[PDF] [PDF] Probabilités - S2 TD 3 - Inégalité de Bienaymé-Tchebichev

View - Download [PDF] Probabilités - S2 TD 3 - Inégalité de Bienaymé-Tchebichev

Previous PDF

Next PDF

Departement STID - IUT Paris Descartes 2017-2018

Probabilites - S2

TD 3 - Inegalite de Bienayme-Tchebichev - Convergence en probabilite

Corriges

Rappels :

Inegalite de Bienayme-Tchebychevpour une variable aleatoire d'esperance et de variance nies :

8t >0; P(jXE(X)j>t)6V(X)t

2 Inegalite de Markov8Zvariable aleatoire positive;8a >0P(Z > a)6E(Z)a

Convergence en probabilite

Soit (Un)n>1une suite de v.a. On dit queUnconverge en probabilite vers2Rsi et seulement si :

8" >0; P(jUnj> ")!n!10

Loi (faible) des grands nombres

Soit (Xn)n>1une suite de v.a. independantes et de m^eme esperance (nie)et de m^eme variance (nie)2, alorsX n=1n n X i=1X iP!n!1

Exercice 1

Ici :XE(X) =X20 et 06X640, 206X20620, jX20j620

On applique B-T at= 20 etV(X) = 20 :

P(jX20j>20)62020

2= 0;05,1P(jX20j620)60;05,

P(jX20j620)>10;05 = 0;95,P(06X640)>0;95

On peut verier que c'est vrai siXsN(20;2= 20) :

P(06X640) =P020p20

6X20p20

64020p20

=P

4;4726X20p20

64;472

=F(4;472) F(4;472) =F(4;472)(1F(4;472)) = 2F(4;472)1'211 = 1 ouX20p20 sN(0;1) et Fest la fonction de repartition de la loi normale reduite centree.

On a bienP(06X640) = 1>0;95.

Exercice 2

SoientXi; i= 1;2:::;100 des variables aleatoires uniformes sur l'intervalle [0;1].Evaluer approxima- tivementP 100X
i=1X i>6!

06Xi61)06100X

i=1X i6100.

On peut conjecturer queP

100X
i=1X i>6!

1006100

= 0;94 1

Exercice 3

On suppose que le nombre de pieces sortant d'une usine donnee en l'espace d'une semaine est une variable aleatoire d'esperance 50.

1)Si on applique l'inegalite de Markov, on aP(X >75)65075

'0;67

2)P(406X660) =P(10< X50<10) =P(jX50j<10).

On ecrit l'inegalite de B-T :P(jX50j>10)62510

2= 0;25

On en deduit : 1P(jX50j<10)60;25,P(jX50j<10)>10;25 = 0;75 ,P(jX50j<10) =P(406X660)>0;75

Exercice 4

On eectuenlancers successifs supposes independants d'une piece parfaitement equilibree.

1)Chaque lancer est un tirage de Bernoulli, avecp=12

. Si on appelleSn=X1+X2++Xn, S nsB n;12 le nombre de pile, avecE(Sn) =n2 etV(Sn) =n:12 :12 =n4

2)Fn=Snn

doncE(Fn) =1n

E(Sn) =1n

n E(Xi) =12

V(Fn) =1n

2V(Sn) =1n

2n4 =14n.

3)Pour quels nombresnde lancers peut-on armer, avec un risque de se tromper inferieur a 5 %,

que la proportion de piles au cours de cesnlancers diere de12 d'au plus un centieme.

On ecrit l'inegalite de B-T pourSn:

P(jFnE(Fn)j>0;01)6V(Fn)0;012)P

Fn12 >0;01

614n0;012

On choisitnveriant14n0;01260;05,n>140;050;012= 50 000. Il faut lancer la piece 50 000 fois pour qu'on puisse armer avec seulement 5% de risque de se tromper quela proportion de pile sera12 1100

Exercice 5

Approximation d'une loi Bin^omialeB(n;p)

L'approximation d'une loi bin^omiale par une loi normale se justie des quen>30;np>5 etn(1p> 5. (a)X B(50; 0;2). Icin= 50>30;np= 10>5 etn(1p) = 40>5, doncX' N(np;np(1p)) =N(10;8)

P(X64) =PX10p8

6410p8

=PX10p8

62;12132

=F(2;12132) = 1F(2;12132) )P(X64) = 0:0169 (approximation) ouFest la fonction de repartition de la loiN(0;1). Lorsque l'on regarde dans une table de la loi bin^omiale, pourX B(50; 0;2) on trouve :

P(X64) = 0;0185.

2 (b)X B(200; 0;5). Icin= 200>30 etnp=n(1p) = 100>5, doncX' N(np;np(1p)) =N(100;50)

P(X670) =PX100p50

670100p50

=PX100p50

64;24264

=F(4;24264) = 1

F(4;24264)

)P(X670) = 0 (approximation) ouFest la fonction de repartition de la loiN(0;1). Lorsque l'on regarde dans une table de la loi bin^omiale, pourX B(200; 0;5) on trouve :

P(X670) = 0, c'est a dire le m^eme resultat.

Exercice 6

Une compagnie aerienne utilise un avion qui peut transporter au maximum 400 passagers. La proba- bilite pour qu'un passager, ayant reserve pour un vol donne, ne se presente pas a l'embarquement est de 0,08.

1)La compagnie accepte pour un vol 420 reservations. On noteXla variable aleatoire qui compte le

nombre de passagers qui se presentent a l'embarquement. a-X B(420; 0;92). b- Icin= 420>30;np= 386;4>5 etn(1p) = 33:6>5, doncX B(420; 0;92)' N(336;4; 30;912).

P(X6400) =PX336;4p30;9126400336;4p30;912

'PX336;4p30;91262;44 '0:993. Donc la societe prend peu de risques mais aura tout de m^eme des soucis pour 7 vols sur 1000.

2)La compagnie accepte pour un vol donnenreservations (avecn400). Determiner la valeur

maximale denpour que la probabilite de l'evenement (X400) soit superieure ou egale a 0,95.

XsB(n; 0;92)' N(0;92n; 0;080;92n= 0;0736n).

P(X6400) =PX0;92np0;0736n64000;92np0;0736n

>0;95)4000;92np0;0736n= 1;645. Cela revient a resoudre l'equation du second degre 0;92x2+ 1;645p0;0736x400 = 0 avec x=pn. On ne veut que la racine positive. = 1;64520;0736 + 44000;92'1472;12'38;372 x=pn=1;645p0;0736 + 11;322520;92)n'424;8

Donc pourn425 on auraP(X6400)0:95

Exercice 7

Loi du min et du max

SoientX1;:::;Xndes variables aleatoires independantes et identiquement distribuees, denies sur un m^eme espace et a valeurs reelles. On noteFla fonction de repartition deX1.

1) (a)

=f1;2;3;4;5;6g2=f(1;1);(1;2);:::(6;6)g36 couples, E

1= (M2= 1) =f(1;1)g; E2= (M2= 2) =f(1;1);(1;2);(2;1);(2;2)g,E3= (M2= 3) =:::.

(b)F(1) =P(max2= 1) = 1=36;F(2) = 4=36;F(3) =F(2) + 5=36 = 9=36;F(4) =F(3) +

7=36 = 16=36;F(5) =F(4) + 9=36 = 25=36;F(6) =F(5) + 11=36 = 36=36 = 1.

On remarque que ces quantites sont resp egales a (1=6)2;(2=6)2;(3=6)2;(4=6)2;(5=6)2;(6=6)2= 1 3

2)FMn(x) =P(Mn6x) =P(maxfXig6x) =P(X16x;X26x;:::;Xn6x))

F

Mn(x) =P(X16x)P(X26x); P(Xn6x) =F(x)n

3)On lance un de 2 fois, doncn= 2. SoientX1etX2les resutats respectifs de ces 2 lancers. Soit

m

2= minfX1;X2gla variable aleatoire qui a tout!2

associe la plus petite valeur parmi X

1(!);X2(!).

(a)

Ecrire

, puis les evenementsE1= (m2= 1); E2= (m2= 2);E3= (m2= 3). (b)Determiner la fonction de repartitionFdem2.

4)Fmn(x) =P(mn6x) = 1P(mn> x) = 1P(minfXig> x)

)Fmn(x) = 1P(X1> x;X2> x;:::;Xn> x) = 1P(X1> x)P(X2> x);P(Xn> x) car lesXisont independantes )Fmn(x) = 1(1F(x))n

5)F(x) = 1ex, doncFMn(x) =1exnetFmn(x) = 111exn= 1enx

4quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

[PDF] ecart type probabilité loi normale

[PDF] variance probabilité formule

[PDF] esperance ecart type loi binomiale

[PDF] ecart type probabilité

[PDF] variance probabilité première s

[PDF] pensee positive permanente

[PDF] etre positif pdf

[PDF] le pouvoir de la pensée positive pdf gratuit

[PDF] pensée positive citation pdf

[PDF] pensée positive gratuite télécharger

[PDF] livre la puissance de la pensée positive pdf gratuit

[PDF] la pensée positive pour les nuls pdf gratuit

[PDF] soon the end

[PDF] cest bientot la fin paroles

[PDF] mozart opera rock c'est bientôt la fin lyrics