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Dérivation des fonctions

Aimé Lachal

Cours de mathématiques

1 ercycle, 1reannée

Sommaire

1Dérivabilité en un point

Nombre dérivé

Dérivabilité à gauche/à droite

Interprétation graphique

Fonctions à valeurs complexes

2Dérivabilité sur un intervalle

Opérations

Dérivation d"une réciproque

Extremum d"une fonction

Théorème de Rolle

Théorème des accroissements finis

Dérivée et variations

Limite de la dérivée3Dérivation d"ordre supérieur

Dérivées successives

ClasseCnOpérations

4Convexité d"une fonction

Fonctions convexes

Point d"inflexion

5Compléments

Règle de L"Hospital

Sommaire

1Dérivabilité en un point

Nombre dérivé

Dérivabilité à gauche/à droite

Interprétation graphique

Fonctions à valeurs complexes

2Dérivabilité sur un intervalle

3Dérivation d"ordre supérieur

4Convexité d"une fonction

5Compléments

1. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé

Dans ce qui suit, sauf indication contraire,Idésigne un intervalle deRnon

réduit à un point,fune application deIdansRetx0un point deI.Définition 1.1 (Dérivabilité)

Pour tout x?I\{x0}, on appelletaux d"accroissement defffentrex0x0x0etxxx le rapportτx0(x) =f(x)-f(x0)x-x0. On dit que f estdérivable enx0x0x0si l"applicationτx0admet une limitefinieen x0.

On note alors cette limite f

?(x0)f?(x0)f?(x0)et on l"appelle lenombre dérivé defffenx0x0x0: f ?(x0) = limx→x0x?=x0f(x)-f(x0)x-x0= limh→0 h?=0f(x0+h)-f(x0)h Si x

0est une borne de l"intervalle I, la limite deτx0en x0est supposée être une

limite à gauche ou une limite à droite selon le cas de figure.1

1. Dérivabilité en un pointa) Nombre dérivé

Corollaire 1.2 (Dérivabilité=?=?=?continuité)Si une fonction f estdérivableen x0alors f estcontinueen x0.

Attention, laréciproquede cette implication estfausse. Par exemple, pour

f(x) =|x|et x0=0, la fonction f estcontinuemaispas dérivableen x0.Exemple 1.3 (Fonction puissance)

Soitn?N,f(x) =xnetx0?R. Les deux formulations conduisent àf?(x0) =nxn-1 0:

0-→x→x0nxn-1

0; f(x0+h)-f(x0)h =(x0+h)n-xn0h =n 1 x n-1 0+n 2 x n-2

0h+···+n

n h n-1-→h→0nxn-1

0.Exemple 1.4 (Fonction sinus)

Soitf(x) = sinxetx0?R. Les deux formulations conduisent àf?(x0) = cosx0.

En effet, à l"aide delimh→0sinhh

=1 etlimh→0cosh-1h =0 : f(x)-f(x0)x-x0=sinx-sinx0x-x0=2cosx+x02 sinx-x02 x-x0-→x→x0cosx0; +cosx0sinhh h→0cosx0.2

1. Dérivabilité en un pointb) Dérivabilité à gauche, à droite

Définition 1.5 (Dérivabilité à gauche, à droite) On dit que f estdérivable à gauche enx0x0x0(resp.dérivable à droite enx0x0x0) lorsque x0admet une limitefinieà gauche en x0(resp. une limitefinieà droite en x0).

On note alors f

?g(x0) = lim x→x-

0f(x)-f(x0)x-x0et f?d(x0) = lim

x→x+

0f(x)-f(x0)x-x0.Proposition 1.6

Si f est définiedans un voisinage dex0x0x0:

f estdérivableen x0ssi f estdérivable à gauche et à droiteen x0et f ?g(x0)=f?d(x0).

On a alors f

?(x0) =f?g(x0) =f?d(x0).Exemple 1.7 (Valeur absolue)

Soitfla fonction "valeur absolue» :f(x) =|x|.

On a f(x)-f(0)x +1 six>0 -1 six<0puislim x→0+f(x)-f(0)x =+1,lim x→0-f(x)-f(0)x =-1. Ainsifest dérivableà droite et à gaucheen 0 :f?d(0) = +1 etf?g(0) =-1, maisf?g(0)?=f?d(0)doncfn"estpasdérivable en 0.3

1. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique

Définition 1.8 (Tangente)

On munit le plan d"un repère orthonormal.

1Si f est une fonctiondérivableen x0, la droite

d"équation y=f?(x0)(x-x0) +f(x0)est appeléetangenteà la courbe représentative de f au point d"abscisse x 0.

C"est la position limite descordesreliant

un point de la courbe M(x,f(x))au point M

0(x0,f(x0))lorsque M tend vers M0.x

0xf(x0)f(x)M

0M

Dans le cas d"unedérivabilitéde f

uniquementà gauche ou à droiteen x0, on parle dedemi-tangente.2Dans le cas oùlim x→x-

0ou x+

0f(x)-f(x0)x-x0=±∞, on dit que la courbe représentative

de f admet unedemi-tangente verticaleen x0.3Si f estcontinueen x0etdérivable à gauche et à droiteen x0avec f?g(x0)?=f?d(x0)

on dit que la courbe représentative de f admet unpoint anguleuxen x0.4

1. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique

Proposition 1.9 (Approximation affine)

Supposons fdérivableen x0. Alors il existe une applicationεdéfinie dans un voisinage de x

0aveclimx0ε=0telle que

au voisinage de x

0,f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x).x

0M

0f(x0)xMf(x)f(x0)+f0(x0)(xx0)f

0(x0)(xx0)"(x)(xx0)C

fT La droiteTd"équation y=f(x0) +f?(x0)(x-x0)est latangenteà la courbe représentativeCfde f (cf. Définition1.8 ). Remarque :la relation f(x) =x→x0f(x0) +f?(x0)(x-x0) + (x-x0)ε(x)est appelée développement limité d"ordre 1 defffenx0x0x0(cf. chapitre " Développements limités »).5

1. Dérivabilité en un pointc) Interprétation graphique

Exemple 1.10 (Raccord dérivable)

Soitf(x) =(

x2six61, -x2+4x-2 six>1. fest continue surR; on af(x)-f(1)x-1=( x+1 six<1, -x+3 six>1, puislimx→1 x<1f(x)-f(1)x-1= limx→1 x>1f(x)-f(1)x-1=2; doncfest dérivable à droite et à gauche en 1 et f ?g(1)=f?d(1)=2. Ainsifest dérivable en 1 etf?(1)=2; la courbe admet la droite d"équationy=2x-1 pourtangenteau point de coordonnées(1,1).xf(x)11 Exemple 1.11 (Fonctions non dérivables en un point)

1Soitg(x) =3⎷x. On alimx→0g(x)-g(0)x

donc la courbe admet unetangente verticaleen l"origine.xy y=3px

2Soith(x) =|sinx|. On alim

x→0±h(x)-h(0)x =±1 donc la courbe admet unpoint anguleuxen l"origine.xy y=jsinxj 6

1. Dérivabilité en un pointd) Fonctions à valeurs complexes

On peut étendre la notion de dérivabilité aux fonctions definies surRà valeurs

dansCen utilisant les limites complexes des fonctions deRdansC.Proposition 1.12 (Dérivée d"une fonction à valeurs complexes)

Soit f une fonction de I dansCtelle que f(x) =f1(x) +if2(x), où f1et f2sont deux fonctions de I dansRet x0?I.

La fonction f est dérivable en x

0ssi f1et f2le sont, et l"on a alors

f ?(x0) =f?1(x0) +if?2(x0).Proposition 1.13 (Dérivation de l"exponentielle complexe) Rappelons que pour tout z=a+ib?C,ez=ea(cosb+isinb)(exponentielle complexe). Soitλ?Cet f définie par?x?R,f(x) =eλx. Alors ?x?R,f?(x) =λeλx.7

Sommaire

1Dérivabilité en un point

2Dérivabilité sur un intervalle

Opérations

Dérivation d"une réciproque

Extremum d"une fonction

Théorème de Rolle

Théorème des accroissements finis

Dérivée et variations

Limite de la dérivée

3Dérivation d"ordre supérieur

4Convexité d"une fonction

5Compléments

2. Dérivabilité sur un intervallea) Opérations

Définition 2.1 (Dérivabilité sur un intervalle) On dit qu"une fonction f estdérivable sur un intervalle Ilorsque f est dérivable en tout point de I. On note f

?lafonction dérivéede f qui à tout x?I associe f?(x).Proposition 2.2 (Addition, multiplication, division)

Soit f et g deux fonctionsdérivablessur un intervalle I etλ?R. Les fonctionsλf , f+g, f×g sont alorsdérivablessur I et l"on a :

Si g ne s"annule pas sur I,

fg est aussidérivablesur I etfg =f?g-fg?g

2.Exemple 2.3 (Fonctions homographiques)

Soita,b,c,d?R,cétantnon nul.On définit la fonctionfpar f(x) =ax+bcx+d.

Son ensemble de définition estDf=R\{-dc

La fonctionfestdérivablesurDfcomme quotient de fonctions dérivables et f ?(x) =ad-bc(cx+d)2. Remarque :fest constante ssi les couples(a,b)et(c,d)sont proportionnels.8

2. Dérivabilité sur un intervallea) Opérations

Proposition 2.4 (Composition)

Soit I et J deux intervalles, f une fonction de I dans J et g une fonction de J dansR. Si f estdérivablesur I et g estdérivablesur J alors g◦f estdérivablesur I et l"on a laformule de dérivation d"une fonction composée: (g◦f)?=f?×(g?◦f).Exemple 2.5 (Composées usuelles)

Lorsque les conditions le permettent, on a :

•(ef)?=f?ef•(ln|f|)?=f?f •(fα)?=αf?fα-1

2fRemarque 2.6

Les conditionsfetgdérivables sontsuffisantesmaisnon nécessairespour queg◦fsoit dérivable.

Par exemple, soitaetbdeux réels et

f(x) =axsix60 bxsix>0etg(x) =bxsix60 axsix>0. La fonctionh=f◦g=g◦fest définie parh(x) = (ab)x. Ainsi, lorsquea?=b,fetgnesontpasdérivables en 0 alors quehl"est.xyy=f(x)y=g(x)y=(gf)(x)O 9

2. Dérivabilité sur un intervalleb) Dérivation d"une réciproque

Théorème 2.7 (Dérivation d"une bijection réciproque) Soit f une applicationcontinue et strictement monotonesur un intervalle I. Elle induit unebijectionde I sur f(I)que l"on notera encore f .xy ax

0bf(a)y

0f(b)f

0(x0)ax

0b f(a)y

0f(b)1

f 0(x0) y=f(x)y=f1(x)1Supposons fdérivableen x0?I.

Si f?(x0)?=0alors f-1estdérivable

en y

0=f(x0)et l"on a

f-1?(y0) =1f ?(x0)=1f ?(f-1(y0)).

Si f?(x0) =0alors f-1n"estpas

dérivableen y0=f(x0)et sa courbe représentative présente une (demi-)tangente verticaleau point d"abscisse y

Alors f

-1est dérivable en y0=f(x0), (f-1)?(y0) =0et sa courbe représentative présente unetangente horizontaleau point d"abscisse y0.10

2. Dérivabilité sur un intervalleb) Dérivation d"une réciproque

Exemple 2.8 (Fonctions trigonométriques réciproques) arcsinest dérivable sur]-1,1[et ?x?]-1,1[,arcsin?(x) =1⎷1-x2. arccosest dérivable sur]-1,1[et ?x?]-1,1[,arccos?(x) =---1⎷1-x2. arctanest dérivable surRet ?x?R,arctan?(x) =11+x2.xy 2

2y= tanx

2 2 y= arctanxxy 11 y= cosx

11y= arccosxxy

2 2

11y= sinx

2 2

11y= arcsinx11

2. Dérivabilité sur un intervallec) Extremum d"une fonction

Définition 2.9 (Extremum)

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x

0?I.1On dit que f admet unmaximum local(resp. unminimum local) en x0s"il

existe un réelα >0tel que : ?x?]x0-α,x0+α[∩I,f(x)6f(x0) (resp.f(x)>f(x0))

Un maximum ou un minimum local est appelé unextremum local.2On dit que f admet unmaximum global(resp. unminimum global) sur I en

x

0lorsque :?x?I, f(x)6f(x0)(resp. f(x)>f(x0)).Proposition 2.10 (Condition nécessaire d"extremum)

Soit f une fonctiondérivablesur un intervalle I et x0?I quin"estpasune borne de I. Sif possède unextremum localen x0alorsf?(x0) =0.Remarque 2.11 (Point critique) Lorsquef?(x0) =0 on dit quex0est unpoint critiquede f. Attention, laréciproquede la proposition2.10 est fausse : un point critiquen"est pas nécessairementun extremum.

Par exemple,f(x) =x3etx0=0.xx

3 12

2. Dérivabilité sur un intervalled) Théorème de Rolle

Théorème 2.12 (Théorème de Rolle)

Soit f: [a,b]-→Rune fonction telle que

f estcontinuesur[a,b]; f estdérivablesur]a,b[; f(a) =f(b).

Alors?c?]a,b[tel que f?(c) =0.xf(x)abcf(a)=f(b)

Remarque 2.13

Les hypothèses "festcontinuesur[a,b]etdérivablesur]a,b[» sont équivalentes

à "fdérivablesur]a,b[etcontinueenaetb.»

•Il n"est pas nécessaire de supposer fdérivable enaou/etb.xf(x)cabf(a)=f(b)

Il peut y avoir une infinité de réelsc

tels quef?(c) =0.xf(x)abf(a)=f(b) 13

2. Dérivabilité sur un intervalled) Théorème de Rolle

Remarque 2.14 (Contre-exemples)

Le théorème peut être mis en défaut lorsqu"une hypothèse n"est pas satisfaite.xf(x)abf(a)=f(b)

fdiscontinueaux bornes de l"intervalle,f?ne s"annule pas.xf(x)abf(a)=f(b) fnon dérivableen un point à l"intérieur de l"intervalle,f?ne s"annule pas.Remarque 2.15 Le théorème de Rollenes"étendpasaux fonctions à valeurs complexes. Par exemple, la fonctionf:[0,2π]-→Cdéfinie parf(t)=eitest dérivable sur[0,2π], satisfaitf(0) =f(2π)alors que sa dérivée,f?(t) =ieit, ne s"annule pas.14

2. Dérivabilité sur un intervalled) Théorème de Rolle

Théorème 2.16 (Théorème de Rolle généralisé(facultatif))1Soit f:[a,+∞[-→Rune fonction telle que

f estcontinuesur[a,+∞[; •f estdérivablesur]a,+∞[; •lim+∞f=f(a).

Alors?c?]a,+∞[tel que f?(c) =0.xf(x)

acf(a)=lim+1f2Soit f:R-→Rune fonction telle que f estdérivablesurR; •lim-∞f etlim+∞f existent et coïncident.

Alors?c?Rtel que f?(c) =0.xf(x)

clim

1f=lim+1f15

2. Dérivabilité sur un intervallee) Théorème des accroissements finis

Théorème 2.17 (Théorème des accroissements finis)

Soit f: [a,b]-→Rune fonction telle que

f estcontinuesur[a,b]; f estdérivablesur]a,b[. Alors?c?]a,b[tel que f(b)-f(a)=f?(c)(b-a).xf(x)abcf(a)f(b) Corollaire 2.18 (Inégalité des accroissements finis - version 1) Soit f une fonctioncontinuesur[a,b]etdérivablesur]a,b[(a0tel que?x?I,|f?(x)|6k alors : ?(x,y)?I×I,|f(x)-f(y)|6k|x-y|.

On dit que f est une fonction k

kk-Lipschitziennesur I (cf. cours du2ndsemestre).16

2. Dérivabilité sur un intervallee) Théorème des accroissements finis

Exemple 2.20 (Cinématique)

Un véhicule parcourt une distance deDkm durant un laps de temps deTminutes. Soitd: [0,T]-→[0,D]la fonction modélisant le problème : à chaque instant t?[0,T],d(t)représente la distance parcourue durant l"intervalle de temps[0,t]. L"applicationd("loi horaire»du mouvement) est dérivable sur[0,T], sa dérivée étant lavitesse instantanéedu véhicule :d?(t)=v(t). Lavitesse moyenneestV=DT Le théorème des accroissements finis stipule qu"il existe au moins un instant en lequel lavitesse instantanéecoïncide avec lavitesse moyenne :?t0?[0,T],v(t0) =V.td(t)Depart0TArriveeD

Entree

d'autorouteAire de detenteSortie d'autoroute t 0 penteV17

2. Dérivabilité sur un intervallef) Dérivée et variations

Théorème 2.21 (Dérivée et variations)

Soit f une fonctiondérivablesur un intervalle I. On a les équivalences suivantes :1f estcroissantesur I?? ?x?I,f?(x)>02f estdécroissantesur I?? ?x?I,f?(x)603f estconstantesur I?? ?x?I,f?(x) =0Proposition 2.22 (Condition suffisante de stricte monotonie)

Soit f une fonctioncontinuesur

un intervalle I etdérivablesur I sauf peut-être en unnombre fini de points. Si f ?est designe constantet ne s"annulequ"en unnombre fini de points, alors f eststrictement monotonesur I.xf(x) 18

2. Dérivabilité sur un intervalleg) Limite de la dérivée

Théorème 2.23 (Théorème de la limite de la dérivée)

Soit f une fonctioncontinuesur un intervalle I,dérivablesur I\{x0}, où x0?I.1Silimx→x0x?=x0f

?(x) =?où??R, alors f estdérivableen x0et f?(x0) =? (et donc f ?est même continue en x0). On dit que f est declasseC1C1C1en x0.2Silim x→x-

0ou x+

0f?(x) =±∞, alors f n"estpas dérivableen x0et sa courbe

représentative admet une (demi-)tangenteverticaleen x0.3Si f ?admet des limites à gauche et à droite en x0distinctesalors f n"estpas

dérivableen x0.Si ces limites sont finies, f est dérivable à gauche et à droite en x0.Exemple 2.24 (Raccord de classeC1C1C1)Soitf(x) =(

x2six61, -x2+4x-2 six>1. festcontinuesurRetdérivablesurR\{1}; on af?(x) =(

2xsix<1,

-2x+4 six>1, puislimx→1 x<1f?(x) = limx→1 x>1f?(x) =2; doncfestdérivableen 1 (etC1C1C1) etf?(1) =2.xf(x)11 19

2. Dérivabilité sur un intervalleg) Limite de la dérivée

Remarque 2.25

Dans le théorème

2.23 , l"hypothèse "festcontinuesurIetdérivablesurI\{x0}» est équivalente à "festcontinueenx0etdérivablesurI\{x0}». Le théorème est mis en défaut sifn"estpas continueenx0,fn"est évidemment pas dérivableenx0même si la limitelimx→x0x?=x0f ?(x)existe comme le montre l"exemple ci-dessous.

Soitf(x) =(

x2six<0, x

2+1 six>0.

fest dérivable surR\{0}; on a?x?R?,f?(x) =2xdonclimx→0 x?=0f?(x) =0; maisfn"estpas dérivableen 0 (discontinue en 0). En faitfestdérivable à droiteen 0,f?d(0) =0, maispas à gauche.

Le graphe defadmet ainsi une demi-tangente

horizontaleà droiteen 0, mais contrairement aux apparences,pas à gauche.xf(x)1 0 20

2. Dérivabilité sur un intervalleg) Limite de la dérivée

Exemple 2.26 (Une fonction dérivable nonC1C1C1)Soitf(x) =8 :x

2sin1x

six?=0,

0 six=0.

fest clairement dérivable surR?. Avec|f(x)|6x2, on voit quelimx→0f(x) =0=f(0), doncfest continue en 0.

On a?x?R?,f(x)-f(0)x

=xsin1x , doncf(x)-f(0)x

6|x|, puis

lim x→0f(x)-f(0)x =0, et alorsfest dérivable en 0 de dérivée 0.

On a?x?R?,f?(x)=2xsin1x

-cos1x . On voit quef?n"a pas de limite en 0. En conclusion,fest dérivable en 0 mais pas de classeC1en 0.xf(x) 21

Sommaire

1Dérivabilité en un point

2Dérivabilité sur un intervalle

3Dérivation d"ordre supérieur

Dérivées successives

ClasseCnOpérations

4Convexité d"une fonction

5Compléments

3. Dérivation d"ordre supérieura) Dérivées successives

Définition 3.1 (Dérivées successives)

Soit n?N. On dit qu"une fonction f est nnnfois dérivablelorsqu"on peut dériverquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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