Rappels sur les suites - Algorithme - Lycée dAdultes
14 sept. 2015 La suite (vn) est géométrique de raison 3 et de premier terme v0 = 4. PAUL MILAN. 7. TERMINALE S. Page 8 ...
EXERCICE RESOLU : SUITES ET ALGORITHMES
Terminale S - Parmi les trois algorithmes suivants un seul convient. ... L'algorithme 1 calcule tous les termes de la suite les uns à la suite des ...
Suites logistiques Algorithme
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Algorithme sur la méthode Newton-Raphson
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Bilan de compétences de mathématiques terminale S
BILAN DE COMPÉTENCES SUR LE PROGRAMME DE TERMINALE S. Ma météo du bac Je connais les algorithmes fondamentaux concernant les suites (notamment l'al-.
Sujet et corrigé mathématiques bac s obligatoire
https://www.freemaths.fr/corriges-par-theme/bac-s-mathematiques-antilles-guyane-2018-obligatoire-corrige-exercice-4-suites.pdf
LIMITES DE SUITES
?. ?. ?. ?. ?. ?. ?. ?. = 1. 3) Algorithme permettant de déterminer un rang à partir duquel une suite (qn) est inférieure à un nombre réel A :.
Suites – Exercices
Suites – Exercices – Terminale STMG – G. AURIOL Lycée Paul Sabatier 1 Soit la suite arithmétique de raison et de premier ... l'algorithme s'arrête.
Représenter des suites
On utilise une fonction : fonction : u(E: n de type entier S: U de type réels) début. U ? 1 +. (?1)n n. Retourner U. Algorithme 1: Suite un =1+.
Exercices de mathématiques
Exercices de Mathématiques - Terminales S ES
Suites logistiques
Algorithme
1 Définition et propriétés
Définition 1 :Une suite logistique(un)est une suite définie surNpar : u0?[0 ; 1]etun+1=kun(1-un)aveck?R+
Remarque :Ces suites peuvent modéliser l"évolution de la taille d"une popula- tion au fil du temps. Le termeuncorrespond alors au rapport de la population d"une espèce sur la population maximale de cette espèce. Propriété :En faisant varier le paramètrek, plusieurs comportements sont possibles : •0?k?1, La suite(un)est décroissante et converge vers 0. La population d"éteint. •1POUR EN SAVOIR PLUS
•3,5700.20.40.60.81.0
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2
début cycle 2début cycle 4début cycle 8 comportement chaotique3,44949 3,54409
valeurs deklimite ouattracteursDiagramme des bifurcations
•k>4, la suite quitte l"intervalle [0; 1] et la suite diverge rapidement.2 Étude d"un cas particulierk= 2
Le but est de montrer que la suite(un)définie surNparun+1=2un(1-un) avecu0?]0 ; 1[est convergente vers 0,5 pour toutu0?]0;1[1) Étudier les variations sur [0; 1] de la fonctionfassociée à la suite.
2) En déduire que la fonctionfest stable sur]0 ; 0,5[, c"est à dire que?x?
]0 ; 0,5[,f(x)?]0 ; 0,5[.3) Étudier le signe def(x)-xsur [0; 1].
PAUL MILAN2TERMINALE S
POUR EN SAVOIR PLUS
4) Montrer par récurrence que la suite(un)est croissante à partir du rang 1 et
bornée par l"intervalle ]0; 1[.5) En déduire la convergence de la suite(un).
1) La fonctionfassociée est une fonction trinôme :f(x) =2x(1-x).
La forme canonique estf(x) =-2(x-0,5)2+0,5
La paraboleCfest dirigée vers le bas car le coefficient(-1)devantx2est né- gatif. On a donc les variations defsuivante sur [0; 1] : x f(x)0 0.51
000.50.5
112) D"après le tableau de variation, il est clair quex?]0 ; 0,5[?f(x)?]0 ; 0,5[.
La fonctionfest stable sur]0 ; 0,5[.
3) Signe def(x)-x:
f(x)-x=2x(1-x)-x=2x-2x2-x=x-2x2=x(1-2x) Cette quantité s"annule pour 0 et 0,5. Comme le coefficient devantx2est néga- tif, le signe def(x)-xest négatif à l"extérieur des racines et positif à l"inté- rieur. On obtient le tableau de signes sur [0; 1] : x f(x)-x0 0.51
0+0-4) Montrons par récurrence que :?n?1, 0 Initialisation :Pourn=1.
•On sait queu0?]0 ; 1[, donc, d"après le tableau de variation de la fonction associée, on a 00 six?]0 ; 0,5[alors u 1?]0 ; 0,5[,f(u1)-u1>0?f(u1)>u1?u2>u1
•Comme la fonctionfest stable sur]0 ; 0,5[,u2=f(u1)?]0 ; 0,5[ On a donc 0Hérédité :On admet que 0 Montrons que 0 Par hypothèse : 0 Comme la fonctionfest croissante sur]0 ; 0,5[, on a donc : La proposition est héréditaire.
Par initialisation et hérédité, la suite(un)est croissante à partir du rang 1 et bornée par l"intervalle]0 ; 0,5[ PAUL MILAN3TERMINALE S
POUR EN SAVOIR PLUS
5) La suite(un)est croissante et majorée par 0,5, d"après le théorème des suites
monotones, la suite(un)converge vers 0< ??0,5 Comme la fonctionfest continue sur ]0; 0,5[, d"après le théorème du point fixe?=f(?). ?=f(?)?f(?)-?=0??=0 ou?=0,5 Comme? >0,?=0,5, la suite(un)converge vers 0,5.
3 Algorithmes
3.1 Visualisation des différents cas
Il s"agit d"un algorithme permettant des visualiser lesnpremiers termes d"une suite logistique de paramètreket de premier termeu0 On doit d"abord rentrer les deux fonc-
tions : Y 1=KX(1-X)
Y 2=X On rentre les valeursU=u0,KetN
On trace alors le premier segment ver-
tical à partir deu0 On conserve l"ancienne valeur deU
dansV On trace ensuite les deux segments for-
mant l"escalier, le premier horizontal et le second vertical Variables:I,NentiersK,U,Vréels
Y 1etY2fonctions
Entrées et initialisation
Effacer dessin
LireU,K,N
AfficherY1
AfficherY2
Tracer segment(U, 0,U,Y1(U))
Traitement et sorties
pourIde 1 àNfaire U→V
KU(1-U)→U
Tracer segment(V,U,U,U)
Tracer segment(U,U,U,Y1(U))
fin U=0,6,K=0,8,N=10 limn→+∞un=0
suite décroissante PAUL MILAN4TERMINALE S
POUR EN SAVOIR PLUS
U=0,1,K=1,4,N=10 limn→+∞un≈0,285
suite croissante U=0,6,K=1.4,N=10 limn→+∞un≈0,285
suite décroissante U=0,1,K=2,N=10 limn→+∞un=0,5
suite croissante U=0,1,K=2.8,N=10 limn→+∞un≈0,643
la suite oscille autour de sa limite U=0,1,K=3,N=10 limn→+∞un≈0,667
la suite oscille très lentement vers sa limite U=0,5,K=3.4,N=10 pas de limite
cycle d"ordre 2 PAUL MILAN5TERMINALE S
POUR EN SAVOIR PLUS
U=0,5,K=3.5,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 4 U=0,55,K=3.55,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 8 U=0,5,K=3.566,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 16 U=0,5,K=3.9,N=30 pas de limite
comportement chaotique 3.2 Vitesse de convergence
À partir dek=2 jusqu"àk=3 la suite oscille autour de sa limite de plus en plus lentement. Il s"agit d"un algorithme qui permet de déterminer le plus petit entier npour que la suite, initialisée àu0pour unkdonné, se trouve à moins de 10-pde sa limite. Si on admet que la suite est conver-
gente, comme la fonction associée est continue sur [0; 1], la limite?vérifie ?=f(?)(théorème du point fixe) ?=k?(1-?)??=k?-k?2 k?2+(1-k)?=0??(k?+1-k) =0 ?=0 (non retenue) ou?=k-1 k Variables:P,NentiersU,Kréels
Entrées et initialisation
LireU,K,P
0→N
Traitement
tant que???? U-K-1K????
?10-Pfaire KU(1-U)→U
N+2→N
fin Sorties: AfficherN
Pouru0=0,1 etp=3, on trouve en fonction des valeurs dek, les valeur den suivantes : k22,52,82,92,952,993 n5721417933955369 On s"aperçoit que la vitesse de convergence en 3 est particulièrement lente!!! PAUL MILAN6TERMINALE S
quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48
Initialisation :Pourn=1.
•On sait queu0?]0 ; 1[, donc, d"après le tableau de variation de la fonction associée, on a 01?]0 ; 0,5[,f(u1)-u1>0?f(u1)>u1?u2>u1
•Comme la fonctionfest stable sur]0 ; 0,5[,u2=f(u1)?]0 ; 0,5[ On a donc 0Montrons que 0 Par hypothèse : 0 Comme la fonctionfest croissante sur]0 ; 0,5[, on a donc : La proposition est héréditaire.
Par initialisation et hérédité, la suite(un)est croissante à partir du rang 1 et bornée par l"intervalle]0 ; 0,5[ PAUL MILAN3TERMINALE S
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5) La suite(un)est croissante et majorée par 0,5, d"après le théorème des suites
monotones, la suite(un)converge vers 0< ??0,5 Comme la fonctionfest continue sur ]0; 0,5[, d"après le théorème du point fixe?=f(?). ?=f(?)?f(?)-?=0??=0 ou?=0,5 Comme? >0,?=0,5, la suite(un)converge vers 0,5.
3 Algorithmes
3.1 Visualisation des différents cas
Il s"agit d"un algorithme permettant des visualiser lesnpremiers termes d"une suite logistique de paramètreket de premier termeu0 On doit d"abord rentrer les deux fonc-
tions : Y 1=KX(1-X)
Y 2=X On rentre les valeursU=u0,KetN
On trace alors le premier segment ver-
tical à partir deu0 On conserve l"ancienne valeur deU
dansV On trace ensuite les deux segments for-
mant l"escalier, le premier horizontal et le second vertical Variables:I,NentiersK,U,Vréels
Y 1etY2fonctions
Entrées et initialisation
Effacer dessin
LireU,K,N
AfficherY1
AfficherY2
Tracer segment(U, 0,U,Y1(U))
Traitement et sorties
pourIde 1 àNfaire U→V
KU(1-U)→U
Tracer segment(V,U,U,U)
Tracer segment(U,U,U,Y1(U))
fin U=0,6,K=0,8,N=10 limn→+∞un=0
suite décroissante PAUL MILAN4TERMINALE S
POUR EN SAVOIR PLUS
U=0,1,K=1,4,N=10 limn→+∞un≈0,285
suite croissante U=0,6,K=1.4,N=10 limn→+∞un≈0,285
suite décroissante U=0,1,K=2,N=10 limn→+∞un=0,5
suite croissante U=0,1,K=2.8,N=10 limn→+∞un≈0,643
la suite oscille autour de sa limite U=0,1,K=3,N=10 limn→+∞un≈0,667
la suite oscille très lentement vers sa limite U=0,5,K=3.4,N=10 pas de limite
cycle d"ordre 2 PAUL MILAN5TERMINALE S
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U=0,5,K=3.5,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 4 U=0,55,K=3.55,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 8 U=0,5,K=3.566,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 16 U=0,5,K=3.9,N=30 pas de limite
comportement chaotique 3.2 Vitesse de convergence
À partir dek=2 jusqu"àk=3 la suite oscille autour de sa limite de plus en plus lentement. Il s"agit d"un algorithme qui permet de déterminer le plus petit entier npour que la suite, initialisée àu0pour unkdonné, se trouve à moins de 10-pde sa limite. Si on admet que la suite est conver-
gente, comme la fonction associée est continue sur [0; 1], la limite?vérifie ?=f(?)(théorème du point fixe) ?=k?(1-?)??=k?-k?2 k?2+(1-k)?=0??(k?+1-k) =0 ?=0 (non retenue) ou?=k-1 k Variables:P,NentiersU,Kréels
Entrées et initialisation
LireU,K,P
0→N
Traitement
tant que???? U-K-1K????
?10-Pfaire KU(1-U)→U
N+2→N
fin Sorties: AfficherN
Pouru0=0,1 etp=3, on trouve en fonction des valeurs dek, les valeur den suivantes : k22,52,82,92,952,993 n5721417933955369 On s"aperçoit que la vitesse de convergence en 3 est particulièrement lente!!! PAUL MILAN6TERMINALE S
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Par hypothèse : 0 Comme la fonctionfest croissante sur]0 ; 0,5[, on a donc : La proposition est héréditaire.
Par initialisation et hérédité, la suite(un)est croissante à partir du rang 1 et bornée par l"intervalle]0 ; 0,5[ PAUL MILAN3TERMINALE S
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5) La suite(un)est croissante et majorée par 0,5, d"après le théorème des suites
monotones, la suite(un)converge vers 0< ??0,5 Comme la fonctionfest continue sur ]0; 0,5[, d"après le théorème du point fixe?=f(?). ?=f(?)?f(?)-?=0??=0 ou?=0,5 Comme? >0,?=0,5, la suite(un)converge vers 0,5.
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3.1 Visualisation des différents cas
Il s"agit d"un algorithme permettant des visualiser lesnpremiers termes d"une suite logistique de paramètreket de premier termeu0 On doit d"abord rentrer les deux fonc-
tions : Y 1=KX(1-X)
Y 2=X On rentre les valeursU=u0,KetN
On trace alors le premier segment ver-
tical à partir deu0 On conserve l"ancienne valeur deU
dansV On trace ensuite les deux segments for-
mant l"escalier, le premier horizontal et le second vertical Variables:I,NentiersK,U,Vréels
Y 1etY2fonctions
Entrées et initialisation
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LireU,K,N
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Tracer segment(U, 0,U,Y1(U))
Traitement et sorties
pourIde 1 àNfaire U→V
KU(1-U)→U
Tracer segment(V,U,U,U)
Tracer segment(U,U,U,Y1(U))
fin U=0,6,K=0,8,N=10 limn→+∞un=0
suite décroissante PAUL MILAN4TERMINALE S
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U=0,1,K=1,4,N=10 limn→+∞un≈0,285
suite croissante U=0,6,K=1.4,N=10 limn→+∞un≈0,285
suite décroissante U=0,1,K=2,N=10 limn→+∞un=0,5
suite croissante U=0,1,K=2.8,N=10 limn→+∞un≈0,643
la suite oscille autour de sa limite U=0,1,K=3,N=10 limn→+∞un≈0,667
la suite oscille très lentement vers sa limite U=0,5,K=3.4,N=10 pas de limite
cycle d"ordre 2 PAUL MILAN5TERMINALE S
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U=0,5,K=3.5,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 4 U=0,55,K=3.55,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 8 U=0,5,K=3.566,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 16 U=0,5,K=3.9,N=30 pas de limite
comportement chaotique 3.2 Vitesse de convergence
À partir dek=2 jusqu"àk=3 la suite oscille autour de sa limite de plus en plus lentement. Il s"agit d"un algorithme qui permet de déterminer le plus petit entier npour que la suite, initialisée àu0pour unkdonné, se trouve à moins de 10-pde sa limite. Si on admet que la suite est conver-
gente, comme la fonction associée est continue sur [0; 1], la limite?vérifie ?=f(?)(théorème du point fixe) ?=k?(1-?)??=k?-k?2 k?2+(1-k)?=0??(k?+1-k) =0 ?=0 (non retenue) ou?=k-1 k Variables:P,NentiersU,Kréels
Entrées et initialisation
LireU,K,P
0→N
Traitement
tant que???? U-K-1K????
?10-Pfaire KU(1-U)→U
N+2→N
fin Sorties: AfficherN
Pouru0=0,1 etp=3, on trouve en fonction des valeurs dek, les valeur den suivantes : k22,52,82,92,952,993 n5721417933955369 On s"aperçoit que la vitesse de convergence en 3 est particulièrement lente!!! PAUL MILAN6TERMINALE S
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Par initialisation et hérédité, la suite(un)est croissante à partir du rang 1 et bornée par l"intervalle]0 ; 0,5[PAUL MILAN3TERMINALE S
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5) La suite(un)est croissante et majorée par 0,5, d"après le théorème des suites
monotones, la suite(un)converge vers 0< ??0,5 Comme la fonctionfest continue sur ]0; 0,5[, d"après le théorème du point fixe?=f(?). ?=f(?)?f(?)-?=0??=0 ou?=0,5Comme? >0,?=0,5, la suite(un)converge vers 0,5.
3 Algorithmes
3.1 Visualisation des différents cas
Il s"agit d"un algorithme permettant des visualiser lesnpremiers termes d"une suite logistique de paramètreket de premier termeu0On doit d"abord rentrer les deux fonc-
tions : Y1=KX(1-X)
Y 2=XOn rentre les valeursU=u0,KetN
On trace alors le premier segment ver-
tical à partir deu0On conserve l"ancienne valeur deU
dansVOn trace ensuite les deux segments for-
mant l"escalier, le premier horizontal et le second verticalVariables:I,NentiersK,U,Vréels
Y1etY2fonctions
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LireU,K,N
AfficherY1
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Tracer segment(U, 0,U,Y1(U))
Traitement et sorties
pourIde 1 àNfaireU→V
KU(1-U)→U
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finU=0,6,K=0,8,N=10 limn→+∞un=0
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U=0,1,K=1,4,N=10 limn→+∞un≈0,285
suite croissanteU=0,6,K=1.4,N=10 limn→+∞un≈0,285
suite décroissanteU=0,1,K=2,N=10 limn→+∞un=0,5
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U=0,5,K=3.5,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 4U=0,55,K=3.55,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 8U=0,5,K=3.566,N=20 pas de limite
cycle d"ordre 16U=0,5,K=3.9,N=30 pas de limite
comportement chaotique3.2 Vitesse de convergence
À partir dek=2 jusqu"àk=3 la suite oscille autour de sa limite de plus en plus lentement. Il s"agit d"un algorithme qui permet de déterminer le plus petit entier npour que la suite, initialisée àu0pour unkdonné, se trouve à moins de 10-pde sa limite.Si on admet que la suite est conver-
gente, comme la fonction associée est continue sur [0; 1], la limite?vérifie ?=f(?)(théorème du point fixe) ?=k?(1-?)??=k?-k?2 k?2+(1-k)?=0??(k?+1-k) =0 ?=0 (non retenue) ou?=k-1 kVariables:P,NentiersU,Kréels
Entrées et initialisation
LireU,K,P
0→N
Traitement
tant que????U-K-1K????
?10-PfaireKU(1-U)→U
N+2→N
finSorties: AfficherN
Pouru0=0,1 etp=3, on trouve en fonction des valeurs dek, les valeur den suivantes : k22,52,82,92,952,993 n5721417933955369 On s"aperçoit que la vitesse de convergence en 3 est particulièrement lente!!!PAUL MILAN6TERMINALE S
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