Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle non vide de R. Définition 3.1.1. Soit f : I ? R une fonction
Continuité et dérivabilité dune fonction
Nov 7 2014 La fonction valeur absolue x ??
FONCTION DERIVÉE
Formules d'opération sur les fonctions dérivées : u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Démonstration pour la somme et l'inverse : - On
Dérivation des fonctions
Dérivabilité sur un intervalle. Opérations. Dérivation d'une réciproque. Extremum d'une fonction. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis.
2.3 Dérivabilité en plusieurs variables
Pour fonctions d'une variable réelle la seule direction possible `a parcourir est l'axe des abscisses. For fonctions de plusieurs variables la situation est tr`
Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles
- La fonction x est continue sur [0 ;+õ[ ln(x) est continue sur ]0 ;+õ[. - Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur
Sur lensemble des points de non-dérivabilité dune fonction continue
les valeurs des fonctions dérivées en tout point de dérivabilité étant finies. W(d?) e^^ la fonction continue non dérivable de Weierstrass.
Dérivée dune fonction composée Définition de fonction composée
Dérivabilité de fonction composée u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I prenant ses valeurs dans un intervalle J. v est une fonction
Quel est le domaine de dérivabilité dun polynôme et comment se
(le domaine de dérivabilité d'une fonction constitue alors l'ensemble de définition de la dérivée). Propriétés : • Tout polynôme est dérivable sur Ê : en
Chapitre4 : Intégrale dune fonction continue sur un segment et
Soit I un intervalle de R et f : I Ñ R une fonction continue. Soit a P I. Alors l'application F : I Justifier que ? est dérivable sur D
[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Dérivabilité des fonctions réelles La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse Elle permet d'étudier les variations d'une fonction
[PDF] Dérivation des fonctions
Dérivabilité sur un intervalle Opérations Dérivation d'une réciproque Extremum d'une fonction Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis
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Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I Dans ce cas
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7 nov 2014 · Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I La réciproque de ce théorème est fausse Remarque : La réciproque
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5 oct 2018 · alors (Cf ) admet une demi-tangente verticale d'équation x = a Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et ? ? R
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Dans ce cas cette limite s'appelle le nombre dérivé de en est se Une fonction dérivable en admet une tangente en et le nombre dérivé en
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On dit que f est dérivable sur R et que sa fonction dérivée est définie par f (x) = 2x 2 Dérivées des fonctions usuelles : Fonction Fonction dérivée pour tout
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+ 5 + 1) 123 Faculté de l'Economie et de Gestion de Béni Mellal Sciences Economique Gestion (S1) Enseignant : E majidi Page 4 8 Théorème de Rolle
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Soit I un intervalle ouvert de R et f : I ? R une fonction Soit x0 ? I Définition 1 f est dérivable en x0 si le taux d'accroissement f (x)?f (x0) x?x0
Comment prouver la dérivabilité d'une fonction ?
On dit que f est dérivable en x0 x0 x0 si l'application ?x0 admet une limite finie en x0. f (x0 + h) ? f (x0) h . Si x0 est une borne de l'intervalle I, la limite de ?x0 en x0 est supposée être une limite à gauche ou une limite à droite selon le cas de figure.Comment dire qu'une fonction est dérivable ?
Soit f : [a, b] ? R une fonction. (1) Soit x0 ?]a, b[. Alors f est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable `a droite et `a gauche en x0 et fg(x0) = fd(x0). (2) f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable `a droite en a.Comment étudier la dérivabilité ?
Pré-requis
1Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a.2Dire que f est dérivable en a de nombre dérivé f ? ( a ) f'(a) f?(a), c'est dire que :3f ? ( a ) f'(a) f?(a) étant un réel.4Soit f la fonction définie sur l'intervalle R par f ( x ) = x 3 f(x)=x^3 f(x)=x3 et a = 1 a=1 a=1.- Définition. Si le quotient T a ( h ) = f ( a + h ) ? f ( a ) h tend vers un nombre réel lorsque h tend vers 0, alors on dit que f est dérivable en a.
222.3.D ´erivabilit ´eenplusieursvariables
2.3D´eriv abilit´eenplusieursvariables
Lad´e riv´eed'unefonction,lorsqu' elleexiste,estl i´eeauxvariationsde lafonc tiontandisquel'undesesva riablesparcourt unedirec tion.Pour fonctionsd'unevariabler´eel lelaseuledirec tionpossible`aparcour irest l'axede sabscisse s.Forfonctionsdeplusieursvariableslasituationest tr`esdi´erente.L'espaceR
n poss`edeuneinfinit´ede direction s.Ilpeut s'av´ererint´eressantd'´et udiercommentunefonction´evoluelorsque ses variables´evoluentlelong d'unedirectiondonn´ee.Pourc ettera ison onintro duitlanotionded´eriv´ eedirectionnelle(d ´eriv´ eed'unefonction parrapport `aunedirection quelconque).Sila direc tionchoisiestl'un desaxesdere ference, onparlede d´eriv´eepartielledelafonctionpar rapport`al'unde sesvariables . tiond´ efiniesurunouvertDdeR n etsoitx 02D.Soitvunvecteur de
R n denorme unitaire.Onpose v (t)=f(x 0 +tv).On ditquefadmet d´eriv´eedansladirectionvaupoint x 0 si v (t)estderivable en0eton pose: D v f(x 0 )=0 v (0)=lim t!0 f(x 0 +tv)f(x 0 tExemple8Onconsider elafonctionf:R
2 7!R f(x,y)=e x y Onveutc alculerlad ´eriv´eedir ectionnelle delafonctionflelongla directionv=( 3 5 4 5 )aupoint (2,0). D v f(2,0)=lim t!0 f(2+ 3 5 t), 4 5 t t =lim t!0 4 5 e 2+ 3 5 t t t 4 5 e 2 fonctiond´ efiniesurunouvertDdeR n etsoitx 02D.Ondit que
fadmetd ´eriv´eepartielleaupointx 0 parrapport `asavariablex i (i=Chapter2:Fonctionsdep lusie ursvariables23
1,···,n)silalimite
lim h!0 f(x 1 ,···,x i1 ,x i +h,x i+1 ,···,x n )f(x 1 ,···,x i1 ,x i ,x i+1 ,···,x n h existeetest finie.Cettelimite estnot´ eef x i 0(x 0 )ou f x i ou@ x i f(x 0 Remarque6Ils'agitdelimitesd'une fonctionr´ eellede variabler ´eel le! Enpratique,pour calculerlad´er iv´eepartiel ledefparrapport `asa variablex i ong` eletouteslesvariablesx j pourj6=ietond ´er ivef commeunefonctiondela seulevariable x iExemple9Onconsider elafonctionf:R
2 7!R f(x,y)=3x 2 +4xy+7y 2 Lad´eriv ´eepartielledefparrapport `axestdonn´ epar: x f(x,y)=6x+4y. Lad´er iv´eepartielledefparrapport `ayestdonn´ epar: y f(x,y)=4x+14y.Exemple10Onconsider elafonctionf:R
3 7!R f(x,y,z)=5xzln(1+7 y) Lad´er iv´eepartielledefparrapport `axestdonn´ epar: x f(x,y,z)=5zln(1+7 y). Lad´eriv ´eepartielledefparrappor t`ayestdonn´ epar: y f(x,y,z)= 35xz7y Lad´eriv ´eepartielledefparrapport `azestdonn´ epar: y f(x,y,z)=5xln(1+7 y).
242.3.D ´erivabilit ´eenplusieursvariables
D´efinition2.3.3[D´erivabilit´e]Sifadmettoutesles d´er iv´ees partielles premi`eresonditquefestd´ erivable. Remarque7[Important]Contrairementaucasdefonctions d'uneva- riable,enplusieurs variablesc'est pasvraiqueune fonctiond´erivable estn´ ecessairementcontinue.Parexempleonconsid`erela fonctionf: R 27!Rd´efiniepar:
f(x,y)= xy x 2 +y 2 si(x,y)6=(0,0)0sinon
Cettefonctionadmet d´ eriv´ eespartielles@
x f(x,y),@ y f(x,y)aupoint (0,0): x f(0,0)= lim h!0 f(h,0)f(0,0) h 00 h =0, y f(0,0)=lim h!0 f(0,h)f(0,0) h 00 h =0. Cependantlafonctionn 'estpas continueau point(0,0)(onl'a d´ej` a montr´e!). D´efinition2.3.4[Vecteurgradient]Legradient d'unefonctiond´erivable faupoint x 0 2R n estleve cteur: rf(x 0 x 1 f(x 0 x 2 f(x 0 x n f(x 0 oulesc omposantes sontlesd´eriv´eesp artielles defaupoint x 0Lorsqueilexiste ,lev ecteurgradientdefaupoin tx
0 estort hogonal`a lacourb edeniveaudefpassantparx 0Onconsid` ereunefonctionf:R
n 7!R p ,p>1.Ondit quef estd´ erivableaupointx 0 sit outeslescomposantesf i (x 1 ,···,x n ),i= 0 n 7!R p ,p>1,f d´erivableaupointx 0 2R n .La matricejacobiennede faupoint x 0 2R nChapter2:Fonctionsdep lusie ursvariables25
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