[PDF] CPES 2 – Probabilités approfondies 2015-2016 DS final – Lundi 2

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CPES 2 { Probabilites approfondies 2015-2016

DS nal { Lundi 2 mai { Duree : 2h

Elements de correction

Il est demande de soigneusement numeroter les questions. Lors de la correction, il sera fait grand cas de la clarte, de la concision et de la precision de la redaction. Dans l'ensemble du sujet, pour repondre a une question, on pourra admettre les resultats des questions precedentes, a condition de clairement l'indiquer. On supposera que toutes les variables aleatoires mises en jeu sont denies sur le m^eme espace de probabilite.

Exercice 1.(Preuves de cours)

(1) Enoncer et demontrer le premier lemme de Borel{Cantelli. (2) Enoncer et demontrer l'inegalite de Bienayme-Tchebychev. Corrige.Cf cours.Exercice 2.Soitc >0. On suppose queXetYsont deux variables aleatoires a valeurs dansNtelles que pour tous entiersi;j0,

P(X=i;Y=j) =ci+ji!j!:

(1)

Mon trerque p ourtout en tierk0 on a

P(X=k) =P(Y=k) =cek+ 1k!:

Corrige.On a (formule des probabilites totales avec les evenementsfY=jgpour j0 ) :

P(X=k) =X

j0P(X=k;Y=j) =cX j11(j1)!k!+cX j01(k1)!j!: Donc

P(X=k) =ce1k!+1(k1)!

=cek+ 1k!; ce qui est aussi egal aP(Y=k) par symetrie.(2)Mon trerque c=12e2. 1

Corrige.On doit avoir

1 = X k0P(X=k) =ce X k11(k1)!+X k01k!! = 2ce2; d'ou le resultat.(3)Mon trerque Xadmet une esperance et la calculer.

Corrige.CommeXest positive, on peut ecrire

E[X] =X

k0kP(X=k) =ce X k1k(k1)!+X k11(k1)!!

Pour calculer cette somme, on decompose

k(k1)!=k1(k1)!+1(k1)!, et on trouve

E[X] = 3ce2=32

ce qui montre aussi queXadmet une esperance.(4)Ca lculerE[XY]E[X]E[Y]. Corrige.Pour calculerE[XY], on utilise la formule de transfert pour une variable aleatoire positive (applique ici avecf(X;Y) avecf(x;y) =xy) :

E[XY] =cX

i;j0iji+ji!j!= 4ce2= 2: Ainsi,E[XY]E[X]E[Y] = 29=4 =1=4.(5)Les v ariablesal eatoiresXetYsont-elles independantes? Corrige.Non, car sinon on auraitE[XY] =E[X]E[Y] (on peut aussi voir que

P(X= 0;Y= 0)6=P(X= 0)P(Y= 0)).Exercice 3.SoientXetYdeux variables aleatoires reelles. On suppose queXsuit une

loi exponentielle de parametrec >0 etYsuit une loi de Poisson de parametre >0. On suppose de plus queXetYsont independantes. CalculerP(X > Y). Corrige.En utilisant la formule des probabilites totales avec les evenementsfY=jg (j0), on trouve

P(X > Y) =X

j0P(X > Y;Y=j) =X j0P(X > j;Y=j) =X j0P(X > j)P(Y=j)2 par independance deXetYpour la derniere egalite. Donc

P(X > Y) =X

j0e cjejj!=eX j0(ec)jj!=eec:Exercice 4.SoientXetYdeux variables aleatoires reelles independantes de m^eme loi exponentielle de parametre 1. On poseZ= max(X;Y). (1) D eterminerla loi de Zet montrer queZest une variable aleatoire reelle a densite.

Corrige.Pourx0, on aP(Zx) = 0. Pourx >0, on a

F

Z(x) =P(Zx) =P(Xx;Yx) = (1ex)2

par independance deXetY. Ainsi,FZest bien continue,C1sauf eventuellement en 0, doncZest a densite.(2)La v ariableal eatoireZadmet-elle une esperance? Si oui, la calculer. Corrige.Une densite deZest donnee par une derivee deFZaux points ouFZ est derivable, donc f

Z(x) = 2(exe2x)?x0

est une densite deZ.Zadmet une esperance si et seulement si Z 1 0 xf

Z(x)dx <1;

ce qui est le cas, et donc

E[Z] =Z

1 0

2x(exe2x)dx= 2(11=4) =32

:Exercice 5. (1) So it( Xn)n1une suite de variables aleatoires reelles a densite qui admettent une esperance telles queE[jXnj]!0 quandn!0. Montrer queXnconverge en probabi- lite vers 0 lorsquen! 1. Corrige.D'apres l'inegalite de Markov, pour tout >0,

P(jXnj> )1

E[jXnj]!n!10:3

(2)On supp oseque Ynsuit une loi normaleN(0;2n) et que2n!0 lorsquen! 1. Montre queYnconverge en probabilite vers 0 lorsquen! 1. Corrige.D'apres l'inegalite de Markov, pour tout >0,

P(jYnj> ) =PY2n> 21

2EY2n=2n

2!n!10:Probleme.Le but de ce probleme est d'etudier un modele simple de propagation

d'une population, qu'on modelise comme suit. Ch aquesite de N=f0;1;2;:::gest occupe soit par un (seul) individu, soit est vide. A l'instantt= 0, un individu occupe le site 0 et tous les autres sites sont vides. Si un individ uest ac^ oted'un site vide, au b outd'un temps al eatoire,ind ependant de tout le reste, distribue selon une variable exponentielle de parametre 1, il donne naissance a un individu qui va occuper ce site vide. On noteTnle premier temps ou un individu occupe le siten.

Partie I.

Etude de quelques proprietes deTn.

(1) Justi erqu'on p eut ecrireTn=E1++En, ou les variables aleatoiresE1;:::;En sont des variables aleatoires independantes et exponentielles de parametre 1. Corrige.Tnrepresente le premier temps ou un individu occupe le siten: pour passer deTnaTn+1on ajoute bien une variable aleatoire exponentielle de parametre

1 independante de tout le reste.(2)La v ariableal eatoireTnadmet-elle une esperance et une variance? Si oui, les calculer.

Corrige.Tnadmet une esperance et une variance comme somme de variables aleatoires admettant un esperance et une variance. Par linearite de l'esperance, on a

E[Tn] =nX

i=1E[Ei] =n car l'esperance d'une variance aleatoire exponentielle de parametre 1 vaut 1.

CommeE1;:::;Ensont independantes, on a

Var(Tn) =nX

i=1Var(Ei) =n car la variance d'une variance aleatoire exponentielle de parametre 1 vaut 1.4 (3)Mon trerque Tn=nconverge presque s^urement vers 1 lorsquen! 1. Corrige.C'est une consequence de la loi forte des grands nombres (les variables aleatoireE1;:::;Ensont independantes, de m^eme loi et admettent une esperance qui vaut 1).Partie II.Quelques proprietes utiles pour la suite. (4) So itEune variable aleatoire exponentielle de parametre 1. Pour quelles valeurs de x2Rla variable aleatoireexEadmet-elle une esperance? CalculerEexElorsque e xEadmet une esperance. Corrige.D'apres la formule de transfert,exEadmet une esperance si et seulement si l'integrale Z1 0 exueudu converge, c'est-a-dire si et seulement six <1. Dans ce cas, on a E exE=Z 1 0 exueudu=11x:(5)Ca lculerEexTnlorsqueexEadmet une esperance.

Corrige.Pourx <1, on a

E exTn=EexE1exEn: Or les variables aleatoiresexE1;:::;exEnsont independantes (lemme de composi- tion). Donc E exTn=nY i=1EexEi=1(1x)n:(6)Lor squen! 1, montrer que e pn

111=pn

n converge vers un nombre reel strictement positif qu'on determinera.

Corrige.On a

e pn

111=pn

n =epn+nln(11=pn)=epnn 1pn

12n+o(1=n)

n!1e1=2:5 Partie III.Soita >0. Le but de cette partie est d'etudier le comportement asymptotique deP(Tnn+na) lorsquen! 1. (7)

Dan scette question, on supp oseque a >1=2.

(a)

Mon trerque

P(Tnn+na)epnna1=2111=pn

n

Corrige.On ecrit

P(Tnn+na) =P

eT npn epn+na1=2

et le resultat s'obtient en utilisant l'inegalite de Markov avec la question (5).(b)Mon trerque la s eriede terme g eneralP(Tnn+na) converge.

Corrige.D'apres les questions (7a) et (6), il existe une constantec >0 telle que pour toutn1 on a

P(Tnn+na)cena1=2:

Commea >1=2, cette serie converge.(c)M ontrerqu'a vecprobabilit e1, apartir d'un certain rang on a Tn< n+na.

Corrige.Ceci decoule du premier lemme de Borel{Cantelli.(8)D eterminerla limite de PTnn+n1=2lorsquen! 1(on pourra exprimer la

reponse sous la forme d'une integrale).

Corrige.On ecrit

P

Tnn+n1=2=PE1++Ennpn

1 Comme la variance deE1vaut 1, d'apres le theoreme Central Limite ceci converge versP(N(0;1)1), donc P

Tnn+n1=2!n!11p2Z

1 1 ex2=2dx:(9)On supp oseque a <1=2. Calculer la limite deP(Tnn+na) lorsquen! 1. 6 On montre que la limite vaut 1=2. Comme a la question (8), pour tout0, on a P

Tnn+pn

!n!11p2Z 1 ex2=2dx: En particulier,P(Tnn)!1=2 lorsquen! 1. OrP(Tnn+na) P(Tnn) pour toutn1 (carfTnn+nag fTnng), doncP(Tnn+na) est deja majoree par une suite qui converge vers 1=2 lorsquen! 1. Fixons >0 et montrons que pournassez grand on aP(Tnn+na)1=2.

Soit >0 susamment petit tel que

1p2Z 1 ex2=2dx1=2=2: Donc, pournassez grand, on aP(Tnn+pn)1=2. Or pournassez grand on apnnacara <1=2. Donc pournassez grand on aP(Tnn+na)

P(Tnn+pn)1=2, ce qui conclut.7

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