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Exercices - Transformation de Fourier: corrigéFonctions intégrables Exercice 1- Fonction triangle-Troisième année-? Sans détailler les calculs, et en faisant notamment une intégration par parties, on a : 0 -1(1 +x)e-2iπξxdx=i2πξ+14π2ξ2-e2iπξ4π2ξ2.

De même, on trouve

1

On en déduit :

f(ξ) =sin2(πξ)π

2ξ2.

Exercice 2- Calcul d"une transformée de Fourier par résolution d"une équation différentielle-L3/Math Spé-?? On remarque d"abord quefest bien définie pour toutx. En effet, on a ?????e -t⎷t Cette fonction est intégrable sur[0,+∞[, car en 0 elle est équivalente à1⎷t qui est intégrable (intégrale de Riemann), et, au voisinage de+∞, elle vérifie ?????e -t⎷t 2. Prouvons également quefest de classeC1. Pour cela, on remarque que la fonction g: (x,t)?→e-t⎷t eitx admet en tout point deR×]0,+∞[une dérivée partielle par rapport àxégale à ∂g∂x (x,t) =i⎷te -teitx.

De plus, on a, pour toutx?R,????∂g∂x

-t

et la fonction apparaissant à droite dans l"inégalité précédente est intégrable sur]0,+∞[(elle

est continue en 0, et au voisinage de+∞, elle est négligeable devant1/t2). On en déduit par le

théorème de dérivation des intégrales à paramètres quefest dérivable, avec f ?(x) =?

0i⎷te

-teitx.http://www.bibmath.net1

Exercices - Transformation de Fourier: corrigéOn exprime le membre de droite de cette égalité en fonction defgrâce à une intégration par

parties, en posantv(t) =⎷tetu(t) =1ix-1e(ix-1)t. Puisqueu(0)v(0) = 0etlimt→+∞u(t)v(t) =

0, on en déduit

f ?(x) =-i2(ix-1)? 0e -t⎷t eitxdt -i(-ix-1)2(x2+ 1)f(x) x+i2(x2+ 1)f(x).

Il ne reste plus qu"à résoudre cette équation différentielle. On l"écrit sous la forme

f ?f =x2(x2+ 1)+i2(x2+ 1) ce qui donne ln|f|=14 ln(x2+ 1) +i2 arctan(x) +K. On en déduit qu"il existe une constanteC?Rtelle que f(x) =C(x2+ 1)1/4exp?i2 arctanx? On détermine la valeur de la constanteCen calculantf(0) =C. On a par ailleurs f(0) =? 0e -t⎷t dt= 2?

0e-u2du

en effectuant le changement de variablest=u2. Utilisant le rappel, on trouve queC=⎷π. Exercice 3- Semi-groupe de Poisson-Troisième année-?

1. On a :

f(ξ) =?

0e(-α-2iπξ)xdx+?

0 -∞e(α-2iπξ)xdx

1α+ 2iπξ+1α-2iπξ=2αα

2+ 4π2ξ2.

2. Pourα= 2π,ˆf(ξ) =1π(1+x2).Cette fonction étant dansL1, sa transformée de Fourier est

f(-x). La transformée de Fourier dex?→11+x2est doncx?→π×e-2π|x|.

3. On commence par calculer le produit de convolution. On a :

f ? f(x) =? R e-α(|x-y|+|y|)dy 0 -∞e-α(|x-y|-y)+? Exercices - Transformation de Fourier: corrigéSix >0, on a : f ? f(x) =? 0 -∞e-α(x-2y)dy+? x

0e-αxdy+?

xe-α(2y-x)dy =e-αx? x+1α La fonctionfétant paire,f ? fl"est aussi, et on a doncf ? f(x) =e-α|x|(|x|+ 1/α). Maintenant, la transformée de Fourier de cette fonction, pourα= 2πestx?→π2(1+x2)2, puisque la transformée de Fourier transforme le produit de convolution de deux fonctions en produit usuel. On applique une fois encore la formule d"inversion de la transformée de Fourier (ce qui est légitime puisque toutes les fonctions sont intégrables). La transformée de Fourier dex?→1(1+x2)2est la fonctionx?→e-2π|x|(|x|+ 1/2π)π 2.

4. Remarquons que la dérivée de la fonctionx?→11+x2estx?→-2x(1+x2)2. En utilisant les

formules habituelles sur l"influence de la dérivation sur le produit de convolution, on en déduit : F ?x(1 +x2)2? (ξ) =-12 F?ddx

11 +x2??

=-12

×2iπξF?11 +x2?

(ξ) =-iπ2ξe-2π|ξ|. Exercice 4- Régularité-Troisième année-? Prouvons d"abord queˆf?L1(R). Puisqueˆfest continue,ˆfest bornée sur[-1,1]ce qui justifie la convergence de?1 prouve la convergence de?+∞

1|ˆf(ξ)|dξainsi que celle de?-1

-∞|ˆf(ξ)|dξ. Maintenant, d"après la formule d"inversion de la transformée de Fourier,fest égale presque partout à la fonction g(x) =? R

ˆf(ξ)e2iπξxdξ.

Mais il est clair que cette fonctiongest de classeC1(ou bien parce qu"il s"agit de la transformée de Fourier conjuguée d"une fonctionhtel quex?→xh(x)est intégrable, ou bien en dérivant directement sous le signe intégrale).

Exercice 5--Troisième année-??

On noteAl"espace vectoriel engendré par les translatées(τxf), etBson image dansC0(Rn) par la transformée de Fourier. Soitg?B, alors, l"effet de la transformée de Fourier sur une

translation entraine l"existence d"un entierp, de complexesλ1,...,λpet de réelsx1,...,xptels

queg(t) =λ1eix1tF(f)(t)+···+λpeixptF(f)(t). En particulier,gs"annule enx0, et ainsiBn"est

pas dense dansC0(Rn). SiAétait dense dansL1(Rn), alorsF(A)serait dense dansF(L1(Rn)), et donc (par transitivité) dense dansC0(Rn).

Exercice 6- Non-surjectivité de la transformée de Fourier-Troisième année-??http://www.bibmath.net3

Exercices - Transformation de Fourier: corrigé1. On découpe l"intégrale en 2, et on fait le changement de variablesu=-tdans la première

intégrale : f(x) =? 0 -∞f(t)e-i2πxtdt+?

0f(t)e-i2πxtdt

0f(t)e2iπxtdt+?

0f(t)e-i2πxtdt

=-2i?

0f(t)sin(2πxt)dt.

2. D"abord, la fonctionu?→sinuu

est continue sur[0,+∞[, une fois prolongée par 1 en 0. D"autre part, il est bien connu que, si la fonctionu?→sinuu n"est pas intégrable, l"intégrale?X

1sinuu

duadmet une limite quandX→+∞. Il suffit pour cela de faire une intégration par parties : ?X

1sinuu

du=?-cosuu X 1 X

1cosuu

2du, la première quantité admettant une limite siXtend vers+∞, tandis que la fonction u?→cosuu

2est intégrable sur[1,+∞[. Ceci justifie donc que la fonctionφest définie.

D"autre part, elle est continue sur[0,+∞[, car :

φ(x+h)-φ(x) =-?

x+h xsinuu du, et ceci tend vers 0 sihtend vers 0. Enfin,φadmet0pour limite en+∞: on en déduit qu"elle est bornée sur[0,+∞[.

3. On a :

?R 1ˆ f(t)t dt=? R 1? 0-2it f(x)sin(2πxt)dt? dx.

Remarquons queh(t,x) =-2it

f(x)sin(2πxt)est dansL1([1,R]×[0,+∞[): on a en effet |f(x)|,

et la fonction majorante est clairement intégrable sur[1,R]×[0,+∞[. Utilisant le théorème

de Fubini, on en déduit : R 1ˆ f(t)t dt=?

0-2if(x)?

?R

1sin2πxtt

dt? dx

0-2if(x)?

?2πRx

2πxsinuu

du? dx.

Or,f(x)??2πRx

2πxsinuu

du? →f(x)φ(2πx)siR→+∞. D"autre part, on a :

2πRx

2πxsinuu

Exercices - Transformation de Fourier: corrigéComme la fonctionφest bornée surR, on obtient :

?????f(x)? ?2πRxquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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