[PDF] AP 1ère ES L Application dérivation 2

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AP 1

ère ES - L

Application de la dérivation 2

Exercice 1

Dans une entreprise, le coût total en euros pour produire q objets est : C(q) = 150 000 + 20q + 0,02q². Chaque produit est vendu 190 euros.

1) On note B(q) le bénéfice réalisé en vendant q objets. Exprimer B(q)

en fonction de q.

2) Etudier les variations de la fonction B sur [1000 ; 7500].

3) En déduire la valeur de q pour laquelle le bénéfice est maximal.

Exercice 2 :

L"entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euros de l"entreprise est donné en fonction de la longueur x par la formule : C(x) = 15 x

3 - 120x² + 500x + 750

Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique de la fonction C.

Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes. Partie A : Etude de bénéfice Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la

recette de l"entreprise CoTon pour la vente d"une quantité x est égal à

R(x) = px.

1) Tracer sur le graphique la droite (d

1) d"équation : y = 400x.

Expliquer, au vu de ce tracé pourquoi l"entreprise CoTon ne peut réaliser un bénéfice si le prix p du marché est égal à 400 euros.

2) Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680

euros. a) Tracer sur le graphique la droite (d

2) d"équation y = 680x.

Déterminer graphiquement pour quelles quantités produites et vendues, l"entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix p du marché est de 680 euros. b) On considère la fonction B définie sur [0 ; 10] par :

B(x) = 680x - C(x).

Démontrer que pour x élément de [0 ; 10], B"(x) = - 45x² + 240x + 180. c) Etudier les variations de la fonction B sur [0 ; 10]. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l"entreprise. CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.

Partie B : Etude du coût moyen

On rappelle que le coût moyen de production Cm mesure le coût par unité produite.

On considère la fonction C

m définie sur l"intervalle ]0 ; 10] par : xxCxC m

1) Démontrer que pour tout x appartenant à l"intervalle ]0 ; 10], on a :

)5²)(5(30)(" x xxxxC m

2) a) Dresser le tableau de variations de la fonction C

m sur l"intervalle ]0 ; 10]. b) Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum ? Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ? AP 1

ère ES - L Correction :

Application de la dérivation 2

Exercice 1

1) Chaque produit est vendu 190€, la recette est donc 190q.

Bénéfice = recette - coût ainsi :

B(q) = 190q - (150 000 + 20q + 0,02q²) = - 0,02q² + 170q - 150 000

2) B"(q) = - 0,04q + 170

- 0,04q + 170 = 0, c"est-à-dire q =

04,0170

= 4250 q 1000 4250 7500

B"(q) + 0 - B(q) 211250

0 0

3) D"après le tableau de variation, le bénéfice maximal est de

211 250 €.

Exercice 2

Partie A : Etude de bénéfice

1) La courbe représente le cout et la droite la recette. Comme la droite est en dessous de la courbe, cela signifie que la recette est toujours inférieure au coût et donc que l"entreprise sera déficitaire pour un prix p = 400€. 2) a) b) B(x) = 680x - C(x) = - 15x

3 + 120x² + 180x - 750

B"(x) = - 45x² + 240x + 180

c) On a

D= 90 000 et x

1 = 6 x

2 = - 2/3

x 0 6 10

B"(x) + 0 - B(x) 1410

- 750 - 1950 Le bénéfice est maximal pour 6 km de longueur. Le bénéfice maximal est de 1410 €.

Partie B : Etude du coût moyen

1) x xxx xxCxC m

750500²12015)()(

3

On pose

u(x) = 15x

3 - 120x² + 500x + 750 on a u"(x) = 45x² - 240x + 500

v(x) = x et v"(x) = 1

750500²120151)500240²45()("

3 x xxxxxxxC m c"est-à-dire

750500²12015500²24045)("

33
x xxxxxxxC m

750²12030)("

3 xxxxC m Or 30(x - 5)(x² + x + 5) = (30x - 150)(x² + x + 5) = 30x

3 + 30x² + 150x - 150x² - 150x - 750

= 30x3 - 120x² - 750

On a donc : ²

)5²)(5(30)(" x xxxxC m

2) a) x - 5 = 0, c"est-à-dire x = 5

x² + x + 5 = 0 on a

D= - 19 < 0 pas de solution

x 0 5 10

30 || + | + x - 5 || - 0 + x² + x + 5 || + | + B"(x) || - 0 - B(x)

875
425
b) Le coût moyen est minimum pour 5 km de longueur et ce coût moyen minimum est de 425 €.7

Le coût total vaut donc 425

´ 5 = 2125 € (c"est C(5)).

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