PROBABILITÉS
Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance
Espérance variance
https://www.unige.ch/math/mgene/cours/slides8.pdf
VARIABLES ALÉATOIRES
exposer une théorie nouvelle : les calculs de probabilités. variance et l'écart-type de la loi de probabilité de X et interpréter les résultats pour.
Probabilités continues
remarque : on peut prendre a = ?? ou b = +? dans cette formule. Soit X une variable aléatoire continue de densité fX sa variance est.
7 Lois de probabilité
suit une loi normale de moyenne µ et de variance ?2 notée X ? N (µ
Probabilités et variables aléatoires
variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler (formule des probabilités totales) Soit (Ai)i?I une fa-.
Probabilité Espérance
https://cermics.enpc.fr/~bl/decision-incertain/cours/cours-1.pdf?refresh=echo%20rand(2
Formules de probabilités et statistique
Variance de la population ? = ? ?2. Écart-type de la population n. Effectif (nombre d'individus) de l'échantillon. ¯x = 1 n. ?n i=1 xi. Moyenne
Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi
Corollaire 4.7 (Formule pour la variance) : Soit X une v.a. discrète prenant les valeurs xi avec les probabilités pi (i ? D) et ayant un mo-.
Cours de mathématiques Partie IV – Probabilités MPSI 4
30 May 2014 Formule des probabilités composées . ... VI Principes généraux du calcul des probabilités . ... Espérance et variance conditionnelle .
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22 mai 2008 · Espérance variance quantiles Probabilité Gain × Proba Définition : La variance d'une v a X (si elle existe) est
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Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance la variance et l'écart-type de la loi de probabilité de X et interpréter les
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Calcul de la variance : V (Y ) = dans le cas discret et V (Y ) = dans le cas continu Page 37 Chapitre 6 Lois continues usuelles 6 1 Loi continue uniforme
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Proposition 7 (Formule des probabilités totales) Soit A un événement tel que 0 < Un calcul analogue permet de calculer la variance (exercice)
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pdf ? Éléments de cours de Probabilités de Jean-François Marckert : Formule des probabilités composées (à l'ordre 3) : Espérance et variance :
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Espérance et variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler les deux théorèmes importants : loi des grands nombre et théorème de central
[PDF] MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ - Université du Québec
Les lois de probabilité permettent de décrire les variables aléatoires sous suit une loi normale de moyenne µ et de variance ?2 notée X ? N (µ ?2)
Cours 5 : Variance ? Écart-type dune variable aléatoire
en probabilité on définit de même la variance de la variable aléatoire X que l'on note V(X) et l'écart-type ?(X) : la variance est égale à la moyenne des
[PDF] Cours probabilités et statistiques
On utilise la formule car la même probabilité pour chaque Variance: c'est la distance entre la variable aléatoire et son espérance
[PDF] Espérance et variance Variables Aléatoires discrètes
Montrer que la variance d'une variable aléatoire de Bernoulli vaut p(1 ? p) Solution 1 E[X] = ? k xkP(X =
Comment calculer la variance en probabilité ?
V(X) est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs prises par X et l'espérance pondérée par les probabilités correspondantes. Ainsi V(X) = E((X ? ?)2).C'est quoi la variance probabilité ?
C'est la mesure de dispersion la plus couramment utilisée, de même que l'écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance. La variance est l'écart carré moyen entre chaque donnée et le centre de la distribution représenté par la moyenne.Comment calculer la variance exemple ?
Notez la formule de la variance de la population.
1? = (?( x i {\\displaystyle x_{i}} - ?) )/n.2Variance de la population = ? . 3x i {\\displaystyle x_{i}} 4Les termes après le ? seront calculés pour chaque valeur de. 5? est la moyenne de la population.6n est le nombre de données dans la population.- La variance est utilisée dans le domaine de la statistique et de la probabilité en tant que mesure servant à caractériser la dispersion d'une distribution ou d'un échantillon. Il est possible de l'interpréter comme la dispersion des valeurs par rapport à la moyenne.
Probabilités et variables aléatoires
Probabilités et variables aléatoires
Résumé
Ce chapitre introduit les concepts essentielles des modèles proba- bilistes afin d"aborder l"inférence statistique : définition d"un évé- nement aléatoire, des probabilités discrètes ou continues, des pro- babilités conditionnelles et de la notion d"indépendance en proba- bilités. Après avoir défini la notion de variable aléatoire, celles de lois les plus utilisées sont décrites : discrètes de Bernoulli; bino- miales, géométrique, de Poisson; continues uniforme, exponentielle, Gamma, normale, du chi-deux, de Student et de Fisher. Espérance et variance d"une variable aléatoires sont définies, avant de signaler les deux théorèmes importants : loi des grands nombre et théorème de central limite.Retour au
plan du cour s1 Introduction
Dans des domaines très différents comme les domaines scientifique, socio- logique ou médical, on s"intéresse à de nombreux phénomènes dans lesquels apparaît l"effet du hasard. Ces phénomènes sont caractérisés par le fait que les résultats des observations varient d"une expérience à l"autre. Une expérience est appelée "aléatoire" s"il est impossible de prévoir à l"avance son résultat et si, répétée dans des conditions identiques, elle peut donner des résultats différents : succession d"appels à un standard téléphonique non surchar gé; observ ationde la durée de vie d"un indi viduanon ymedans une po pula- tion; observ ationde la durée de fonctionnement sans panne d"appareil ; jeu de pile ou f ace.Voici d"autres exemples de domaines d"applications des probabilités.FiabilitéOn considère un système formé par plusieurs composants. On s"in-
téresse à la fiabilité du système : on va chercher à calculer la probabilité que le système fonctionne encore à un instant donné. Il faut pour cela connaître la probabilité que chacun des composants fonctionne à cet instant et tenir compte du fait que les composants ne fonctionnent peut-être pas indépendamment les uns des autres. Fatigue des matériauxLes données de fatigue des matériaux sont très dis- persées. On fait alors appel à des modélisations probabilistes et à des méthodes statistiques afin, par exemple, de construire des intervalles de confiance pour le nombre moyen de cycles jusqu"à la rupture. TélécommunicationsEn télécommunications, on doit souvent tenir compte du "bruit" dans les systèmes. Par exemple, supposons qu"un système émet soit un0, soit un1, et qu"il y a un risquepque le chiffre émis soit mal reçu. Il est alors intéressant de calculer la probabilité qu"un0ait été émis, sachant qu"un0 a été reçu, ou encore la probabilité qu"il y ait une erreur de transmission.
2 Notion de probabilité
2.1 événement
DÉFINITION1. - On appelle univers associé à une expérience aléatoire l"en- semble de tous les résultats possibles de cette expérience.Le choix de l"ensemble
comporte une part d"arbitraire. Il dépend de l"idée que l"on a, a priori, sur les résultats de l"expérience aléatoire. Donnons quelques exemples : 1.On lance une pièce de monnaie. Pour l"ensemble
, on peut choisir soit =fpile, faceg, soit =fpile, face, trancheg: 2. On s"intéresse à l"état de fonctionnement d"un système. Dans ce cas f0;1gavec la convention0si le système est en panne et1s"il fonctionne. 3. Le résultat de l"e xpériencealéatoire est le nombre de tirages nécessaires dans un jeu de pile ou face jusqu"à l"obtention du premier "pile". Dans ce cas, =f1;2;3;g=N:1Probabilités et variables aléatoires
4. On considère la succession des appels à un standard téléphonique non surchargé et l"on étudie la répartition des instants où le standard reçoit un appel, à partir d"un instant choisi comme origine (on admet que deux appels ne peuvent se produire rigoureusement au même instant et que le phénomène est limité dans le temps). Une réalisation de cet événement est une suite croissante de nombres réels positifstioùtidésigne l"instant d"enregistrement du i-ème appel : =f0< t1< t2<< tn< t n+13 et 5) ou non dénombrable (exemples 4 et 5). Lorsque
est fini ou dénom- brable, on parle d"univers discret. Sinon on parle d"univers continu. DÉFINITION2. - Etant donnée une expérience aléatoire, un événement aléa- toire est une partie de l"ensemble des résultats possibles de l"expérience, c"est donc un sous-ensembleAde l"univers . On dit que l"événementAest réalisé si le résultat!de l"expérience appartient àA. On sait que l"événementAest réalisé seulement une fois l"expérience aléatoire réalisée.Exemples :
Si l"on s"intéresse à l"événement sui vant: "on a obtenu un chif frepair lors d"un lancer d"un dé à 6 faces", on introduitA=f2;4;6g, qui est un sous-ensemble de =f1;2;3;4;5;6g. Si l"on s"intéresse à l"événement sui vant: "la durée de vie du composant est supérieure ou égale à 1000 heures",A= [1000;+1[est un sous- ensemble de =R+. L"ensemble;est appelé l"événement impossible et est appelé l"événement certain.2.2 Opérations sur les événements
Les événements aléatoires étant des ensembles, introduisons les opérationsensemblistes classiques de la théorie des ensembles.DÉFINITION3. - On appelle événement contraire deA, notéAC, le complé-
mentaire deAdans A C=f!2 :! =2Ag: L"événement contraireACest réalisé si et seulement siAn"est pas réalisé. Exemple :SiAest l"événement "la durée de vie du composant est supérieure ou égale à 1000 heures" :A= [1000;+1[, l"événement contraire est l"événe- ment "la durée de vie du composant est strictement inférieure à 1000 heures" : AC= [0;1000[.
DÉFINITION4. - SoientAetBdeux événements d"un univers L "événement" AetB" est celui qui est réalisé siAetBsont réalisés.C"est l"intersection
A\B=f!2
:!2Aet!2Bg: L "événement" AouB" est celui qui est réalisé si l"un des deux est réalisé ou si les deux sont réalisés. C"est l"unionA[B=f!2
:!2Aou!2Bg: L "inclusionABsignifie que l"événementAne peut être réalisé sans queBle soit. DÉFINITION5. - Deux événementsAetBsont dits incompatibles si la réa- lisation de l"un implique la non-réalisation de l"autre.Dans l"espace
, deux événements incompatibles sont représentés par deux parties disjointes. SiA\B=;, alorsAetBsont incompatibles. Il est clair, par exemple queAetACsont incompatibles.2.3 Probabilité
Définition
DÉFINITION6. - Soit
un univers associé à une expérience aléatoire et soitAl"ensemble des parties de
. Une probabilitéPsur l"espace( ;A)est une application deAdans[0;1]telle que2Probabilités et variables aléatoires
1.P( ) = 1: 2. Si (An)n1est une famille d"événements deA2 à 2 incompatibles, P +1[n=1An =1X n=1P(An):Le triplet(
;A;P)est appelé espace de probabilité. On peut déduire de la définition précédente un certain nombre de propriétés. PROPOSITION7. - SoientAetBdeux événements aléatoires.1.P(;) = 0.
2.PN[n=1An
NP n=1P(An): 3.Si A1;:::;ANsont deux-à-deux incompatibles,
PN[n=1An
=NX n=1P(An):4.P(AC) = 1P(A).
5.Si AB,P(A)P(B).
6.P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B):
7. Si est fini ou dénombrable, alors pour tout événementA,P(A) =X
!2AP(f!g):Exemple : Probabilité uniforme
Soit un ensemble fini : =f!1;:::;!Ng. Pour touti2 f1;2;:::;Ng, on poseP(f!ig) =1N :Alors, pour toute partieAde , on aP(A) =X
!2AP(f!g) =Card(A)N =Card(A)Card( ):Dans le cas du lancer de dé à 6 faces, pour tout!2 f1;2;:::;6g,P(f!g) = 1=6. Si on note l"événement "on a obtenu un chiffre pair" parA=f2;4;6g, alorsP(A) = 3=6 = 1=2:
Remarques :Pour un problème donné, il y a souvent plusieurs modélisations possibles, c"est-à-dire que le choix de l"espace de probabilité n"est pas unique. Remarque :Choisir un élément au hasard signifie que les divers choix pos- sibles sont équiprobables, donc que l"ensemble est muni de la probabilité uniforme. Dans ce cas, tous les calculs sont simples et se ramènent souvent à des calculs d"analyse combinatoire.2.4 Probabilités conditionnelles
Dans le chapitre précédent, on a parlé de la probabilité d"un événement sans tenir compte de la réalisation d"autres événements. En pratique, on peut considérer plusieurs événements, certains pouvant avoir une influence sur la réalisation d"autres événements. Exemple :On lance deux dés. Soient les événementsA=fla somme est11getB=fle lancer du 1er dé donne6g. Il est clair que la réalisation deB
influe sur la réalisation deA. Supposons que l"on s"intéresse à la réalisation d"un événementA, tout en sachant qu"un événementBest réalisé. SiAetBsont incompatibles, alors la question est réglée :Ane se réalise pas. Mais siA\B6=;, il est possible queAse réalise. Cependant, l"espace des événements possibles n"est plus tout entier, mais il est restreint àB. En fait, seule nous intéresse la réalisation deAà l"intérieur deB, c"est-à-direA\Bpar rapport àB. Ceci justifie la définition suivante.DÉFINITION8. - Soit(
;A;P)un espace de probabilité. SoientAetBdeux événements aléatoires tels queP(B)6= 0. On appelle probabilité condition- nelle deAsachantBla quantitéP(AjB) =P(A\B)P(B):3
Probabilités et variables aléatoires
Remarque :On a les égalités suivantes :
SiP(B)>0;P(A\B) =P(AjB)P(B):
SiP(A)>0;P(A\B) =P(BjA)P(A):
PROPOSITION9. -(formule des probabilités totales)Soit(Ai)i2Iune fa- mille d"événements aléatoires formant une partition de , c"est-à-dire tels que : -[i2IAi= -Ai\Aj=;pour touti6=j. On suppose de plus queP(Ai)6= 0pour touti2I. AlorsP(A) =X
i2IP(AjAi)P(Ai): PROPOSITION10. -(formule de Bayes)Sous les mêmes hypothèses que la proposition précédente, on a :P(AijA) =P(AjAi)P(Ai)P
i2IP(AjAi)P(Ai): La formule de Bayes (publiée après sa mort en 1763) présente un grand intérêt car elle permet de modifier notre connaissance des probabilités en fonction d"informations nouvelles. Cette formule joue donc un rôle très important dans la statistique bayésienne.2.5 Indépendance
DÉFINITION11. - Soit(
;A;P)un espace de probabilité, et soientAetB deux événements aléatoires. On dit queAetBsont indépendants siP(A\B) =P(A)P(B):
Remarque :AetBsont indépendants si et seulement siP(AjB) =P(A): pas modifiée par une information concernant la réalisation de l"événementB.PROPOSITION12. - SiAetBsont deux événements indépendants alors :-ACetBsont également indépendants;
-AetBCsont également indépendants; -ACetBCsont également indépendants. Nous allons maintenant définir l"indépendance de plus de 2 événements aléa- toires.DÉFINITION13. - Soit(
;A;P)un espace de probabilité. Pourn2, soientA1;A2;:::An, des événements aléatoires. Ces événement ssont deux à deux indépendants si pour tout couple (i;j) aveci6=jon aP(Ai\Aj) =P(Ai)P(Aj):
Ces événements s ontindépendants (dans leur ensemble) si pour tout k2 f2;3;:::;nget tout choix d"indices distinctsi1;:::;ik, on aP(Ai1\Ai2\:::\Aik) =P(Ai1)P(Ai2):::P(Aik):
3 Notion de variable aléatoire
3.1 Introduction
Dans de nombreuses expériences aléatoires, on n"est pas intéressé direc- tement par le résultat de l"expérience, mais par une certaine fonction de ce résultat. Considérons par exemple l"expérience qui consiste à observer, pour chacune desnpièces produites par une machine, si la pièce est défectueuse ou non. Nous attribuerons la valeur1à une pièce défectueuse et la valeur0àquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] ecart type probabilité
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