[PDF] Feuille dexercices no 4 Inégalités de Markov

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Probabilites-statistiques 2014-2015 Polytech 3A

Feuille d'exercices n

o4Inegalites de Markov et de Bienayme-Tchebychev, loi des grands nombres Exercice 1.Le nombre de pieces sortant d'une usine en une journee est une variable aleatoire d'esperance 50. On veut estimer la probabilite que la production de demain depasse 75 pieces. a) En utilisant l'inegalite de Markov, quelle estimation obtient-on sur cette probabilite? b) Que peut-on dire de plus sur cette probabilite si on sait que l'ecart-type de la production quotidienne est 5?

Solution : a) Inegalite de Markov :P(X75)E(X)75

=23 b) Inegalite de Tchebychev :P(jX50j 25)Var(X)25

2=5225

2= 0:04. DoncP(X75)0:04.

Exercice 2.Pour etudier les particules emises par une substance radioactive, on dispose d'un detecteur. On noteXla variable aleatoire representant le nombre de particules qui atteignent le detecteur pendant un intervalle de temps t. Le nombre maximal de particules que le detecteur peut compter pendant un intervalle de temps test de 103. On suppose queXsuit une loi de Poisson de parametre= 102. Donner une majoration de la probabilite queXdepasse 103. Caracteristiques d'une loi de PoissonP(): son esperance et sa variance sont egales a. Solution : Inegalite de Tchebychev :P(jX102j 103102)V ar(X)(10

3102)2=100900

2'0:00012.

DoncP(X103)0:00013.

Exercice 3.On lancenfois un de a 6 faces et on regarde la frequence d'obtention de la face \6" (c'est-a-dire le nombre de fois qu'on obtient \6", divise parn). Que peut-on dire de cette frequence quandndevient grand? (si on parle de limite, preciser en quel sens) Solution : Loi des grands nombres : siSnest la v.a. comptant le nombre de \6",Snn tend vers

1=6en proba (loi faible) ou p.s. (loi forte).

Theoreme Central Limite, intervalles de conance

Exercice 4.On considere l'experience consistant a lancer 100 fois une piece (equilibree) et on noteSla variable aleatoire comptant le nombre de \pile" obtenu lors d'une experience. Que vautP(40S60)? Quelle est la probabilite pour queSsoit superieur a 60? Solution : TCL (en ecrivantScomme somme de 100 v.a. Bernoulli independantes) ou ap- proximation d'une binomiale par une loi normale : S505 est approximativement de loiN(0;1).

P(40S60) =P(2S505

2)'0:954(table). Par symetrie,P(S >60) =P(S <40),

d'ouP(S >60) =12 (1P(40S60))'0:023. Exercice 5.Selon une etude, 20% des consommateurs se declarent in uences par la marque lors d'un achat. Si on interroge 100 consommateurs pris au hasard, quelle est la probabilite pour qu'au moins 28 d'entre eux se declarent in uences par la marque? Solution : SoitFla v.a. \proportion de consommateurs dans l'echantillon de taillen= 100 qui se declarent in uences par la marque". On cherche a calculerP(F0:28). nFsuit la loi binomialeB(n;p)avecn= 100etp= 0:2, doncE(F) = 0:2et(F) =q0:20:8100

0:04. SoitT=F0:20:04,Tsuit a peu pres une loi normaleN(0;1)(TCL ou approximation d'une

binomiale par une loi normale).P(F0:28) =P(F0:20:08) =P(T2). Or, avec la table,P(T <2)'0:5 + 0:477 = 0:977, d'ouP(F0:28)'10:977 = 0:023. Conclusion. : Il y a environ 2,3% de chance pour que plus de 28 consommateurs dans un echantillon de 100 personnes se disent in uences par la marque. 1 Exercice 6.La rme Comtec vient de developper un nouvel appareil electronique. On veut en estimer la abilite en termes de duree de vie. D'apres une etude, l'ecart-type de la duree de vie d'un appareil serait de l'ordre de 100 heures. On suppose egalement que la duree de vie suit une loi normale, et que les durees de vie de dierents appareils sont independantes. Determiner le nombre d'essais requis pour estimer, avec un niveau de conance de 95%, la duree de vie moyenne d'une grande production de sorte que la marge d'erreur dans l'estimation n'excede pas20 heures. Solution : La variableX=\duree de vie d'un appareil" suit une loi normale d'esperance m(inconnue) et d'ecart-type= 100. Si on faitnessais independants donnes par les v.a. X

1;:::;Xn, on noteX=X1++Xnn

. AlorsT=pn Xm suit une loi normaleN(0;1)(la loi de Test exactementN(0;1)en utilisant la propriete qu'une somme de lois normales independantes est une loi normale; si on utilise le TCL, on conclut que la loi deTest approximativement N(0;1)sinest assez grand). Doncp(jTj 1:96)0:95(table). Au niveau de conance 95%, on peut armer que l'intervalleI= [x1:96100pn ;x+1:96100pn ]contient la duree de vie moyenne chercheem, ouxest la valeur eectivement mesuree deX, c'est-a-direP(m2I)0:95 (x=X(!), ou!represente la realisation d'une serie d'experiences donnee). La marge d'erreur n'excede pas 20h des que1:96100pn <20, i.e. sin97. Remarque :mest inconnu mais xe. C'est l'intervalle[X1:96100pn ;X+1:96100pn ]qui varie selon l'experience car

Xdepend de!.

Exercice 7.On interroge 1000 electeurs, 521 declarent vouloir voter pour le candidat A. Indi- quer avec une probabilite de 0.95 entre quelles limites se situe la proportion du corps electoral favorable a A au moment du sondage. Solution : On notepla proportion (inconnue) d'electeurs favorables a A. Soitn= 1000. Soit X ila variable qui vaut 1 si lei-eme electeur interroge declare vouloir voter pour A, 0 sinon. LesXisuivent une loi de Bernoullib(p); on suppose que ces v.a. sont independantes. Donc le nombreS=Pn i=1Xisuit une loi binomialeB(n;p);E(S) =npetVar(S) =np(1p). Comme nest grand, on peut approcher la loi deT=Snppnp(1p)parN(0;1)(TCL ou approximation d'une binomiale par une loi normale). DoncP(jTj 1:96)0:95(table). On a

P(jTj 1:96) =P(1:96Snppnp(1p)1:96) =P

1:96rp(1p)n

Sn p1:96rp(1p)n =P Sn

1:96rp(1p)n

pSn + 1:96rp(1p)n Commenest grand, on peut estimerppar la frequencef= 0:521observee dans l'echantillon (loi des grands nombres), et approximerp(1p)parf(1f), ce qui donne P Sn

1:96rf(1f)n

pSn + 1:96sf(1p)f 0:95:

Lors du sondage, on trouve

Sn =f(c'est-a-direS(!)n =fou!correspond au sondage realise), ce qui donne l'intervalle de conance[f1:96qf(1f)n ;f+ 1:96qf(1f)n ]'[0:49;0:55]. On conclut que[0:49;0:55](autrement dit523%) est un intervalle de conance relatif apau seuil de 95% (c'est-a-direP(0:49p0:55)0:95).quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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