peu de vocabulaire supplémentaire :

Définition.Soitbune forme bilinéaire symétrique, etqla forme quadratique associée. Un vecteurx?Eestisotropesiq(x) = 0. L"ensemble des vecteurs isotropes s"appelle lecône isotrope. Un sous-espace vectorielF?Eestrégulier(resp.singulier) siq|Fest

non-dégénérée (resp. dégénérée), ce qui revient à direF∩F?={0}(resp.F∩F?)

{0}).Fest dittotalement singulier(outotalement isotrope) si tous les vecteurs deF sont isotropes, ce qui revient à dire queq|Fest la forme quadratique nulle, ou encore F?F?. Remarque.Certains auteurs disent qu"un sous espaceF?Eest non-isotrope/isotrope au lieu de régulier/singulier, par exemple [ Per96 , p. 123]. Remarque.Un vecteur est isotrope s"il est orthogonal à lui-même, alors qu"un vecteur est dans le noyau s"il est orthogonal à tout le monde. Donc clairementkerbest inclu dans le cône isotrope. L"inclusion est stricte en général, et d"ailleurskerbest un sev, alors que le cône isotrope n"est pas forcément un sev (c"est juste un cône).

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Exo : trouver un exemple de forme quadratique où on a deux inclusions strictes {0}(kerq(cône isotrope.

1.4.Bases orthogonales, diagonalisation.Notion de base orthogonale pour une

forme quadratiqueq. Matriciellement, cela revient à demander que la matrice soit diagonale. Attention : diagonaliser les formes quadratiques ou les endomorphismes n"a a priori rien à voir (même si plus tard on "diagonalisera en base orthonormée")...

Réf pour les trois lemmes suivants : [

CG13 , p. 174]. NB : ils marchent aussi pour une forme antisymétrique. Lemme 2.Soitbune forme bilinéaire symétrique non dégénérée surE, etF?Eun sous-espace. AlorsdimE= dimF+ dimF?. Preuve.On utilise les deux applications linéaires? b:E→E ?x?→b(x,·)etr:E ?→F

???→?|FLe théorème du rang appliqué à l"application surjectiverdonnedimE?= dimker(r)+

dimF?. Si?=b(x,·), on a?|F= 0ssix?F?. Ainsi l"isomorphisme?bidentifie F ??Eavecker(r)?E?. Comme de plusdimE= dimE?etdimF= dimF?, on obtient l"égalité attendue. Lemme 3.Soitbune forme bilinéaire symétrique quelconque surE, etF?Eun sous-espace. AlorsdimE+ dim(F∩kerb) = dimF+ dimF?. Preuve.On considère l"applicationπ:E→E/kerb, et on applique le lemme2 sur le quotient (pour¯x,¯ydeux classes dansE/kerb, on définit¯b(¯x, bary) :=b(x,y)et on vérifie que cla ne dépend pas du choix de représentants) : dim(E/kerb) = dimπ(F) + dimπ(F)?. Commeπ(F)?=π(F?)etkerb?F?(le noyau est dans l"orthogonal de tout sous- espace), on a dimπ(F)?= dimF?-dimkerb, dimπ(F) = dimF-dim(F∩kerb), dim(E/kerb) = dimE-dimkerb, d"où le résultat. Lemme 4.Soitbune forme bilinéaire symétrique quelconque surE, etF?Eun sous-espace régulier. AlorsE=F?F?. Preuve.Par définitionFest régulier siF∩F?={0}, et doncF∩kerb={0}également.

Le lemme

3 donne dimE= dimF+ dimF?, d"où la somme directe. Le théorème qui suit est vraiment spécial aux formes symétriques : on utilisebnon nulle implique existence de vecteurs non isotropes. (Par contraste, pour une forme antisymétrique on ab(x,x) = 0pour toutx, même sibest non dégénérée...) Théorème 5.Tout forme bilinéaire symétriqueb(ou forme quadratiqueq) admet une base orthogonale.

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Preuve.[CG13, p. 179]. Le cas de la dimension 1 étant clair, montrons le cas de la dimensionn>2, en supposant le résultat acquis en dimensionn-1. Siqest nulle, n"importe quelle base convient. Sinon, il existe au moins un vecteure1avecq(e1)?= 0. Comme la droiteVect(e1)est régulière, par le lemme4 on a E= Vect(e1)?Vect(e1)?. Par hypothèse de récurrenceqrestreint àVect(e1)?admet une base orthogonale, et en y adjoignante1on obtient la base attendue. Cette preuve était super courte, mais non effective. Théorème 6(Carrés de Gauss).Il existe un algorithme qui produit une base orthogo- nale pour une forme quadratique q(x) =?

16i6na

ix2i+?

16i Preuve.Pour une forme nulle, ou en dimension 1, toute base convient. Supposons maintenantn>2etqnon nulle. Premier cas : l"un desaiest non nul. On peut supposera1= 1(permuter les indices, diviser parai). On écrit q(x) =x21+ 2x1?+q? = (x1+?)2+q?-?2 avec?,q?respectivement linéaire et quadratique en les variablesx2,...,xn. Deuxième cas : tous lesaisont nuls, alors l"un desaijest non nul. On peut supposer a

12= 1, et on écrit

q(x) =x1x2+x1?1+x2?2+q? = (x1+?2)(x2+?1) +q?-?1?2 14 (x1+?2+x2+?1)2-14 (x1+?2-x2-?1)2+q?-?1?2 avec?1,?2,q?respectivement linéaires et quadratique en les variablesx3,...,xn. Par récurrence, dans les deux cas on a écrit q(x) =c1x?21+···+cnx?2n avec lescides scalaires, et lesx?ides formes linéaires indépendantes, et formant donc une base deE?. La base cherchée est la base antéduale.

Exemple.

q(x1,x2) =x21+ 4x1x2= (x1+ 2x2)2-4x22=x?21-4x?22, oùx?1=x1+ 2x2,x?2=x2. La base antéduale este?1,e?2avece?1= (1,0),e?2= (-2,1), qui sont bien les solutions des systèmes?? ?x

1+ 2x2= 1

x 2= 0? ?x

1+ 2x2= 0

x 2= 1 Une autre façon d"obtenire?1ete?2est d"exprimer lesxien termes desx?i("inverser la matrice de passage"), puis lire les vecteurs sur les colonnes : ?x 1 x 2? =?x?1-2x?2x?2? =?1-2 0 1?? x?1x?2?

1.5.Classification des formes quadratiques.

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1.5.1.Formes quadratiques surC.[CG13, p. 151]

Proposition 7.SurC, deux formes quadratiques sont congruentes si et seulement si elles sont de même rang. Preuve.SoitEunC-espaces vectoriel de dimensionn, etqune forme quadratique de rangrsurE. Il suffit de montrer qu"il existe une base(e?i)deEoù la matrice deqest?I r0 0 0? Par le théorème général de diagonalisation on sait qu"il existe une base(ei)tel que q(x) =a1x21+···+arx2r, pour certainsai?C?. Il suffit alors de choisir desbitel queb2i=ai, et de poser e ?i=b-1iei. Dans les coordonnéesx?i=bixicorrespondantes on a bien q(x) =x?21+···+x?2r.

1.5.2.Formes quadratiques surR.Sur le corps des réels, on a une notion de nombre

positif. Du coup on peut faire les définitions suivantes : Définition.Soitqune forme quadratique sur un espace vectoriel réelE. On dit que qest définie positive siq(x)>0pour tout vecteurx?= 0. De même on dit queqestquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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