PROBABILITÉS
Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance
Espérance variance
https://www.unige.ch/math/mgene/cours/slides8.pdf
VARIABLES ALÉATOIRES
exposer une théorie nouvelle : les calculs de probabilités. variance et l'écart-type de la loi de probabilité de X et interpréter les résultats pour.
Probabilités continues
remarque : on peut prendre a = ?? ou b = +? dans cette formule. Soit X une variable aléatoire continue de densité fX sa variance est.
7 Lois de probabilité
suit une loi normale de moyenne µ et de variance ?2 notée X ? N (µ
Probabilités et variables aléatoires
variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler (formule des probabilités totales) Soit (Ai)i?I une fa-.
Probabilité Espérance
https://cermics.enpc.fr/~bl/decision-incertain/cours/cours-1.pdf?refresh=echo%20rand(2
Formules de probabilités et statistique
Variance de la population ? = ? ?2. Écart-type de la population n. Effectif (nombre d'individus) de l'échantillon. ¯x = 1 n. ?n i=1 xi. Moyenne
Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi
Corollaire 4.7 (Formule pour la variance) : Soit X une v.a. discrète prenant les valeurs xi avec les probabilités pi (i ? D) et ayant un mo-.
Cours de mathématiques Partie IV – Probabilités MPSI 4
30 May 2014 Formule des probabilités composées . ... VI Principes généraux du calcul des probabilités . ... Espérance et variance conditionnelle .
[PDF] Espérance variance quantiles
22 mai 2008 · Espérance variance quantiles Probabilité Gain × Proba Définition : La variance d'une v a X (si elle existe) est
[PDF] PROBABILITÉS - maths et tiques
Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance la variance et l'écart-type de la loi de probabilité de X et interpréter lesÂ
[PDF] Cours de Probabilités
Calcul de la variance : V (Y ) = dans le cas discret et V (Y ) = dans le cas continu Page 37 Chapitre 6 Lois continues usuelles 6 1 Loi continue uniforme
[PDF] Cours de probabilités et statistiques
Proposition 7 (Formule des probabilités totales) Soit A un événement tel que 0 < Un calcul analogue permet de calculer la variance (exercice)
[PDF] Formulaire de Probabilités et Statistique - Christophe Chesneau
pdf ? Éléments de cours de Probabilités de Jean-François Marckert : Formule des probabilités composées (à l'ordre 3) : Espérance et variance :
[PDF] Probabilités et variables aléatoires
Espérance et variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler les deux théorèmes importants : loi des grands nombre et théorème de centralÂ
[PDF] MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ - Université du Québec
Les lois de probabilité permettent de décrire les variables aléatoires sous suit une loi normale de moyenne µ et de variance ?2 notée X ? N (µ ?2)
Cours 5 : Variance ? Écart-type dune variable aléatoire
en probabilité on définit de même la variance de la variable aléatoire X que l'on note V(X) et l'écart-type ?(X) : la variance est égale à la moyenne desÂ
[PDF] Cours probabilités et statistiques
On utilise la formule car la même probabilité pour chaque Variance: c'est la distance entre la variable aléatoire et son espérance
[PDF] Espérance et variance Variables Aléatoires discrètes
Montrer que la variance d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p(1 ? p) Solution 1 E[X] = ? k xkP(X =Â
Comment calculer la variance en probabilité ?
V(X) est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs prises par X et l'espérance pondérée par les probabilités correspondantes. Ainsi V(X) = E((X ? ?)2).C'est quoi la variance probabilité ?
C'est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée, de même que l'écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance. La variance est l'écart carré moyen entre chaque donnée et le centre de la distribution représenté par la moyenne.Comment calculer la variance exemple ?
Notez la formule de la variance de la population.
1? = (?( x i {\\displaystyle x_{i}} - ?) )/n.2Variance de la population = ? . 3x i {\\displaystyle x_{i}} 4Les termes après le ? seront calculés pour chaque valeur de. 5? est la moyenne de la population.6n est le nombre de données dans la population.- La variance est utilisée dans le domaine de la statistique et de la probabilité en tant que mesure servant à caractériser la dispersion d'une distribution ou d'un échantillon. Il est possible de l'interpréter comme la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.
VARIABLES ALÉATOIRES
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/krbtyBDeRqQ En 1654, Blaise Pascal (1623 ; 1662) entretient avec Pierre de Fermat (1601 ;1665) des correspondances sur le thème des jeux de hasard et d'espérance de gain
qui les mènent à exposer une théorie nouvelle : les calculs de probabilités. Ils s'intéressent à la résolution de problèmes de dénombrement comme celui du Chevalier de Méré : " Comment distribuer équitablement la mise à un jeu de hasard interrompu avant la fin ? » Partie 1 : Variable aléatoire et loi de probabilité1) Variable aléatoire
Exemple :
Soit l'expérience aléatoire : " On lance un dé à six faces et on regarde le résultat. »
L'ensemble de toutes les issues possibles E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} s'appelle l'univers des possibles.On considère le jeu suivant :
• Si le résultat est 5 ou 6, on gagne 2 €. • Sinon, on perd 1 €.On peut définir ainsi une variable aléatoire í µ sur E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} qui donne le gain et
qui peut prendre les valeurs 2 ou -1.Pour les issues 5 et 6, on a : í µ = 2
Pour les issues 1, 2, 3 et 4, on a : í µ = -1.
Définition : Une variable aléatoire í µ associe un nombre réel à chaque issue de l'univers des
possibles. Méthode : Calculer une probabilité à l'aide d'une variable aléatoireVidéo https://youtu.be/IBqkrg8pxQ4
Vidéo https://youtu.be/OnD_Ym95Px4
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. - Si cette carte est un coeur, on gagne 5 €. - Si cette carte est un carreau, on gagne 2 €. - Dans les autres cas, on perd 1 €. Soit í µ la variable aléatoire qui associe le gain du jeu. 2Correction
í µ(í µ=5) est la probabilité de gagner 5 €. On gagne 5 € lorsqu'on tire un coeur. Soit :
í µ=5 8 321 4
í µ(í µ=-1) est la probabilité de perdre 1 €. On perd 1 € lorsqu'on ne tire ni un coeur, ni un
carreau. Soit : í µ=-1 16 321 2 í µ=2 í µ=-1 1 4 1 2 3 4
2) Loi de probabilité
Définition : Soit une variable aléatoire í µ prenant les valeurs í µ La loi de probabilité de í µ est donnée par toutes les probabilités í µ(í µ=í µRemarque : Les " í µ
» sont toutes les valeurs prises par í µ.
Méthode : Déterminer une loi de probabilité d'une variable aléatoireVidéo https://youtu.be/awtn6gsRwfs
Vidéo https://youtu.be/2Ge_4hclPnI
On lance simultanément deux dés à 6 faces et on note les valeurs obtenues. Soit í µ la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs.Établir la loi de probabilité de í µ.
Correction
La variable aléatoire í µ peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Par exemple, si on obtient la combinaison (2 ; 5), la plus grande valeur est 5 et on a : í µ=5. La plus grande des deux valeurs est 1, si on obtient la combinaison : (1 ; 1). í µ=1 1 36La plus grande des deux valeurs est 2, si on obtient les combinaisons : (1 ; 2), (2 ; 1) ou (2 ; 2).
í µ=2 3 361 12 La plus grande des deux valeurs est 3, si on obtient les combinaisons : (1 ; 3), (3 ; 1), (2 ; 3), (3 ; 2) ou (3 ; 3). í µ=3 5 36
La plus grande des deux valeurs est 4, si on obtient les combinaisons : (1 ; 4), (4 ; 1) (2 ; 4), 3 (4 ; 2), (3 ; 4), (4 ; 3) ou (4 ; 4). í µ=4 7 36
La plus grande des deux valeurs est 5, si on obtient les combinaisons : (1 ; 5), (5 ; 1) (2 ; 5), (5 ; 2), (3 ; 5), (5 ; 3), (4 ; 5), (5 ; 4) ou (5 ; 5). í µ=5 9 36
1 4 La plus grande des deux valeurs est 6, si on obtient les combinaisons : (1 ; 6), (6 ; 1) (2 ; 6), (6 ; 2), (3 ; 6), (6 ; 3), (4 ; 6), (6 ; 4), (5 ; 6), (6 ; 5) ou (6 ; 6). í µ=6 11 36
On peut résumer les résultats dans le tableau de la loi de probabilité de í µ :
Remarque :
On vérifie que la somme des probabilités est égale à 1 : 1 361 12 5 36
7 36
1 4 11 36
=1
Partie 2 : Espérance, variance, écart-type
Définitions : Soit une variable aléatoire í µ prenant les valeurs í µ La loi de probabilité de í µ associe à toute valeur í µ la probabilité í µ - L'espérance de í µ est : - La variance de í µ est : - L'écrt-type de í µ est : Méthode : Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoireVidéo https://youtu.be/AcWVxHgtWp4
Vidéo https://youtu.be/CbCMJXGhC4k
Vidéo https://youtu.be/elpgMDSU5t8
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
- Si on tire un coeur, on gagne 2 €. - Si on tire un roi on gagne 5 €. - Si on tire une autre carte, on perd 1 €. í µ est la variable aléatoire donnant le gain du jeu.1 2 3 4 5 6
1 361 12 5 36
7 36
1 4 11 36
4
1) Calculer l'espérance de í µ.
2) Donner une interprétation du résultat.
3) Calculer la variance et l'écart-type de í µ.
Correction
1) On commence par établir la loi de probabilité de í µ :
í µ peut prendre les valeurs -1 €, 2 €, 5 € mais aussi 7 €. En effet, si on tire le roi de coeur, on gagne 2 € (comme un coeur) + 5 € (comme un roi). Si la carte tirée est un coeur (autre que le roi de coeur), í µ=2. í µ(í µ=2)= Si la carte tirée est un roi (autre que le roi de coeur), í µ=5. í µ(í µ=5)= Si la carte tirée est le roi de coeur, í µ=7. í µ(í µ=7)= Si la carte tirée n'est ni un coeur, ni un roi, í µ=-1. í µ(í µ=-1)=La loi de probabilité de í µ est :
-1×2+
×5+
1 32×7=
15 32≈0,47
2) Si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois, on peut espérer gagner, en
moyenne, environ 0,47 € par tirage. Si l'organisateur du jeu veut espérer faire un bénéfice, il pourra demander par exemple aux joueurs une participation de 0,50 € par tirage. Il gagnera en moyenne environ 0,03 € par tirage.3) Variance :
×A-1-
15 32B
×A2-
15 32B
×A5-
15 32B 1 32
×A7-
15 32B ≈5,1865
Écart-type :
Propriétés de linéarité (non exigible) : Soit une variable aléatoire í µ. Soit í µ et í µ deux nombres réels. On a : -1 2 5 7 2132
7 32
3 32
1 32
5
Méthode : Simplifier les calculs d'espérance et de variance à l'aide d'une variable aléatoire
de transition (non exigible)Vidéo https://youtu.be/ljITvCBExVY
Une entreprise qui fabrique des roulements à bille fait une étude sur une gamme de billesproduites. Le diamètre théorique doit être égal à 1,3 cm mais cette mesure peut être
légèrement erronée.L'expérience consiste à tirer au hasard une bille d'un lot de la production et à mesurer son
diamètre.On considère la variable aléatoire í µ qui, à une bille choisie au hasard, associe son diamètre.
La loi de probabilité de í µ est résumée dans le tableau suivant : Calculer l'espérance et l'écart-type de la loi de probabilité de í µ.Correction
Pour simplifier les calculs, on définit la variable aléatoire í µ=1000í µ-1300.La loi de probabilité de í µ est alors :
Calculons l'espérance et la variance de la loi de probabilité de í µ : =0,2× 2-0,1 +0,1× -1-0,1 +0,2× 0-0,1 +0,4× 1-0,1 +0,1× 2-0,1 =1,69 On en déduit l'espérance et la variance de la loi de probabilité de í µ :1000í µ-1300
=1000í µ -1300Donc : í µ
=1,3001Donc : í µ
0(+) $,12Et donc : í µ
$,12 =0,0013 Conclusion : í µ(í µ)=1,3001í µí µí µí µ í µ =0,0013 í µí µ.1,298 1,299 1,3 1,301 1,302
0,2 0,1 0,2 0,4 0,1
-2 -1 0 1 20,2 0,1 0,2 0,4 0,1
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